Maschenanalysekonzepte, Methoden, Beispiele

Er Netzanalyse Es ist eine Technik, mit der flache elektrische Schaltungen gelöst werden können. Dieses Verfahren kann auch in der Literatur mit den Methodnamen der Methoden erscheinen Schaltungsströme o Methode von Maschenströmungen (oder Schleife).

Die Grundlage für diese und andere Analysemethoden für elektrische Schaltung liegt in den Gesetzen von Kirchhoff und dem Ohmschen Gesetz. Kirchhoffs Gesetze sind wiederum Ausdruck von zwei sehr wichtigen Prinzipien der Erhaltung in der Physik für isolierte Systeme: Sowohl elektrische Ladung als auch Energie bleiben erhalten.

Abbildung 1. Die Schaltungen sind Teil unzähliger Geräte. Quelle: Pixabay.

Einerseits hängt die elektrische Ladung mit dem Strom zusammen, der sich bewegt, während in einer Schaltung die Energie mit der Spannung verbunden ist. Dies ist der Agent, der dafür verantwortlich ist, die erforderlichen Arbeiten zu erledigen, um die Last in Bewegung zu halten.

Diese auf einen flachen Schaltkreis angewendeten Gesetze erzeugen eine Reihe von gleichzeitigen Gleichungen, die gelöst werden müssen, um Strom- oder Spannungswerte zu erhalten.

Das Gleichungssystem kann mit bereits bekannten analytischen Techniken aufgelöst werden, wie z Cramer -Regel, Dies erfordert die Berechnung von Determinanten, um die Systemlösung zu erhalten.

Abhängig von der Anzahl der Gleichungen werden sie mit einem wissenschaftlichen Taschenrechner oder einer mathematischen Software gelöst. Im Netzwerk stehen auch viele Optionen zur Verfügung.

[TOC]

Wichtige Begriffe

Bevor wir erklären, wie es funktioniert, werden wir zunächst folgende Begriffe definieren:

Zweig: Abschnitt mit einem Element der Schaltung.

Knoten: Punkt, der zwei oder mehr Zweige verbindet.

Schleife: Es ist ein geschlossener Teil einer Schaltung, die im selben Knoten beginnt und endet.

Gittergewebe: Schleife, die keine andere Bindung im Inneren enthält (Essentiales Netz).

Methoden

Die Meshealanalyse ist eine allgemeine Methode, die dazu dient, Schaltungen zu lösen, deren Elemente in Reihe, parallel oder gemischt sind, dh wenn die Art der Verbindung nicht klar unterschieden wird. Die Schaltung muss flach sein, oder zumindest muss es möglich sein, ihn als solche zurückzuzahlen.

Figur 2. Flache und nicht flache Schaltungen. Quelle: Alexander, C. 2006. Fundamente des Stromkreises. 3. Auflage. Mc Graw Hill.

In der obigen Abbildung ist ein Beispiel für jede Schaltungsart gezeigt. Sobald der Punkt geklärt ist, werden wir zunächst die Methode als Beispiel im nächsten Abschnitt auf eine einfache Schaltung anwenden, bevor wir die Gesetze von Ohm und Kirchhoff kurz kurz überprüfen.

Ohm'sches Gesetz: Sean V Die Spannung, R der Widerstand e Yo Der Strom des Ohmic Resistive Elements, bei dem die Spannung und der Strom direkt proportional sind, ist der Widerstand die Konstante der Verhältnismäßigkeit:

Kann Ihnen dienen: API -Schwerkraft: Skalierung und Klassifizierung von Rohöl

V = i.R

Spannung Kirchhoff Law (LKV): In jeder geschlossenen Flugbahn, die in eine Richtung fuhr, ist die algebraische Summe der Spannungen Null. Dies schließt Spannungen aufgrund von Quellen, Widerständen, Induktoren oder Kondensatoren ein: ∑ e = ∑ r_Yo. Yo

Kirchhoff des Stroms (LKC): In jedem Knoten ist die algebraische Summe der Ströme Null unter Berücksichtigung der Eingabetur. Auf diese Weise: ∑ i = 0.

Mit der Methode der Netzströmungen ist es nicht erforderlich.

- Schritte zur Anwendung der Netzanalyse

Wir werden die Methode für eine 2 -Meshes -Schaltung erklären. Das Verfahren kann später für größere Schaltungen verlängert werden.

Figur 3. Schaltung mit Widerständen und Quellen, die in zwei Maschen angeordnet sind. Quelle: f. Zapata.

Schritt 1

Weisen und zeichnen Sie jedes Netz unabhängige Ströme, in diesem Beispiel sind sie es sich Yo₁ Und Yo₂. Sie können in einem Zeitplan oder auch Anti -Hory gezogen werden.

Schritt 2

Wenden Sie das Kirchhoff -Spannungsgesetz (LTK) und das Ohmsche Gesetz auf jedes Netz an. Potenzielle Stürze werden ein Zeichen (-) zugewiesen, während die Erhöhungen ein Zeichen (+) zugewiesen sind.

ABCDA -Netz

Ausgehend von Punkt A und nach der Bedeutung des Strom₁ (-) und dann noch ein Sturz in r₃ (-).

Gleichzeitig der Widerstand r₃ Es wird auch von aktuellem i gekreuzt₂, Aber in der entgegengesetzten Richtung ist es daher einen Anstieg (+). Die erste Gleichung ist wie folgt:

UND₁-R₁.Yo₁ -R₃.Yo₁ + R₃.Yo₂ = 0

Sofort berücksichtigen und repomoting -Begriffe:

- (R₁+R₃) Yo₁ +R₃Yo₂ = -E₁  (Gleichung 1)

CEFDC -Netz 

Von dem Punkt ausgehen Und und die Bedeutung des Stroms zu folgen, ist ein potenzieller Rückgang in R₂ (-) ein weiterer Fall in UND₂, Da der Strom durch den Batteriepol + und schließlich ein weiterer Fall eintritt R₃ (-) gleichzeitig der Strom Yo₁ Es kreuzt R₃ In die entgegengesetzte Richtung (+).

Die zweite Gleichung mit den angegebenen Zeichen bleibt auf diese Weise:

- R₂ Yo₂ - UND₂ -R₃ Yo₂ +R₃ Yo₁= 0

R₃Yo₁ - (R₂ +R₃₎ Yo₂ = E₂  (Gleichung 2)

Beachten Sie, dass es zwei Gleichungen mit den beiden Unbekannten gibt und₁ und ich₂.

Schritt 3

Dann wird das so gebildete Gleichungssystem aufgelöst.

Gelöste Übungen

Zu Beginn ist es wichtig, Folgendes zu berücksichtigen:

-Den Krawatten oder Netzströmen kann eine willkürliche Richtung zugewiesen werden.

-An jedes essentielle Netz - oder "Fenster" - dass der Schaltung ein Strom zugewiesen werden muss.

Kann Ihnen dienen: isocorischer Prozess

-Die Maschenströme werden mit Großbuchstaben aufgerufen, um sie von den Strömen zu unterscheiden, die in Zweigen zirkulieren, obwohl in einigen Fällen der Strom, der durch einen Zweig zirkuliert.

- Beispiel 1

Ermitteln Sie die Ströme, die in Abbildung 3 durch jeden Widerstand in der Schaltung zirkulieren, wenn die Elemente die folgenden Werte haben:

R₁ = 20 Ω; R₂ = 30 Ω; R₃ = 10 Ω; UND₁ = 12 V; UND₂ = 18 v

Lösung

Erstens müssen die Ströme von Mesh und zuzuordnen und₁ und ich₂ und nehmen Sie das im vorhergehenden Abschnitt abgeleitete Gleichungssystem an und ersetzen Sie dann die in der Anweisung angegebenen Werte:

- (R₁+R₃) Yo₁ +R₃Yo₂ = -E₁  (Gleichung 1)

R₃Yo₁ - (R₂ +R₃₎ Yo₂ = E₂     (Gleichung 2)

-

-(20+30) Yo₁ + 10i₂ = -12

10i₁ - (30 +10) i₂ = 18      

--

-fünfzigYo₁ + 10i₂ = -12

10i₁ - 40 i₂ = 18      

Da es sich um ein System mit 2 x 2 -Gleichungen handelt, kann es leicht durch Reduktion aufgelöst werden, was die zweite Gleichung multipliziert, um Unbekannte zu beseitigen Yo₁:

-fünfzigYo₁ + 10 i₂ = -12

50i₁ - 200 i₂ = 90

-     

-190 i₂= 78

Yo₂ = - 78/180 a = - 0.41 a

Der Strom wird sofort gelöscht Yo₁ einer der ursprünglichen Gleichungen:

Yo₁ = (18 + 40 i₂) / 10 = (18 + 40 x (-0).41)) / 10 = 0.16 a

Das negative Zeichen im Strom Yo₂ bedeutet, dass der Strom in den 2 Mesh gegen die Zeichnung zirkuliert.

Die Strömungen in jedem Widerstand sind wie folgt:

Für Widerstand R₁ Der Strom zirkuliert Yo₁ = 0.16 a in dem Sinne durch Widerstand durch Widerstand R₂ Der Strom zirkuliert Yo₂ = 0.41 a entgegen der gezeichneten und gegen Widerstand R₃ Zirkulierungen Yo₃ = 0.16- (-0.41) a = 0.57 a runter.

Systemlösung nach Cramers Methode

Auf Matrix -Weise kann das System wie folgt gelöst werden:

Schritt 1: Berechnen Sie δ

 Wichtig: Wenn Δ = 0, das System keine Lösung hat, ist es ein inkompatible System.

Schritt 2: Berechnen Sie δ₁

Die erste Spalte wird durch die unabhängigen Begriffe des Gleichungssystems ersetzt und behält die Reihenfolge bei, in der das System ursprünglich erhöht wurde:

Schritt 3: Berechnen Sie i₁

Yo₁ = Δ₁/Δ = 300/1900 = 0.16 a

Schritt 4: Berechnen Sie δ₂

 Schritt 5: Berechnen Sie i₂

Yo₂ = Δ₂/Δ = -780/1900 = -0.41 a

- Beispiel 2

Bestimmen Sie den Strom und die Spannungen durch jeden Widerstand in der folgenden Schaltung mittels der Methode der Netzströmungen:

Figur 4. 3 Maschenkreis. Quelle: Boylestad, R. 2011. Einführung in die Schaltungsanalyse.2. Auflage. Pearson.

Lösung

Die drei Maschenströme werden, wie in der folgenden Abbildung gezeigt, in willkürlichen Sinnen gezeichnet. Jetzt laufen die Maschen von überall aus:

Es kann Ihnen dienen: Nachahmung: Was besteht, Methode und Beispiele Abbildung 5. Maschenströmungen für Übung 2. Quelle: f. Zapata, modifiziert aus Boylestad.

Netz 1

-9100.Yo₁+18-2200.Yo₁+9100.Yo₂= 0

-11300 i₁ + 9100.Yo₂ = -18

Netz 2       

-(7500 +6800 +9100) .Yo₂ + 9100.Yo₁+6800.Yo₃-18 = 0

9100.Yo₁ - 23400.Yo₂ + 6800.Yo₃ = 18

Netz 3  

-(6800 + 3300) i₃ + 6800.Yo₂ - 3 = 0

6800.Yo₂ - 10100.Yo₃ = 3

Gleichungssystem

-11300 i₁ + 9100.Yo₂ + 0.Yo₃= -18

9100.Yo₁ - 23400.Yo₂ + 6800.Yo₃ = 18

0.Yo₁ + 6800.Yo₂ - 10100.Yo₃ = 3

Obwohl die Zahlen groß sind, wird sie mit Hilfe eines wissenschaftlichen Taschenrechners schnell gelöst. Denken Sie daran, dass die Gleichungen bestellt werden müssen und Nullen an den Stellen hinzufügen müssen, an denen das Unbekannte nicht erscheint, wie es hier erscheint.

Die Netzströmungen sind:

Yo₁ = 0.0012 A; Yo₂ = -0.00048 a; Yo₃ = -0.00062 a

Die Strömungen Yo₂ Und Yo₃ Sie zirkulieren in der entgegengesetzten Richtung in der Figur, da sie sich als negativ herausstellten.

Tabelle von Strömungen und Spannungen in jedem Widerstand

Widerstand (ω)	Strom (Verstärker)	Spannung = i.R (Volt)
9100	Yo1 -Yo2 = 0.0012-(-0.00048) = 0.00168	fünfzehn.3
3300	0.00062	2.05
2200	0.0012	2.64
7500	0.00048	3.60
6800	Yo2 -Yo3= -0.00048-(-0.00062) = 0.00014	0.95

Cramer -Regellösung

Da es sich um große Zahlen handelt, ist es bequem, wissenschaftliche Notation direkt mit ihnen zu arbeiten.

Berechnung von i₁

Farbpfeile in der 3 x 3 -Determinante geben an, wie man numerische Werte findet, und multiplizieren die angegebenen Werte. Beginnen wir zunächst die der ersten Klammer in der Determinanten δ:

(-11300) x (-23400) x (-10100) = -2.67 x 10¹²

9100 x 0 x 0 = 0

9100 x 6800 x 0 = 0

Wir erhalten sofort die zweite Klammer in derselben Determinante, die von links nach rechts funktioniert (für diese Klammer wurden die farbigen Pfeile in der Abbildung nicht gezeichnet). Wir laden den Leser ein, ihn zu überprüfen:

0 x (-23400) x 0 = 0

9100 x 9100 x (-10100) = -8.364 x 10^elf

6800 x 6800 x (-11300) = -5.225 x 10^elf

Auf die gleiche Weise kann der Leser auch die Werte für die Determinante überprüfen Δ₁.

Wichtig: Zwischen beiden Klammern gibt es immer ein negatives Zeichen.

Schließlich wird der Strom erhalten Yo₁ durch Yo₁ = Δ₁ / Δ

Yo₁ = -1.582 x 10⁹/-1.31 x 10¹² = 0.0012 a                                   

Berechnung von i₂

Die Prozedur kann wiederholt werden, um zu berechnen Yo₂, In diesem Fall berechnen Sie die Determinante Δ₂ Die zweite Spalte der δ -Determinante wird durch die Spalte der unabhängigen Begriffe ersetzt und ihr Wert wird gemäß dem erläuterten Verfahren gefunden.

Wie es jedoch aufgrund großer Zahlen umständlich ist, insbesondere wenn es keinen wissenschaftlichen Taschenrechner gibt, ist der einfachste den Wert von der Wert Yo₁ Bereits berechnet in der folgenden Gleichung und klar:

-11300 i₁ + 9100.Yo₂ + 0.Yo₃= -18 → 9100 i₂= -18 + 11300 i₁ → i₂ = -0.00048 a

I3 Berechnung

Einmal mit den Werten von Yo₁ Und Yo₂ In der Hand die Yo₃ Es wird direkt durch Substitution gefunden.

Verweise

1. Alexander, c. 2006. Fundamente des Stromkreises. 3. Auflage. Mc Graw Hill.
2. Boylestad, r. 2011. Einführung in die Schaltungsanalyse.2. Auflage. Pearson.
3. Figueroa, d. (2005). Serie: Physik für Wissenschaft und Ingenieurwesen. Band 5. Elektrische Wechselwirkung. Herausgegeben von Douglas Figueroa (USB).
4. Garcia, l. 2014. Elektromagnetismus. 2. Auflage. Industrieuniversität Santander.
5. Sears, Zemansky. 2016. Universitätsphysik mit moderner Physik. 14. Ed. Band 2.