Dimensionsanalyse

Was ist eine dimensionale Analyse?

Er Dimensionsanalyse Es ist ein weit verbreitetes Werkzeug in verschiedenen Zweigen der Wissenschaft und des Ingenieurwesens, um die Phänomene besser zu verstehen. Die Größen haben Dimensionen und aus diesen werden die verschiedenen Maßeinheiten abgeleitet.

Der Ursprung des Konzepts der Dimension findet sich im französischen Mathematiker Joseph Fourier, der es war, der es geprägt hat. Fourier verstand auch, dass, damit zwei Gleichungen vergleichbar sind, homogen in Bezug auf ihre Dimensionen sein müssen. Das heißt, Sie können keine Messgeräte mit Kilogramm hinzufügen.

Somit ist die dimensionale Analyse für die Untersuchung der Größen, Dimensionen und Homogenität physikalischer Gleichungen verantwortlich. Daher wird häufig verwendet.

Auf diese Weise ist die dimensionale Analyse ein perfektes Instrument, um Fehler in den Berechnungen zu erkennen.

Darüber hinaus wird die dimensionale Analyse verwendet, um systematische Experimente zu projizieren. Es ermöglicht, die Anzahl der erforderlichen Experimente zu verringern und die Interpretation der erhaltenen Ergebnisse zu erleichtern.

Eine der grundlegenden Grundlagen der dimensionalen Analyse ist, dass es möglich ist.

Grundgrößen und dimensionale Formel

In der Physik wird angesehen. Nach Konvention wurden Folgendes ausgewählt: Die Länge (l), die Zeit (t), die Masse (m), die Intensität des elektrischen Stroms (i), die Temperatur (θ), die Lichtintensität (j) und die Substanzmenge (n).

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Im Gegenteil, der Rest wird als abgeleitete Größen betrachtet. Einige davon sind: Gebiet, Volumen, Dichte, Geschwindigkeit, Beschleunigung unter anderem.

Es ist definiert als eine dimensionale Formel für die mathematische Gleichheit, die die Beziehung zwischen einer abgeleiteten Größe und der Grundlage darstellt.

Dimensionale Analysetechniken

Es gibt verschiedene Techniken oder Methoden zur dimensionalen Analyse. Zwei der wichtigsten sind die folgenden:

RayLicht -Methode

RayLeight, der mit Fourier einer der Vorläufer der dimensionalen Analyse war, entwickelte eine direkte und sehr einfache Methode, mit der Sie dimensionslose Elemente erreichen können. Bei dieser Methode werden die folgenden Schritte befolgt:

1. Die mögliche Funktion der abhängigen Variablen ist definiert.
2. Jede Variable wird in ihre entsprechenden Abmessungen geändert.
3. Homogenitätszustandsgleichungen werden festgelegt.
4. Inkognite N-Ps sind festgelegt.
5. In der potenziellen Gleichung berechnete und fixe Exponenten werden ersetzt.
6. Variable Gruppen bewegen, um die dimensionslosen Zahlen zu definieren.

Buckingham -Methode

Diese Methode basiert auf dem Buckingham -Theorem oder dem PI -Theorem, in dem Folgendes heißt:

Wenn es eine Beziehung auf der homogenen dimensionalen Ebene zwischen einer "N" -Annahl von physikalischen oder variablen Größen gibt.

Dimensionalhomogenitätsprinzip

Das Fourier -Prinzip, das auch als Prinzip der dimensionalen Homogenität bezeichnet wird.

Dies ist ein Prinzip, das mathematische Konsistenz hat und bestätigt, dass die einzige Möglichkeit besteht. Daher ist es nicht möglich, eine Masse mit einer Länge oder einer Zeit mit einer Oberfläche usw. hinzuzufügen.

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In ähnlicher Weise besagt das Prinzip, dass die Gesamtbedingungen der Mitglieder der beiden Seiten der Gleichheit die gleiche Dimension haben müssen, damit die physikalischen Gleichungen korrekt sind. Dieses Prinzip ermöglicht es, die Kohärenz physikalischer Gleichungen zu garantieren.

Prinzip der Ähnlichkeit

Das Prinzip der Ähnlichkeit ist eine Erweiterung des Homogenitätscharakters auf der dimensionalen Ebene der physikalischen Gleichungen. Es ist wie folgt angegeben:

Physikalische Gesetze bleiben ohne Unterschiede im Vorfeld der Veränderung der Dimensionen (Größe) einer physischen Tatsache in demselben Einheitensystem, unabhängig davon, ob es sich um reale oder imaginäre Veränderungen handelt.

Die deutlichste Anwendung des Ähnlichkeitsprinzips tritt bei der Analyse der physikalischen Eigenschaften eines in kleineren Maßstäben hergestellten Modells auf, um die Ergebnisse im Objekt später zu realer Größe zu verwenden.

Diese Praxis ist von grundlegender Bedeutung für Bereiche wie das Design und die Herstellung von Flugzeugen und Schiffen sowie in großen hydraulischen Arbeiten.

Dimensionalanalyseanwendungen

Unter den vielen Anwendungen der dimensionalen Analyse können die unten aufgeführten unten hervorgehoben werden.

• Suchen Sie mögliche Fehler in den durchgeführten Vorgängen
• Lösen Sie Probleme, deren Lösung einige unüberwindliche mathematische Schwierigkeit darstellt.
• Entwerfen und analysieren Sie reduzierte Skalierungsmodelle.
• Machen Sie Beobachtungen darüber, wie mögliche Änderungen ein Modell beeinflussen.

Darüber hinaus wird die dimensionale Analyse in der Untersuchung der Flüssigkeitsmechanik ziemlich häufig verwendet.

Die Relevanz der dimensionalen Analyse in der Flüssigkeitsmechanik ist darauf zurückzuführen, wie schwierig es ist, Gleichungen in bestimmten Strömungen zu etablieren, sowie die Schwierigkeit, sie zu lösen, daher ist es unmöglich, empirische Beziehungen zu erreichen. Aus diesem Grund ist es notwendig, zur experimentellen Methode zu gehen.

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Gelöste Übungen

Erste Übung

Finden Sie die dimensionale Gleichung von Geschwindigkeit und Beschleunigung.

Lösung

Da v = s / t ist, ist es wahr, dass: [v] = l / t = l ∙ t^-1

Ähnlich:

A = v / t

[a] = l / t² = L ∙ t^-2

Zweite Übung

Bestimmen Sie die dimensionale Gleichung der Bewegungsmenge.

Lösung

Da die Bewegung das Produkt zwischen Masse und Geschwindigkeit ist, ist es erfüllt, dass p = m ∙ v

Deshalb:

[p] = m ∙ l / t = m ∙ l ∙ t^-2