ARC (Geometrie) Mess, Arten von Bögen, Beispiele

Er Bogen, In der Geometrie handelt es sich um jede gekrümmte Linie, die zwei Punkte verbindet. Eine gekrümmte Linie ist im Gegensatz zu einer geraden Linie die, deren Richtung an jedem Punkt derselben unterschiedlich ist. Das Gegenteil eines Bogens ist ein Segment, da dies ein gerader Abschnitt ist, der zwei Punkte verbindet.

Der in der Geometrie am häufigsten verwendete Bogen ist der Umfangsbogen. Andere Bögen der gemeinsamen Verwendung sind der parabolische Bogen, der elliptische Bogen und der Katzenärbogen. Die ARC -Form wird auch häufig in der Architektur als dekoratives Element und strukturelles Element verwendet. Dies ist der Fall bei den Sturz der Türen und Fenster sowie der Brücken und Aquädukte.

Abbildung 1. Der Regenbogen ist eine gekrümmte Linie, die zwei Punkte am Horizont verbindet. Quelle: Pixabay

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Der Bogen und seine Maßnahme

Das Maß eines Bogens ist seine Länge, die von der Art der Kurve abhängt, die die beiden Punkte und die Position von ihnen verbindet.

Die Länge eines kreisförmigen Bogens ist einer der am einfachsten zu berechnen, da die volle Bogenlänge oder der Umfang eines Kreises bekannt ist.

Der Umfang eines Kreises ist zwei Pi mal dein Radio: P = 2 π r. Wenn Sie die Länge berechnen möchten, möchten Sie dies wissen S eines kreisförmigen Winkelbogens α (gemessen in Radianes) und Radio R, Ein Anteil wird angewendet:

(s / p) = (α / 2 π)

Dann klären S des vorherigen Ausdrucks und Ersetzen des Umfangs P durch seinen Ausdruck abhängig vom Radio R, Du hast:

S = (α / 2 π) p = (α / 2 π) (2 π r) = α r.

Das heißt, das Maß eines kreisförmigen Bogens ist das Produkt seiner Winkelöffnung durch den kreisförmigen Lichtbogenradius.

Für einen ARC im Allgemeinen ist das Problem komplizierter, bis zu dem Punkt, dass die großen Denker der Antike behaupteten, es sei eine unmögliche Aufgabe.

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Erst als das Aufkommen des Differential- und Integralkalküls im Jahr 1665 wurde das Problem des Maßes der Bogen zufriedenstellend gelöst. 

Vor der Erfindung des Differentialkalkulus konnten nur Lösungen unter Verwendung von polygonalen Linien oder Umfangsbögen gefunden werden, die sich dem wahren Bogen näherten, aber diese Lösungen waren nicht genau. 

Arten von Bögen

Aus der Sicht der Geometrie werden die Bögen nach der gekrümmten Linie klassifiziert, die zwei Punkte der Ebene verbindet. Es gibt andere Klassifizierungen entsprechend seiner architektonischen Verwendung und Form.

Rundbogen

Wenn die Linie, die zwei Punkte der Ebene verbindet, ein Stück Umfang eines bestimmten Radius ist, gibt es einen kreisförmigen Bogen. Abbildung 2 zeigt einen kreisförmigen Radius r, der die Punkte A und B verbindet.

Figur 2. Radio R Circular Bogen, der Punkt A und B verbindet. Vorbereitet von Ricardo Pérez.

Parabolhalle

Das Gleichnis ist die Flugbahn, die einem Objekt folgt, das in schräge Form in die Luft geworfen wurde. Wenn die Kurve, die zwei Punkte verbindet.

Figur 3. Parabolbogen, der die Punkte A und B verbindet. Vorbereitet von Ricardo Pérez.

Dies ist die Form, die den Wasserstrahl annimmt, der aus einem Schlauch kommt, der sich aufsetzt. Der parabolische Bogen kann in den Wasserquellen beobachtet werden.

Figur 4. Parabolbogen, das durch Wasser aus einer Quelle in Dresden gebildet wird. Quelle: Pixabay.

Catenärbogen

Der Catenärbogen ist ein weiterer natürlicher Bogen. Der Katzenär ist die Kurve, die natürlich gebildet wird, wenn eine Kette oder ein Seil bequem an zwei getrennten Punkten hängt.

Kann Ihnen dienen: Was sind die Elemente eines Winkels?? Abbildung 5. Catenärbogen und Vergleich mit dem Parabolbogen. Vorbereitet von Ricardo Pérez.

Der Katzenär ist der Parabel ähnlich, aber es ist nicht genau das Gleiche, wie er in Abbildung 4 festgestellt werden kann.

Der umgekehrte catenar -falls -freche Bogen wird in der Architektur als strukturelles Element des hohen Kompressionsbeständigkeit verwendet. In der Tat kann gezeigt werden, dass es sich um den resistenten Bogentyp unter allen möglichen Formen handelt. 

Um einen festen Katzenärbogen zu bauen, wird nur die Form eines Seils oder einer Kette kopiert, und dann dreht sich die kopierte Form, um es im Türsturz oder im Fenster zu reproduzieren.

Elliptischer Bogen

Ein Bogen ist elliptisch, wenn die Kurve, die zwei Punkte verbindet. Die Ellipse ist definiert als der geometrische Ort der Punkte, deren Abstand zu zwei angegebenen Punkten immer eine konstante Menge erhöht.

Die Ellipse ist eine Kurve, die in der Natur erscheint: Es ist die Kurve der Flugbahn des Planeten um die Sonne, wie Johannes Kepler 1609 demonstrierte.

In der Praxis kann eine Ellipse gezogen werden. Dann ist das Seil mit dem Marker oder Bleistift angespannt und die Kurve wird gezeichnet. Ein Stück Ellipse ist ein elliptischer Bogen. Die folgende Animation zeigt, wie die Ellipse gezeichnet wird:

Abbildung 5. Posen einer Ellipse mit einem angespannten Seil. Quelle: Wikimedia Commons

Abbildung 6 zeigt einen elliptischen Bogen, der Punkte G und H verbindet.

Abbildung 6. Elliptischer Bogen, der zwei Punkte verbindet. Vorbereitet von Ricardo Pérez.

Beispiele für Bögen

Die folgenden Beispiele beziehen sich auf die Berechnung des Umfangs einiger spezifischer Bögen.

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Beispiel 1

Abbildung 7 zeigt ein Fenster, das in einem geschnittenen kreisförmigen Bogen endete. Die in der Figur gezeigten Abmessungen sind auf den Füßen. Berechnen Sie die Lichtbogenlänge.

Abbildung 7. Berechnung der kreisförmigen Lichtbogenlänge eines Fensters. (Eigene Anmerkungen - Fensterbild in Pixabay)

Um das Zentrum und den Radius des kreisförmigen Bogens des Fensters des Fensters zu erhalten, werden die folgenden Konstruktionen auf dem Bild erstellt:

-Das KL -Segment wird gezeichnet und sein Mediatrix wird gezeichnet.

-Dann befindet sich der höchste Punkt des Sturzes, den wir M nennen. Das KM -Segment wird dann berücksichtigt und sein Mediatrix wird gezeichnet.

Das Abfangen der beiden Medien ist Punkt N und ist auch das Zentrum des kreisförmigen Bogens.

-Jetzt müssen Sie die Länge des NM -Segments messen, der mit dem Radius r des kreisförmigen Bogens zusammenfällt: r = 2.8 Fuß.

-Die Länge des Bogens zusätzlich zum Radius zu kennen, der Winkel, der den Bogen bildet. Dies kann durch zwei Methoden bestimmt werden oder mit einem Transporter gemessen oder abwechselnd unter Verwendung von Trigonometrie berechnet werden.

In dem Fall, dass der Winkel, der den ARC bildet, 91.13 ° beträgt, was in Radianes umgewandelt werden muss:

 91,13º = 91,13º * π / 180º = 1,59 Radians

Wir berechnen endlich die Länge S des Bogens durch die Formel S = α r.

S = 1,59 * 2.8 Fuß = 4,45 Fuß

Beispiel 2

Finden Sie die Länge des in Abbildung 8 gezeigten elliptischen Bogens, bekannt, bekannt R und die kleine Semi -Achse S der Ellipse.

Abbildung 8. Elliptischer Bogen zwischen GH. Vorbereitet von Ricardo Pérez.

Die Länge einer Ellipse zu finden war eine lange Zeit eines der schwierigsten Probleme der Mathematik. Lösungen, die durch elliptische Integrale ausgedrückt werden, können erhalten werden. Ein genaues Ergebnis würde unendliche Begriffe dieser Serien erfordern.

Glücklicherweise fand das mathematische Genie des hinduistischen Ursprungs Ramanujan, der zwischen 1887 und 1920 lebte, eine Formel, die sehr genau den Umfang einer Ellipse annähert:

Umfang einer Ellipse = π [3 (r + s) - √ ((3r + s) (r + 3s)]]]]

Der Umfang einer Ellipse mit r = 3 cm und s = 2.24 cm sind 16,55 cm. Der gezeigte elliptische Bogen hat jedoch die Hälfte dieses Wertes:

Elliptische Lichtbogenlänge gh = 8.28 cm.

Verweise

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2. Garcia f. Numerische Verfahren in Java. Länge einer Ellipse. Abgerufen von: sc.Ehu.Ist
3. Dynamische Geometrie. Bögen. Von Geometriadinamica geborgen.Ist
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5. Wikipedia. Bogen (Geometrie). Erholt von: Es ist.Wikipedia.com