Wahrscheinlichkeits -Axiome -Typen, Erklärung, Beispiele, Übungen

Der Axiome von Wahrscheinlichkeit Sie sind mathematische Aussagen bezüglich der Wahrscheinlichkeitstheorie, die keine Demonstration verdienen. Die Axiome wurden 1933 vom russischen Mathematiker Andrei Kolmogorov (1903-1987) in seiner Arbeit gegründet Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie und legte die Grundlage für die mathematische Studie der Wahrscheinlichkeit.

Bei der Durchführung eines bestimmten zufälligen Experiments ξ ist der Probenraum derjenige, der zusammen mit allen möglichen Ergebnissen des Experiments genannt wird Veranstaltungen. Jedes Ereignis wird als A und P (A) bezeichnet. Dann stellte Kolmogorov fest::

Abbildung 1. Wahrscheinlichkeits -Axiome ermöglichen es, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, Glücksspiele wie Roulette zu treffen. Quelle: Pixabay.

-Axiom 1 (keine Negativität): Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis auftritt, P (a) ≥0. Wenn die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses 0 beträgt, heißt es Unmögliches Ereignis.

-Axiom 2 (Sicherheit): vorausgesetzt, dass ein Ereignis, das zu E gehört P (e) = 1. Ist das, was als ein bekannt ist Sichere Veranstaltung, Seit bei der Durchführung eines Experiments gibt es ein Ergebnis mit aller Gewissheit.

-Axiom 3 (Zugabe): Im Fall von zwei oder mehr inkompatiblen Ereignissen zwei bis zwei, aufgerufen zu₁, ZU₂, ZU₃..., die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses zu₁ mehr die a₂ mehr die a₃ Und so weiter ist es die Summe der Wahrscheinlichkeit.

Dies wird ausgedrückt als: P (a₁ U a₂ U a₃ U ...) = P (a₁) + P (a₂) + P (a₃) +..

Figur 2. Der bemerkenswerte russische Mathematiker Andrei Kolmogorov (1903-1987), der die Grundlagen für die axiomatische Wahrscheinlichkeit legte. Quelle: Wikimedia Commons.

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Beispiel

Wahrscheinlichkeits -Axiome werden in vielen Anwendungen häufig verwendet. Zum Beispiel:

Eine Klaue oder Tachuela wird in die Luft geworfen, und wenn der Boden fällt, besteht die Möglichkeit, mit der Spitze (u) oder mit der Spitze nach unten (D) zu fallen (wir werden andere Möglichkeiten nicht berücksichtigen). Der Beispielraum dieses Experiments besteht aus diesen Ereignissen, dann e = u, d.

Kann Ihnen dienen: Revolution Feststoffe: Volumen, Typen, gelöste ÜbungenFigur 3. Im Experiment der Start des Tachuela gibt es zwei Ereignisse unterschiedlicher Wahrscheinlichkeiten: Herbst mit dem Tipp oder auf den Boden. Quelle: Pixabay.

Durch die Anwendung der Axiome, die wir haben:

P (e) = 1 (Axiom 2)

Aber P (e) = p (u) + p (d) (Axiom 3), da diese Ereignisse für beide Seiten inkompatibel sind oder disjunkt sind. Der Fehler fällt nicht gleichzeitig mit dem Tipp nach oben oder unten, es ist das eine oder andere, aber nicht beides, da andere Möglichkeiten berücksichtigt werden. So:

P (u) + p (d) = 1

P (u) = 1 - p (d)

Wenn es ebenso wahrscheinlich mit dem Tipp nach oben oder unten fällt, P (u) = p (d) = ½ (Axiom 1). Es kann jedoch sein, dass aufgrund der Konstruktion und Gestaltung des Fehlers. Zum Beispiel kann es das sein P (u) = ¾ während P (d) = ¼ (Axiom 1).

Beachten Sie, dass in beiden Fällen die Summe der Wahrscheinlichkeiten 1 ergibt. Axiome geben jedoch nicht an, wie die Wahrscheinlichkeiten zuzuweisen, zumindest nicht vollständig. Aber sie bestätigen, dass sie zwischen 0 und 1 Zahlen sind und dass die Summe von allen 1 ist, wie in diesem Fall.

Möglichkeiten, Wahrscheinlichkeit zuzuweisen

Wahrscheinlichkeits -Axiome stellen keine Methode zur Zuordnung des Wertes der Wahrscheinlichkeit dar. Dafür gibt es drei Optionen, die mit Axiomen kompatibel sind:

Laplace -Regel

Jedes Ereignis wird die gleiche Wahrscheinlichkeit zugewiesen, dann wird die Wahrscheinlichkeit des Auftretens definiert wie:

P (a) = Anzahl der Fälle, die für die Ereignis a/ Anzahl möglicher Fälle günstig sind

Zum Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit, ein Ass aus einem Deck französischer Karten zu extrahieren?? Das Deck hat 52 Karten, 13 von jedem Stock und es gibt 4 Stöcke. Jeder Stock hat 1 als, so dass es insgesamt 4 Asse gibt:

P (as) = ​​4/52 = 1/13

Die Regel von Laplace ist auf endliche Probenräume beschränkt, in denen jedes Ereignis gleichermaßen wahrscheinlich ist.

Kann Ihnen dienen: Diskrete Mathematik

Relative Frequenz

Hier muss das Experiment wiederholbar sein, da die Methode auf einer großen Anzahl von Wiederholungen basiert.

Lassen Sie uns Wiederholungen des Experiments ξ durchführen, von dem wir feststellen, dass n die Anzahl der Male ist, die ein bestimmtes Ereignis A auftritt, und dann die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis stattfindet, ist:

P (a) = lim_{I → ∞} (weder)

Wo n/i die relative Häufigkeit eines Ereignisses ist.

Definieren Sie P (a) so erfüllen die Axiome von Kolmogorov, aber es hat die Unannehmlichkeit, dass viele Tests durchgeführt werden müssen, damit die Wahrscheinlichkeit angemessen ist.

Subjektive Methode

Eine Person oder eine Gruppe von Personen kann zustimmen, die Wahrscheinlichkeit einem Ereignis durch ihre eigenen Urteile zuzuweisen. Diese Methode hat den Nachteil, dass verschiedene Personen demselben Ereignis unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten zuweisen können.

Übung gelöst

Im Experiment der gleichzeitigen Startung von 3 ehrlichen Währungen und der Erlangung der Chancen der beschriebenen Ereignisse:

A) 2 Gesichter und ein Kreuz.

b) 1 Gesicht und zwei Kreuze

c) 3 Kreuze.

d) mindestens 1 Gesicht.

Lösung für

Die Gesichter werden mit C und den Kreuzen mit x bezeichnet. Es gibt jedoch verschiedene Möglichkeiten, zwei Gesichter und ein Kreuz zu bekommen. Zum Beispiel können die ersten beiden Münzen mit dem Gesicht und der dritte mit Cruz fallen. Oder der erste kann das Gesicht, das zweite Kreuz und das dritte Gesicht fallen. Und schließlich kann das erste ein Kreuz und die verbleibenden Gesichter sein.

Um die Fragen zu beantworten, ist es notwendig, alle Möglichkeiten zu kennen, die in einem Tool genannt werden Baum diagramm entweder Wahrscheinlichkeitsbaum:

Figur 4. Baumdiagramm für den gleichzeitigen Start von drei ehrlichen Münzen. Quelle: f. Zapata.

Die Wahrscheinlichkeit, dass in jeder Währung teuer ist, ist das gleiche für die Kreuze, da die Währung ehrlich ist. In der rechten Spalte werden alle Startmöglichkeiten aufgeführt, dh im Stichprobenraum.

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Die Kombinationen, die auf das angeforderte Ereignis reagieren. Es gibt drei günstige Ereignisse: CCX, CXC und XCC. Die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses ist:

P (ccx) = ½. ½ . ½ = 1/8

Gleiches gilt für CXC- und XCC. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 Gesichter zu erhalten, die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller günstigen Ereignisse:

P (2 Gesichter) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0.375

Lösung b

Das Finden der Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei Kreuze vorhanden sind. Deshalb:

P (2 Kreuze) = 3/8 = 0.375

Lösung c

Intuitiv wissen, dass die Wahrscheinlichkeit, 3 Kreuze (oder 3 Gesichter) zu erhalten. In diesem Fall ist das gesuchte Ereignis XXX am Ende der rechten Spalte, deren Wahrscheinlichkeit ist:

P (xxx) = ½. ½. ½ = 1/8 = 0.125.

Lösung d

Es wird gebeten, mindestens 1 Gesicht zu erhalten. Dies bedeutet, dass 3 Gesichter, 2 Gesichter oder 1 Gesicht gehen können. Das einzige Ereignis, das mit diesem nicht kompatibel ist, ist eine, bei der 3 Kreuze herauskommen, deren Wahrscheinlichkeit 0 ist.125. Daher ist die nachgefragte Wahrscheinlichkeit:

P (mindestens 1 Gesicht) = 1 - 0.125 = 0.875.

Verweise

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3. Lipschutz, s. 1991. Schaumreihe: Wahrscheinlichkeit. McGraw Hill.
4. Obregón, ich. 1989.Wahrscheinlichkeitstheorie. Redaktionelle limusa.
5. Walpole, r. 2007. Wahrscheinlichkeit und Statistik für Ingenieurwesen und Wissenschaft. Pearson.