Quadratisches Binomial

Was ist ein quadratischer Binomial?

In Elementaralgebra Ein Binomial ist die Summe oder Subtraktion von zwei Monomen, deren Form (a ± b) ist, wo Zu ist der erste Begriff und B der Zweite. Das ± Symbol, das "More" liest, bezeichnet kompakt die Summe und Subtraktion dieser Begriffe.

Dann ist das quadratische Binomial in der Form (a ± b) geschrieben², die Multiplikation des Binomial mit sich selbst darstellen. Dieser Vorgang kann mit Hilfe der Verteilungseigenschaft der Multiplikation in Bezug auf die Ergänzung leicht durchgeführt werden.

Geometrische Interpretation des quadratischen Binomials als Zusatz von zwei Monomen: Die Fläche des großen Quadrats besteht aus der Fläche des grünen Quadrat² + 2aëb + b². Quelle: Wikimedia Commons.

Auf diese Weise wird ein Ergebnis erzielt, das sich bequem merkt.

Erläuterung

Die Entwicklung des quadratischen Binomials wird mit Hilfe des oben genannten Verteilungseigentums durchgeführt. Auf diese Weise bekommen Sie:

(A ± b)² = (a ± b) × (a ± b) = a² ± aoffe ± boge + b² = a² ± 2a · B + B²

Das Ergebnis, das immer drei Begriffe hat und als bekannt als als bekannt Bemerkenswerte Produkt, Es liest so:

Quadrat des ersten Terms plus/weniger das Doppelprodukt der ersten Begriff für den zweiten sowie das Quadrat der zweiten Amtszeit.

Die Definition ist unabhängig von der Form ihrer Begriffe auf Binomial anwendbar.

Summe und Unterschied

Das Quadrat einer Summe ist:

(A + b)² = (a + b) × (a + b) = a² + AB + BA + B² = a² + 2ab + b²

Während das Quadrat des Unterschieds ist:

(A - b)² = (a - b) × (a - b) = a² - AB - BA + B² = a² - 2ab + b²

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Beachte.

Beispiele

Beispiel 1

Bei der Entwicklung des Quadrats des Binomial (x + 5)², Es wird unter Verwendung des im vorherigen Abschnitts erhaltenen Ergebnisses erhalten:

(x + 5)² = x² + 2x ∙ 5 + 5² = x² + 10x + 25

Beispiel 2

Um die Entwicklung des quadratischen Binomials (2x - 3) zu ermitteln², Fahren Sie analog fort:

(2x - 3)² = (2x)² - 2 ∙ 2x ∙ 3 + 3² = 4x² - 12x + 9

Beispiel 3

Nicht immer der Begriff, der Texte enthält. Zum Beispiel wird das Binomial (12 - 7x) quadratisch geeignet, es wird erhalten:

(12 - 7x)² = 12² - 2 ∙ 12 ∙ 7x + (7x)² = 144 - 168x + 49x²

Übungen

Entwickeln Sie die folgenden quadratischen Binomien:

a) (3xy - 1)²
b) (2z + 5y)²
c) [(x+y) - 6]²

Lösung für

(3xy - 1)² = (3xy)² - 2 ∙ 3xy ∙ 1 + 1² = 9x²Und² - 6xy + 1

Lösung b

(2z + 5y)² = (2z)² + 2 ∙ 2z ∙ 5y + (5y)² = 4z² + 20zy + 25y²

Lösung c

[(x+y) - 6]² = (x+y)² - 2 ∙ (x +y) ∙ 6 +6² = (x+y)² - 12 ∙ (x + y) + 36

Der erste Term des Trinomials kann wiederum entwickelt werden:

(x+y)² = x² + 2x ∙ y + und²

Und ersetzen Sie das vorherige Ergebnis:

[(x+y) - 6]² = (x+y)² - 12 ∙ (x + y) + 36 = x² + 2x ∙ y + und² - 12 ∙ (x + y) + 36

Perfekte quadratische Trinom

Das Ergebnis der Entwicklung eines quadratischen Binomials enthält drei Begriffe gemäß: (a ± b)² = a² ± 2ab + b². Deshalb heißt es Trinom (drei Monome) und es ist auch perfekt, da es von Square A Binomial erhalten wird.

Identifizieren eines perfekten quadratischen Trinomials und das Finden des entsprechenden Binomial.

Zum Beispiel Trinomial x² + 14x + 49 ist ein perfekter quadratischer Trinom, da:

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X² + 14x + 49 = (x + 7)²

Der Leser kann leicht überprüfen und das Quadrat des Binomials entwickeln (x + 7)² Nach den vorherigen Formeln:

(x + 7)² = x² + 2x ∙ 7 + 7² = x² + 14x + 49