Mathematik

Konjugiertes Binomial, wie es gelöst wird, Beispiele, Übungen

Konjugiertes Binomial, wie es gelöst wird, Beispiele, Übungen

A Konjugiertes Binomial Von einem anderen Binomial ist einer, in dem sie sich nur durch ein Zeichen der Operation unterscheiden. Das Binomial ist, wie der Name schon sagt, eine algebraische Struktur, die aus zwei Begriffen besteht.

Einige Beispiele für Binomien sind: (A + b), (3m - n) Und (5x - y). Und ihre jeweiligen konjugierten Binomien sind: (a - b), (-3m - n) und (5x + y). Wie sofort zu sehen ist, liegt der Unterschied im Zeichen.

Abbildung 1. Ein Binomial und sein konjugiertes Binomial. Sie haben die gleichen Begriffe, unterscheiden sich aber im Zeichen. Quelle: f. Zapata.

Eine Binomialmultiplizierung mit seinem Konjugat führt zu einem bemerkenswerten Produkt, das in Algebra und Wissenschaft häufig verwendet wird. Das Ergebnis der Multiplikation ist die Subtraktion der Quadrate der Begriffe des ursprünglichen Binomials.

Zum Beispiel, (X - y) Es ist ein Binomial und sein Konjugat ist (x + y). Dann ist das Produkt der beiden Binomien die Differenz der Quadrate der Begriffe:

(X - y).(x + y) = x2 - Und2

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Wie wird ein konjugiertes Binomial gelöst??

Die mit den konjugierte Binomien ausgesprochene Regel lautet wie folgt: 

Das Produkt von zwei konjugierten Binomien entspricht dem Quadrat des ersten Terms abzüglich des Quadrats des zweiten Terms. Dieses Ergebnis wird als quadratischer Differenz bezeichnet.

Als Beispiel für die Anwendung werden wir zunächst das vorherige Ergebnis demonstrieren, das mit der Verteilungseigenschaft des Produkts in Bezug auf die algebraische Summe erfolgen kann.

(x - y) (x + y) = x.x + x.und und.X - y.Und

Die vorherige Multiplikation wurde nach diesen Schritten erhalten:

- Die erste Amtszeit des ersten Binomial

- Dann der erste des ersten zum zweiten des zweiten

- Dann der zweite des ersten für den ersten des zweiten 

- Schließlich der zweite des ersten für den zweiten des zweiten.

Kann Ihnen dienen: Vektoralgebra

Nehmen wir nun eine kleine Änderung mit der kommutativen Eigenschaft vor: Und.x = x.Und. Es bleibt so:

(x - y) (x + y) = x.x + x.y - x.und und.Und

Da es zwei gleiche Begriffe gibt, aber ansonsten (in Farbe hervorgehoben und unterstrichen) werden sie storniert und vereinfacht:

(x - y) (x + y) = x.X - y.Und

Schließlich wird angewendet, dass das Multiplizieren einer Zahl selbst entspricht, sie quadratisch zu heben, also X.x = x2 und auch Und.y = y2.

Auf diese Weise, worauf im vorhergehenden Abschnitt hingewiesen wurde, ist das Produkt einer Summe für ihre Differenz die Differenz der Quadrate:

(X - y).(x + y) = x2 - Und2

Figur 2. Eine Summe für seine Differenz ist eine Differenz der Quadrate. Quelle: f. Zapata.

Beispiele

- Konjugierte Binomien verschiedener Ausdrücke

Beispiel 1

Finden Sie das Konjugat von (und2 - 3y).

Antworten: (Und2 + 3y)

Beispiel 2

Holen Sie sich das Produkt von (und2 - 3y) für seinen Konjugat.

Antworten: (Und2 - 3y) (und2 + 3y) = (und2)2 - (3y)2 = y4 - 32 Und2 = y4 - 9y2

Beispiel 3

Entwickeln Sie das Produkt (1 + 2a).(2a -1).

Antworten: Der vorherige Ausdruck entspricht (2a + 1).(2a -1), dh es entspricht dem Produkt eines Binomials für sein Konjugat.

Es ist bekannt, dass das Produkt eines Binomials für sein konjugiertes Binomial der Differenz der Quadrate der Binomialbegriffe entspricht:

(2a + 1) (2a -1) = (2a)2 - 12 = 4 a2 - 1

Beispiel 4

Schreiben Sie das Produkt (x + y + z) (x - y - z) als Differenz der Quadrate.

Antworten: Wir können die Trinomien vor der Form konjugierter Binomien aufnehmen und sorgfältig von Klammern und quadratischen Klammern verwendet werden:

(x + y + z) (x - y - z) = [x + (y + z)] [x - (y + z)]

Auf diese Weise kann der Unterschied der Quadrate angewendet werden:

(x + y + z) (x - y - z) = [x + (y + z)]].[x - (y+z)] = x2 - (Y+z)2

Beispiel 5

Das Produkt ausdrücken (m2 - m -1).(M2 + m -1) als Unterschied in den Quadraten.

Kann Ihnen dienen: 120 Divisors

Antworten: Der vorherige Ausdruck ist das Produkt von zwei Trinomen. Zunächst muss es als Produkt von zwei konjugierten Binomien neu geschrieben werden:

(M2 - m -1) (m2 + m -1) = (m)2 - 1 - m) (m)2 -1 + m) = [(m)2 -1) - m].[(M2 -1) +m)]

Wir wenden die Tatsache an, dass das Produkt eines Binomials durch seinen Konjugat die quadratische Differenz seiner Begriffe ist, wie erläutert:

[(M2 -1) - m].[(M2 -1) +m)] = (m)2 -1)2 - M2

Übungen

Wie immer beginnt es mit den einfachsten Übungen und dann erhöht die Komplexität.

- Übung 1

Escriba (9 - a2) als Produkt.

Lösung

Zunächst schreiben wir den Ausdruck als einen Unterschied der Quadrate um, um das zuvor erklärte anzuwenden. Deshalb:

(9 - a2) = (32 - Zu2)

Wir berücksichtigen sofort, was dem Schreiben dieser Differenz der Quadrate als Produkt entspricht, wie in der Erklärung angefordert:

(9 - a2) = (32 - Zu2) = (3 + a) (3 -a)

- Übung 2

Faktorisieren Sie 16x2 - 9y4.

Lösung

Faktor Ein Ausdruck bedeutet, ihn als Produkt zu schreiben. In diesem Fall ist es erforderlich, den Ausdruck zuvor umzuschreiben, um einen Unterschied der Quadrate zu erhalten.

Es ist nicht schwierig, es zu tun, da alle Faktoren sorgfältig beobachtet werden, die perfekten Quadrate sind. Zum Beispiel 16 ist das Quadrat von 4, 9 ist das Quadrat von 3, Und4 ist das Quadrat von Und2 Und X2 ist das Quadrat von X:

16x2 - 9y4  = 42X2 - 32Und4 = 42X2  - 32(Und2)2

Dann ist das, was wir bereits wissen, angewendet: ein Unterschied in den Quadraten ist das Produkt konjugierter Binomien:

(4x)2 - (3 und2)2 = (4x - 3 und2) . (4x + 3 und2)

- Übung 3

Schreiben Sie (a - b) als Binomialprodukt

Lösung

Der vorherige Unterschied sollte als quadratische Unterschiede geschrieben werden

(√a)2 -(√b)2

Dann wird angewendet, dass der Unterschied in den Quadraten das Produkt der konjugierten Binomien ist

Kann Ihnen dienen: Reduzierung ähnlicher Begriffe

(√a - √b) (√a + √b)

- Übung 4

Eine der Verwendungen des konjugierten Binomials ist die Rationalisierung algebraischer Ausdrücke. Dieses Verfahren besteht darin, die Wurzeln des Nenner eines fraktionalen Ausdrucks zu beseitigen, der bei zahlreichen Gelegenheiten den Betrieb erleichtert. Es wird gebeten, das konjugierte Binomial zu verwenden, um den folgenden Ausdruck zu rationalisieren:

√ (2 -x) / [√3 - √ (2+x)]]]

Lösung

Die erste besteht darin, das konjugierte Binomial des Nenners zu identifizieren: [√3 + √ (2 + x)]]].

Jetzt multiplizieren wir Zähler und Nenner des ursprünglichen Ausdrucks mit dem konjugierten Binomial:

√ (2 -x) [√3+√ (2+x)] /[√3 - √ (2+x)].[√3 + √ (2 + x)]

Im Nenner des vorherigen Ausdrucks erkennen wir das Produkt eines Unterschieds durch eine Summe, von der wir bereits wissen, dass wir der Differenz der Quadrate der Binomials entsprechen:

√ (2-x) .[√3 + √ (2 + x)] /(√3)2 - [√ (2+x)]2 

Die Vereinfachung des Nenners ist:

√ (2-x).[√3+√ (2+x)] / [3 - (2+x)] = √ (2 -x). [√3 + √ (2 + x)] / (1 - x)

Jetzt kümmern wir uns um den Zähler, für den wir die Verteilungseigenschaft des Produkts in Bezug auf die Summe anwenden:

√ (2-x) .[√3 + √ (2 + x)] / (1 - x) = √ (6-3x) + √ [(2 -x) (2 + x)] / (1 - x)

Im vorherigen Ausdruck erkennen wir das Produkt des Binomial. Auf diese Weise wird schließlich ein rationalisierter und vereinfter Ausdruck erhalten:

[√ (6-3x) + √ (4-x2)] / (1 - x)

- Übung 5

Entwickeln Sie das folgende Produkt unter Verwendung der Eigenschaften des konjugierten Binomial:

[2nd(x + 3y) - 3(x - 3y)].[2nd(x + 3y) + 3(x - 3y)]

Lösung

4(2x + 6y) - 9(2x - 6y) = 4a(2x) .Zu(6y) - 9(2x) .Zu(-6y)= [4a(6y) - 9(-6y)] .Zu(2x)

Der aufmerksame Leser hat den gemeinsamen Faktor bemerkt, der in Farbe hervorgehoben wurde.

Verweise

  1. Baldor, a. 1991. Algebra. Venezolanische kulturelle Redaktion s.ZU.
  2. González J. Konjugierte Binomialübungen. Erholt von: Akademie.Edu.
  3. Mathematik Alex. Bemerkenswerte Produkte. Von YouTube geborgen.com.
  4. Math2me. Konjugierte Binomien/ bemerkenswerte Produkte. Von YouTube geborgen.com.
  5. Konjugierte Binomialprodukte. Wiederhergestellt von: lms.Colbachenlinea.mx.
  6. Vitual. Konjugierte Binomien. Erholt von: YouTube.com.