Ansatzberechnung unter Verwendung von Differentialen

Ein Ansatz in der Mathematik ist eine Zahl, die nicht der genaue Wert von etwas ist, sondern so nah wie nützlich angesehen wird wie der genaue Wert.

Wenn Ansätze in Mathematik durchgeführt werden.

Das Hauptwerkzeug bei der Arbeit mit Ansätzen ist das Unterschied einer Funktion. Die Differential einer F -Funktion, die durch ΔF (x) gekennzeichnet ist, ist nichts anderes als die Ableitung der Funktion f multipliziert mit der Änderung der unabhängigen Variablen, dh ΔF (x) = f '(x)*Δx.

Manchmal werden DF und DX anstelle von ΔF und Δx verwendet.

Ansätze mit Differential

Die Formel, die angewendet wird, um eine Näherung durch das Differential durchzuführen.

Diese Formel ist gegeben durch:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0)*(x-x0) = f (x0) + f' (x0)*Δx.

Hier versteht. Mit dieser Form kann die Formel als umgeschrieben werden

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)*Δx.

Es sollte beachtet werden, dass "x0" kein willkürlicher Wert ist, sondern dass es ein solcher Wert ist, dass f (x0) leicht bekannt ist; Zusätzlich ist "F (x)" nur der Wert, den wir uns nähern möchten.

Gibt es bessere Ansätze??

Die Antwort ist ja. Der vorherige ist der einfachste der Ansätze, die als "linearer Ansatz" bezeichnet werden.

Für bessere Qualitätsansätze (der Fehler ist niedriger) werden Polynome mit mehr Derivaten genannt "Taylor-Polynome" sowie andere numerische Methoden wie die Newton-Raphson-Methode unter anderem verwendet.

Strategie

Die Strategie zu folgen ist:

- Wählen Sie eine angemessene F -Funktion, um die Annäherung und den Wert „X“ auszuführen, den f (x) der Wert ist, den Sie annähern möchten.

- Wählen Sie einen "x0" -Wert nahe an "x", so dass F (x0) leicht zu berechnen ist.

- Berechnen Sie Δx = x-x0.

- Berechnen Sie die abgeleitete Funktion und f '(x0).

- Ersetzen Sie die Daten in der Formel.

Aufgelöste Annäherungsübungen

In dem, was fortgesetzt wird, gibt es eine Reihe von Übungen, bei denen Annäherungen mit Differential durchgeführt werden.

1. Erste Übung

Ungefähr √3.

Lösung

Nach der Strategie müssen Sie eine angemessene Funktion auswählen. In diesem Fall ist ersichtlich, dass die ausgewählte Funktion f (x) = √x sein muss und der annäherne Wert f (3) = √3 ist.

Jetzt müssen Sie einen "x0" -Wert nahe "3" wählen, so dass F (x0) leicht zu berechnen ist. Wenn „x0 = 2“ ausgewählt wird, muss „x0“ nahe an „3“ liegt, aber f (x0) = f (2) = √2 ist nicht einfach zu berechnen.

Der Wert von "x0", der passt, lautet "4", weil "4" nahe an "3" und auch f (x0) = f (4) = √4 = 2 ist.

Wenn "x = 3" und "x0 = 4", dann Δx = 3-4 = -1. Jetzt wird die Ableitung von F berechnet. Das heißt, f '(x) = 1/2*√x, so dass f' (4) = 1/2√4 = 1/2*2 = 1/4.

Das Ersetzen aller Werte in der Formel wird erhalten:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4)*( - 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1.75.

Wenn ein Taschenrechner verwendet wird, wird er erhalten, dass √3aden 1.73205 ... Dies zeigt, dass das vorherige Ergebnis eine gute Annäherung an den tatsächlichen Wert ist.

2. Zweite Übung

Ungefähr √10.

Lösung

Wie zuvor wird es als Funktion f (x) = √x und in diesem Fall x = 10 gewählt.

Der Wert von x0, der bei dieser Gelegenheit ausgewählt werden muss, lautet "x0 = 9". Es ist dann notwendig.

Bei der Bewertung in der Formel wird das erhalten

√10 = f (10) ≈ 3 + 1*1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 ..

Unter Verwendung eines Taschenrechners wird er erhalten, dass √10 ≈ 3.1622776… Hier können Sie auch sehen, dass zuvor ein guter Ansatz erreicht wurde.

3. Dritte Übung

Ungefähre ³√10, wobei ³√ die Kubikwurzel bezeichnet.

Lösung

Die Funktion, die in dieser Übung verwendet werden sollte, lautet eindeutig f (x) = ³√x und der Wert von "x" muss "10" sein.

Ein Wert nahe "10", so dass seine kubische Wurzel bekannt ist, ist "x0 = 8". Dann musst du Δx = 10-8 = 2 und f (x0) = f (8) = 2. Sie müssen auch f '(x) = 1/3*³√x² und Folge /12.

Ersetzen der Daten in der Formel Es wird erhalten, dass:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12)*2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.16666 .. .

Der Taschenrechner besagt, dass ³√10 ≈ 2.15443469… Daher ist die gefundene Annäherung gut.

4. Vierte Übung

Ungefähr LN (1.3), wobei "ln" die natürliche Logarithmusfunktion bezeichnet.

Lösung

Zuerst wird es als Funktion f (x) = ln (x) ausgewählt und der Wert von „x“ ist 1.3. Wenn Sie nun ein wenig über die Logarithmusfunktion wissen, können Sie wissen, dass Ln (1) = 0 und auch "1" nahe an "1) liegt.3". Daher wird „x0 = 1“ gewählt und so Δx = 1.3 - 1 = 0.3.

Andererseits f '(x) = 1/x, so dass f' (1) = 1. Bei der Bewertung in der angegebenen Formel müssen Sie:

ln (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1*0.3 = 0.3.

Wenn Sie einen Taschenrechner verwenden, müssen Sie LN (1.3) ≈ 0.262364 ... so dass die gemachte Annäherung gut ist.