Poisson -Koeffizientenkoeffizient, Formeln, Werte, Beispiele

Er Poisson -Koeffizient Es ist eine dimensionslose Menge, charakteristisch für jedes Material. Es ist ein Hinweis auf die Verformung eines Materials vor der Anwendung bestimmter Bemühungen.

Wenn ein materielles Stück, das einer Spannung oder Komprimierung unterliegt, eine Deformation erleidet, ist der Quotient zwischen Querverformung und Längsschnittdeformation genau der Poisson -Koeffizient.

Abbildung 1. Poissons Koeffizient misst die Beziehung zwischen Längsschnitt und Querverengung. (Vorbereitet von Ricardo Pérez)

Zum Beispiel wird ein Gummizylinder, der an seinen Enden einer Spannung unterzogen wird. Abbildung 1 zeigt einen Balken, dessen ursprüngliche Abmessungen: langes L und Durchmesser D sind.

Die Stange wird von ihren Enden einer T -Spannung ausgesetzt, und als Folge dieser Spannung ist eine Strecke, so dass die neue Länge l '> l ist. Aber beim Dehnen tritt auch eine Verengung seines Durchmessers zum neuen Wert auf: D ' < D.

Der Quotient zwischen Dehnung (positiv) und Verengung (negativ) multipliziert mit (-1) ist eine positive Zahl zwischen 0 und 0,5. Diese Zahl ist der sogenannte Poisson ν -Koeffizient (griechischer Buchstaben).

[TOC]

Poisson -Koeffizientenformel

Um den Poisson -Koeffizienten zu berechnen Es ist erforderlich, die Längs- und Quereinheitsdeformation zu bestimmen.

Deformation der Längseinheit ε_L Es ist die Strecke, die zwischen der ursprünglichen Länge unterteilt ist:

ε_L = (L ' - l) / l

In ähnlicher Weise trat eine transversale einheitliche Deformation ε an_T Es ist die radiale Verengung zwischen dem ursprünglichen Durchmesser:

ε_T = (D ' - d) / d

Daher wird der Poisson -Koeffizient durch die folgende Formel berechnet:

ν = - ε_T / ε_L 

Beziehung zum Elastizitätsmodul und dem Steifigkeitsmodul

Poisson ν -Koeffizient hängt mit dem Modul zusammen UND der Elastizität (oder des jungen Moduls) und mit dem Steifigkeitsmodul G, nach der folgenden Formel:

Kann Ihnen dienen: Geometrische Optik: Welche Studien, Gesetze, Anwendungen, Übungen

ν = e /(2g) - 1

Poisson -Koeffizientenwert für Materialien

Figur 2. Edelstahl hat einen Poisson -Koeffizienten zwischen 0,30 und 0,31. Quelle: Pixabay.

Beispiele für die Berechnung

Beispiel 1

Ein Stab eines bestimmten Kunststoffmaterials hat eine Länge von 150 mm und einen kreisförmigen Abschnitt von 20 mm Durchmesser. Wenn eine Kompressionskraft von 612,25 kg-F einer Kompressionskraft unterzogen wird.

Berechnung:

A) Längsfunktioneneinheitliche Verformung.

b) Transversal einheitliche Deformation.

c) Poissons Koeffizient dieses Materials.

d) Das Elastizitätsmodul der Jungen entspricht dem Material.

e) Das Starrviditätsmodul für diesen Kunststoff.

Lösung für

Erinnern Sie sich daran, dass die Verformung der Längseinheiten εl die Dehnung geteilt ist, die durch die ursprüngliche Länge geteilt wird:

εl = (l ' - l) / l

εl = (-14 mm) / 150 mm = -0,0933

Beachten Sie, dass die Längsfassungsdeformation dimensionlos ist, und in diesem Fall negativ, da die Längsabmessung abgenommen hat.

Lösung b

In ähnlicher Weise ist die einheitliche Querverformung εt radial verengt, geteilt durch den ursprünglichen Durchmesser:

εt = (d ' - d) / d

εt = (+0,85 mm) / 20 mm = 0,0425

Transversale einheitliche Deformation war positiv, da der Durchmesser der Stange zugenommen hat.

Lösung c

Für die Berechnung des Poisson -Koeffizienten müssen wir uns daran erinnern, dass er als negativ des Quotienten zwischen Querverformung und Längsfunktion definiert ist:

ν = - εt / εl 

ν = - 0,0425 / (-0,0933) = 0,4554

Es sollte daran erinnert werden, dass Poissons Koeffizient eine positive dimensionslose Zahl ist und für die meisten Materialien zwischen 0 und 0,5 liegt.

Kann Ihnen dienen: Darcy Law

Lösung d

Youngs Elastizitätsmodul, die in Brief E gekennzeichnet ist. Durch E hängt der normale Aufwand σl wie folgt mit der einheitlichen Deformation εl zusammen:

σl = e εl 

Normale Anstrengungen sind definiert als der Quotient zwischen der Normalkraft (in diesem Fall parallel zur Achse des Balkens) und dem Querschnitt:

σl = f / a = f / (π / 4 * d^2)

In dieser Übung beträgt Force F 612,25 kg-f, was an Newtons hergestellt wird, was die Krafteinheit ist:

F = 612,25 kg-f = 612,25 * 9,8 n = 6000 n = 6 kN

Der Querschnitt A ist für seinen Teil::

A = (π/4 * d^2) = (3,1416/4) * (20 * 10^-3 m)^2 = 3,1416 * 10^-4 m^2

Schließlich ist der normale Aufwand für die Bar:

σl = f / a = 6000 n / 3,1416 * 10^-4 m^2 = 19.098.593 PA = 19.098 MPa

Um das Elastizitätsmodul von Young zu berechnen, klären wir und das Hookes Gesetz σl = e εl:

E = σl / εl = 19.098.593 PA / 0,0933 = 204,7 MPa

Lösung e

Das R -Starrviditätsmodul hängt mit dem EG -Modul von Young und dem Poisson ν -Koeffizienten durch diese Formel zusammen:

E / (2 g) = 1 + ν 

Von dort aus können Sie G klären:

G = e / (2 (1 + ν)) = 204,7 MPa / (2 (1 + 0,4554)) = 70,33 MPa

Beispiel 2

Sie haben ein 4 mm- und 1 m langes Kabel mit langem Durchmesser. Zu wissen, dass das Kupfer-Young-Modul 110000 MPa beträgt und dass sein Poisson-Koeffizient 0,34 beträgt, schätzt es das Dehnen und Verengung im Durchmesser, dass der Draht bei einem Gewicht von 100 kg-f leidet.

Lösung

Erstens müssen die normalen Traktionsaufwand, die das Gewicht auf dem Draht ausübt, nach dieser Formel berechnet:

Kann Ihnen dienen: Vektoren im Raum: Wie man grafisch, Anwendungen, Übungen

σl = f / a = f / (π / 4 * d^2)

Die Kraft F ist 980 n und der Querschnitt ist:

A = (π/4 * d^2) = (3,1416/4) * (4 * 10^-3 m)^2 = 1,2566 * 10^-5 m^2

Dann ist der Traktionsaufwand:

σl = 980 n / 1,2566 * 10^-5 m^2 = 77.986.000 pa

Berechnung der Verformung der einheitlichen Draht

Das durch Buchstaben E gekennzeichnete Elastizitätsmodul ist die Verhältnismäßigkeitskonstante im Hooke -Gesetz, die den normalen Aufwand σl auf die einheitliche Deformation εl bezieht:

σl = e εl 

Von dort kann die Längsfunktion der einheitlichen Deformation des Kupferdrahtes gelöscht werden:

εl = σl / e = 77.986 MPa / 110000 MPa = 7,09 * 10^-4

Berechnung der transversalen Einheitsverformung

Andererseits wird der Poisson -Koeffizient angewendet, um die transversale einheitliche Deformation zu kennen:

ν = - εt / εl 

Schließlich müssen Sie die einheitliche Verformung quer: 

εt = -ν εl = -0,34 * 7.09 * 10 ^-4 = -2,41 * 10 ^-4

Kabel Absolutes Stretchberechnung

Um die absolute Dehnung des Kabels zu kennen, muss die folgende Beziehung angewendet werden:

ΔL = εl * l = 7,09 * 10^-4 * 1 m = 7,09 * 10^-4 m = 0,709 mm

Das heißt, mit diesem Gewicht war das Kabel kaum 0,709 Millimeter dauerte.

Berechnung der Abnahme des Durchmessers

Um das absolute Schrumpfung im Durchmesser zu erhalten, verwenden wir die folgende Formel:

ΔD = εt * d = -2,41 * 10 ^-4 * 4 mm = -9,64 * 10 ^-4 mm = -0.000964 Millimeter.

Diese Verengung im Durchmesser ist so klein, dass es mit dem bloßen Auge schwer zu schätzen ist, selbst seine Messung erfordert ein hochpräzises Instrument.

Verweise

1. Bier F ... Materialmechanik. 5. Auflage. 2010. Mc Graw Hill. 1-130.
2. Hibbeler R. Materialmechanik. Achte Ausgabe. Prentice Hall. 2011. 3-60.
3. Gere J. Materialmechanik. Achte Ausgabe. Cengage Lernen. 4-220.
4. Giancoli, d. 2006. Physik: Prinzipien mit Anwendungen. 6. ed. Prentice Hall. 238-242.
5. Valera Negrete, J. 2005. Allgemeine Physiknotizen. Unam. 87-98.