Kongruenz kongruente Zahlen, Kriterien, Beispiele, Übungen

Der Kongruenz, In der Geometrie weist er darauf hin, dass, wenn zwei flache Zahlen die gleiche Form und Abmessungen haben, diese kongruent sind. Zum Beispiel sind zwei Segmente kongruent, wenn ihre Längen gleich sind. Auch die kongruenten Winkel haben das gleiche Maß, obwohl sie in der Ebene nicht auf die gleiche Weise ausgerichtet sind.

Der Begriff "Kongruenz" stammt aus dem Latein Kongruentien, deren Bedeutung ist Korrespondenz. Somit entsprechen zwei kongruente Zahlen genau einem mit dem anderen.

Abbildung 1. Die Vierecker ABCD und A'B'C'd 'der Figur sind kongruent: Ihre Seiten haben die gleiche Maßnahme sowie ihre inneren Winkel. Quelle: f. Zapata.

Wenn wir beispielsweise die beiden Vierecker des Bildes überlappen, werden wir feststellen, dass sie kongruent sind, da die Disposition ihrer Seiten identisch ist und dasselbe messen.

Wenn Sie die Vierecker ABCD und A'B'c'd 'ein andererseits platzieren, fällt die Figuren genau zusammen. Die passenden Seiten werden genannt Homologe Seiten entweder dazugehörigen Und um Kongruenz auszudrücken, wird das Symbol ≡ verwendet. Dann können wir sagen, dass ABCD ≡ a'b'c'd ''.

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Kongruenzkriterien

Die folgenden Merkmale sind bei kongruenten Polygonen üblich:

-Gleiche Form und Größe.

-Identische Messungen Ihrer Winkel.

-Das gleiche Ausmaß an jedem seiner Seiten.

Für den Fall, dass zwei fragliche Polygone regelmäßig sind, dh alle Seiten und inneren Winkel gleich messen, wird die Kongruenz sichergestellt, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

-Die Seiten sind kongruent

-Der Apothem haben die gleiche Maßnahme

-Er Radio von jedem Polygon misst dasselbe

Das Apotheme eines regulären Polygons ist der Abstand zwischen der Mitte und einem der Seiten, während der Radius dem Abstand zwischen der Mitte und einem Scheitelpunkt oder einer Ecke der Figur entspricht.

Kongruenzkriterien werden häufig verwendet, da viele Teile und Teile aller Art in Reihe hergestellt werden und die gleiche Form und Maßnahmen haben müssen. Auf diese Weise können sie bei Bedarf leicht ersetzt werden, z.

Kann Ihnen dienen: Simpson -Regel: Formel, Demonstration, Beispiele, ÜbungenFigur 2. Straßerns Kopfsteinpflaster sind kongruente Figuren, da ihre Form und Abmessungen genau gleich sind, obwohl sich ihre Ausrichtung auf dem Boden ändern kann. Quelle: Pixabay.

Kongruenz, Identität und Ähnlichkeit

Zum Beispiel gibt es geometrische Konzepte im Zusammenhang mit Kongruenz Die identischen Figuren und das Ähnliche Zahlen, das bedeutet nicht unbedingt, dass die Zahlen kongruent sind.

Beachten Sie, dass die kongruenten Zahlen identisch sind, die Vierecker von Abbildung 1 jedoch auf unterschiedliche Weise in der Ebene ausgerichtet werden können und weiterhin kongruent sind, da die unterschiedliche Orientierung die Größe ihrer Seiten oder die ihrer Winkel nicht ändert. In diesem Fall würden sie aufhören, identisch zu sein.

Das andere Konzept ist das der Ähnlichkeit der Abbildungen: Zwei flache Zahlen sind ähnlich, wenn sie die gleiche Form haben und ihre inneren Winkel dasselbe messen, obwohl die Größe der Figuren unterschiedlich sein kann. Wenn dies der Fall ist, sind die Zahlen nicht kongruent.

Kongruenzbeispiele

- Kongruenz der Winkel

Wie wir zu Beginn angedeutet haben, haben die kongruenten Winkel die gleiche Maßnahme. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, kongruente Winkel zu erhalten:

Beispiel 1

Zwei Linien mit einem gemeinsamen Punkt definieren zwei Winkel, genannt Gegenwinkel durch den Scheitelpunkt. Diese Winkel haben die gleiche Maßnahme, daher sind sie kongruent.

Figur 3. Gegenwinkel durch den Scheitelpunkt. Quelle: Wikimedia Commons.

Beispiel 2

Es gibt zwei parallele Linien sowie eine Linie T das schneidet sie beide. Wie im vorherigen Beispiel, wenn diese Zeile die Parallelen überschneidet, erzeugt sie kongruente Winkel, eine auf jeder Zeile zur rechten Seite und zwei andere auf der linken Seite. Die Abbildung zeigt α und α₁, rechts von der Linie T, Sie sind kongruent.

Figur 4. Die in der Figur gezeigten Winkel sind kongruent. Quelle: Wikimedia Commons. Lfahlberg/cc By-SA (https: // creativecommons.Org/lizenzen/by-sa/3.0).

Beispiel 3

In einem Parallelogramm gibt es vier interne Winkel, die zwei bis zwei kongruent sind. Sie sind diejenigen zwischen entgegengesetzten Eckpunkten, wie in der folgenden Abbildung gezeigt, in denen die beiden grünen Winkel kongruent sind, sowie die beiden Winkel rot.

Kann Ihnen dienen: Acutangle -DreieckAbbildung 5. Die inneren Winkel des Parallelogramms sind zwei bis zwei kongruent. Quelle: Wikimedia Commons.

- Kongruenz der Dreiecke

Zwei Dreiecke identischer Form und gleicher Größe sind kongruent. Um dies zu überprüfen, gibt es drei Kriterien, die auf der Suche nach Kongruenz untersucht werden können:

-LLL -Kriterien: Die drei Seiten der Dreiecke haben die gleichen Maßnahmen, daher l₁ = L '₁; L₂ = L '₂ und ich₃ = L '_3.

Abbildung 6. Beispiel für kongruente Dreiecke, deren Seiten dasselbe messen. Quelle: f. Zapata.

-Kriterien Alla y Aal: Die Dreiecke haben zwei gleiche innere Winkel und die Seite zwischen diesen Winkeln hat die gleiche Maßnahme.

Abbildung 7. Kriterien Ala und Aal für die Kongruenz von Dreiecken. Quelle: Wikimedia Commons.

-LAL -Kriterien: Zwei der Seiten sind identisch (entsprechend) und unter ihnen gibt es den gleichen Winkel.

Abbildung 8. Lal -Kriterien für die Kongruenz von Dreiecken. Quelle: Wikimedia Commons.

Gelöste Übungen

- Übung 1

In der folgenden Abbildung sind zwei Dreiecke gezeigt: ΔABC und ΔECF. Es ist bekannt, dass AC = EF, Ab = 6 und CF = 10. Zusätzlich sind die Winkel ∡BAC und ∡FEC kongruent und die Winkel ∡ACB und ∡FCB sind ebenfalls.

Abbildung 9. Dreiecke für das Beispiel 1 gelöst 1. Quelle: f. Zapata.

Dann ist die Länge des BE -Segments gleich:

(i) 5 

(Ii) 3

(Iii) 4 

(Iv) 2

(v) 6

Lösung

Da die beiden Dreiecke eine Seite gleicher Länge AC = EF zwischen den gleichen Winkeln haben ∡bac = ∡cef und ∡bca = ∡cfe können sagen, dass die beiden Dreiecke durch die Kriterienflügel kongruent sind.

Das ist ΔBac ≡ Δcef, also musst du:

Ba = ce = ab = 6

Bc = cf = 10

AC = EF

Aber das Segment, das Sie berechnen möchten, ist = BC - EC = 10 - 6 = 4.

So dass die richtige Antwort die (iii) ist.

- Übung 2

Drei Dreiecke sind in der Abbildung dargestellt. Es ist auch bekannt. Finden Sie den in der Abbildung angegebenen Wert des Winkels x.

Es kann Ihnen dienen: Polybal -GrafikenAbbildung 10. Dreiecke für das Beispiel gelöst 2. Quelle: f. Zapata.

Lösung

Sie müssen die Eigenschaften der Dreiecke anwenden, die Schritt für Schritt detailliert sind.

Schritt 1

Ausgehend von den Kriterien für die Kongruenz von Lal -Dreiecken kann gesagt werden, dass die BAP- und PDC -Dreiecke kongruent sind:

ΔBAP ≡ Δpdc

Schritt 2

Das obige führt zu bestätigen, dass BP = PC, daher das Dreieck ΔBPC isoskell und ∡pcb = ∡pbc = x ist.

Schritt 3

Wenn wir γ im BPC -Winkel aufrufen, folgt darauf:

2x + γ = 180º

Schritt 4

Und wenn wir β zu den APB- und DCP- und α -Winkeln in die ABP- und DPC -Winkel aufrufen, muss es:

α + β + γ = 180º (da APB ein flacher Winkel ist).

Schritt 5

Zusätzlich α + β + 80º = 180º durch Summe der inneren Winkel des APB -Dreiecks.

Schritt 6

Kombinieren Sie all diese Ausdrücke, die Sie müssen:

α + β = 100º

Schritt 7

Und deshalb:

γ = 80º.

Schritt 8

Schließlich folgt das:

2x + 80º = 180º

Mit x = 50º.

Verweise

1. Baldor, a. 1973.Flache und Raumgeometrie. Zentralamerikanische Kultur.
2. CK-12 Foundation. Kongruente Polygone. Abgerufen von: CK 12.Org.
3. Genießen Sie die Mathematik. Definitionen: Radio (Polygon). Erholt von: genießeMatimaticas.com.
4. Mathematik offene Referenz. Polygone auf Kongruenz testen. Erholt von: mathpenref.com.
5. Wikipedia. Kongruenz (Geometrie). Geborgen von: ist.Wikipedia.Org.
6. Zapata, f. Dreiecke, Geschichte, Elemente, Klassifizierung, Eigenschaften. Abgerufen von: Lifer.com.