Integrationskonstante Bedeutung, Berechnung und Beispiele

Der Integrationskonstante Es ist ein Mehrwert für die Berechnung der Antiderivate oder Integrale. Es dient dazu, die Lösungen darzustellen, die den primitiven einer Funktion ausmachen. Drückt eine inhärente Ambiguität aus, wenn eine Funktion eine unendliche Anzahl von Primitiven hat.

Zum Beispiel, wenn die Funktion genommen wird: f (x) = 2x + 1 und wir erhalten ihr antiderivatives:

∫ (2x+1) dx = x² + X + C ; Wo C Es ist der Integrationskonstante und repräsentiert grafisch die vertikale Übersetzung zwischen den unendlichen Möglichkeiten der Primitiven. Es ist richtig zu sagen (x² + x) es ist A des primitiven f (x).

Quelle: Autor

Ebenso können Sie (x definieren können² + X + C ) als primitiv von f (x).

[TOC]

Inverse Eigenschaft

Es kann angemerkt werden, dass beim Ableiten des Ausdrucks (x² + x) Die Funktion f (x) = 2x + 1 wird erhalten. Dies ist auf die inverse Eigenschaft zwischen der Ableitung und der Integration von Funktionen zurückzuführen. Diese Eigenschaft ermöglicht es, Integrationsformeln ab der Differenzierung zu erhalten. Dies ermöglicht die Überprüfung von Integralen durch dieselben Derivate.

Quelle: Autor

Allerdings (x² + x) Es ist nicht die einzige Funktion, deren Derivat gleich ist (2x + 1).

1. D (X² + x)/ dx = 2x + 1
2. D (X² + x + 1)/ dx = 2x + 1
3. D (X² + x + 2)/ dx = 2x + 1
4. D (X² + x + 3)/ dx = 2x + 1
5. D (X² + X + C)/ dx = 2x + 1

Wobei 1, 2, 3 und 4 bestimmte Primitiven von f (x) = 2x + 1 darstellen. Während 5 das unbestimmte oder primitive Integral von F (x) = 2x + 1 darstellt.

Quelle: Autor

Der Primitiv einer Funktion wird durch den Antiderivations- oder Integralprozess erreicht. Wobei f ein primitives F sein wird, wenn Folgendes erfüllt ist

• y = ∫ f (x) dx = F (x) + c; C = Integrationskonstante
• F '(x) = f (x)

Es ist gewürdigt, dass eine Funktion ein einzelnes Derivat hat, im Gegensatz zu ihrer unendlichen Primitiven aufgrund der Integration.

Das unbestimmte Integral

 ∫ f (x) dx = f (x) + c

Es entspricht einer Kurvenfamilie mit demselben Muster, bei denen der Wert der Bilder jedes Punktes (x, y) Inkongruenz erlebt. Jede Funktion, die dieses Muster erfüllt Unbestimmtes Integral.

Der Wert der Integrationskonstante Es wird diejenige sein, die jede Funktion in der Praxis unterscheidet.

Der Integrationskonstante Es deutet auf eine vertikale Verschiebung in allen Grafiken hin, die den Primitiv einer Funktion darstellen. Wo Parallelität zwischen ihnen beobachtet wird und die Tatsache, dass C Es ist der Wert der Verschiebung.

Nach allgemeinen Praktiken Integrationskonstante Es wird nach einem Hinzufügen mit dem Buchstaben „C“ bezeichnet, obwohl es in der Praxis gleichgültig ist, wenn die Konstante addiert oder subtrahiert. Sein wirklicher Wert kann auf verschiedene Weise nach verschiedenen Weise gefunden werden Anfangsbedingungen.

Andere Bedeutungen der Integrationskonstante

Es wurde bereits darüber gesprochen, wie Integrationskonstante wird im Zweig von angewendet Integralrechnung; Eine Kurvenfamilie darstellen, die das unbestimmte Integral definieren. Aber viele andere Wissenschaften und Zweige haben sehr interessante und praktische Werte der Integrationskonstante, die die Entwicklung mehrerer Studien erleichtert haben.

Kann Ihnen dienen: Rechteck Trapez: Eigenschaften, Beziehungen und Formeln, Beispiele

Im physisch Die Integrationskonstante kann mehrere Werte entsprechend der Art der Daten annehmen. Ein sehr häufiges Beispiel ist es, die Funktion zu kennen V (t) das repräsentiert die Geschwindigkeit eines Teilchens gegen die Zeit t. Es ist bekannt, dass bei der Berechnung eines primitiven V (t) die Funktion erhalten wird R (t) das repräsentiert die Position der Partikel gegen Zeit.

Der Integrationskonstante repräsentiert den Wert der Anfangsposition, dh im Moment t = 0 heißt.

In ähnlicher Weise, wenn die Funktion bekannt ist BEI)  das repräsentiert die Beschleunigung der Partikel gegen Zeit. Der Primitiv von a (t) führt zu Funktion v (t), wobei die Integrationskonstante Es wird der Wert der Anfangsgeschwindigkeit v sein₀.

Im Wirtschaft, Durch die Erlangung des Primitiven einer Kostenfunktion durch Integration. Der Integrationskonstante wird die Fixkosten darstellen. Und so viele andere Anwendungen, die Differential- und Integralkalkül verdienen.

Wie wird die Integrationskonstante berechnet??

Für die Berechnung der Integrationskonstante, Es wird immer notwendig sein, das zu kennen Anfangsbedingungen. Die dafür verantwortlich sind, zu definieren, welcher der möglichen Primitiven das entsprechende ist.

In vielen Anwendungen wird es als unabhängige Variable zum Zeitpunkt (t) behandelt, wo die Konstante C Nehmen Sie die Werte, die die definieren Anfangsbedingungen des jeweiligen Falls.

Wenn das anfängliche Beispiel genommen wird: ∫ (2x+1) dx = x² + X + C

Eine gültige Ausgangsbedingung kann darin bestehen, die Grafik so zu konditionieren, dass sie eine bestimmte Koordinate durchläuft. Zum Beispiel ist bekannt, dass primitiv (x² + X + C) Durch den Punkt gehen (1, 2)

F (x) = x² + X + C; Dies ist die allgemeine Lösung

F (1) = 2

Wir ersetzen die allgemeine Lösung in dieser Gleichheit

F (1) = (1)² + (1) + c = 2

Wo es leicht abgeben kann, das C = 0

Auf diese Weise ist der entsprechende Primitive für diesen Fall F (x) = x² + X

Es gibt verschiedene Arten von numerischen Übungen, mit denen wir funktionieren Integrationskonstanten. In der Tat hört die Differential- und Integralkalkül nicht auf, in aktuellen Untersuchungen angewendet zu werden. Auf verschiedenen akademischen Ebenen können Sie finden; Aus der anfänglichen Berechnung durch Physik, Chemie, Biologie und Wirtschaft unter anderem.

Es wird auch im Studium von geschätzt Differentialgleichung, bei dem die Integrationskonstante Sie können verschiedene Werte und Lösungen aufnehmen, dies aufgrund der mehreren Empfehlungen und Integrationen, die in dieser Angelegenheit durchgeführt werden.

Beispiele

Beispiel 1

1. Eine Kanone befindet sich 30 Meter hohe Triebe vertikal ein Projektil. Es ist bekannt, dass die anfängliche Projektilgeschwindigkeit 25 m/s beträgt. Bestimmen:

• Die Funktion, die die Position des Projektils in Bezug auf die Zeit definiert.
• Die Flugzeit oder die Zeit der Zeit, in der das Partikel den Boden spielt.

Es kann Ihnen dienen: Die 8 Arten von Messfehlern (mit Beispielen)

Es ist bekannt, dass in einer gleichmäßig unterschiedlichen geradlinigen Bewegungsbeschleunigung ein konstanter Wert ist. Dies ist der Fall des Projektilstarts, bei dem die Beschleunigung der Schwere sein wird

G = - 10 m/s²

Es ist auch bekannt Integrationskonstanten.

A (t) = -10

V (t) = ∫a (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C₁

Die Anfangsbedingungen der Übung zeigen, dass die Anfangsgeschwindigkeit v ist₀ = 25 m/s. Dies ist die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0. Auf diese Weise erfüllt es:

V (0) = 25 = -10 (0) + C₁   Und C₁ = 25

Die Geschwindigkeitsfunktion wird definiert

V (t) = -10t + 25; Sie können die Ähnlichkeit mit der MRUV -Formel (v) sehen_F = V₀ + A x t)

In homologen ist die Geschwindigkeitsfunktion integriert, um den Ausdruck zu erreichen, der die Position definiert:

R (t) = ∫v (t) dt = ∫ (-10t+25) dt = -5t² + 25t + C₂

R (t) = -5t² + 25t + C₂  (Primitive Position)

Die Anfangsposition r (0) = 30 m ist bekannt. Dann wird der besondere Primitive des Projektils berechnet.

R (0) = 30 m = -5 (0)² + 25 (0) + C₂ . Wo C₂ = 30

Der erste Abschnitt wird seitdem gelöst R (t) = -5t² + 25t + 30  ; Dieser Ausdruck ist der Verschiebungsformel in Mrov r (t) = r homolog₀ + V₀T - gt²/2

Für den zweiten Abschnitt muss die quadratische Gleichung gelöst werden: -5t² + 25T + 30 = 0

Da es das Teilchen erstellt, um den Boden zu erreichen (Position = 0)

Quelle: Autor

Tatsächlich löst die Gleichung der 2. Klasse 2 Lösungen T: 6, -1 aus. Der Wert t = -1 wird ignoriert, da dies Zeiteinheiten sind, deren Domäne keine negativen Zahlen enthält.

Auf diese Weise ist der zweite Abschnitt, in dem die Flugzeit 6 Sekunden entspricht.

Beispiel 2

2. Finden Sie das primitive f (x), das den Anfangsbedingungen erfüllt:

• f "(x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7

Mit den Informationen des zweiten Ableitung f "(x) = 4 beginnt der Antiderivationsprozess

f '(x) = ∫f "(x) dx

∫4 dx = 4x + c₁

Wenn Sie den Zustand f '(2) = 2 kennen, fährt dann fort:

4 (2) + c₁ = 2

C₁ = -6 und f '(x) = 4x - 8

Fahren Sie für die zweite auf die gleiche Weise fort Integrationskonstante

f (x) = ∫f '(x) dx
∫ (4x - 8) dx = 2x² - 8x + c₂

Die Anfangsbedingung f (0) = 7 ist bekannt und fährt fort:

2 (0)² - 8 (0) + c₂ = 7

C₂ = 7 und f (x) = 2x² - 8x + 7

• f "(x) = x² ; f '(0) = 6; f (0) = 3

Ähnlich wie beim vorherigen Problem definieren wir die ersten Derivate und die ursprüngliche Funktion aus den Anfangsbedingungen.

f '(x) = ∫f "(x) dx

∫ (x²) Dx = (x³/3) + c₁

Mit Bedingung f '(0) = 6 geht aus:

Kann Ihnen dienen: Set -Theorie: Merkmale, Elemente, Beispiele, Übungen

(0³/3) + c₁ = 6; Wo₁ = 6 und f '(x) = (x³/3) + 6

Dann die zweite Integrationskonstante

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ [(x³/3) + 6] dx = (x⁴/12) + 6x + c₂

Die Anfangsbedingung f (0) = 3 ist bekannt und fährt fort:

[(0)⁴/12] + 6 (0) + c₂ = 3; Wo₂ = 3

Der besondere Primitive wird erhalten

f (x) = (X⁴/12) + 6x + 3

Beispiel 3

3. Definieren Sie die primitiven Funktionen angesichts der Derivate und einem Punkt des Diagramms:

• DY/dx = 2x - 2, der den Punkt durchläuft (3, 2)

Es ist wichtig zu beachten. Wo es nicht richtig anzunehmen ist, dass die Grafik des Derivats den angegebenen Punkt berührt, da sie zum Graphen der primitiven Funktion gehört.

Auf diese Weise drücken wir die Differentialgleichung wie folgt aus:

dy = ((2x - 2) dx  ; dann bei der Anwendung der Antiderivationskriterien, die Sie haben:

∫dy = ∫ (2x - 2) dx

y = x² - 2x + c

Anwenden der Anfangsbedingung:

2 = (3)² - 2 (3) + c

C = -1

Wird erhalten: f (x) = x² - 2x - 1

• Dy/dx = 3x² - 1 Das durchläuft den Punkt (0, 2)

Wir drücken die Differentialgleichung wie folgt aus:

dy = ((3x² - 1) dx  ; dann bei der Anwendung der Antiderivationskriterien, die Sie haben:

 ∫dy = ∫ ((3x² - 1) dx

y = x³ - x + c

Anwenden der Anfangsbedingung:

2 = (0)² - 2 (0) + c

C = 2

Wird erhalten: f (x) = x³ - x + 2

Vorgeschlagene Übungen

Übung 1

1. Finden Sie das primitive f (x), das den Anfangsbedingungen erfüllt:

• f "(x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
• f "(x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
• f "(x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
• f "(x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8

Übung 2

2. Ein Ballon, der mit 16 Fuß/s Geschwindigkeit steigt.

• Flugzeit definieren
• Was wird der Vektor v sein_F Wenn Sie den Boden berühren?

Übung 3

3. Die Abbildung zeigt das Beschleunigungsdiagramm - Zeit eines Autos, das sich im positiven Sinne der X -Achse bewegt. Das Auto fuhr zu einer konstanten Geschwindigkeit von 54 km/h. Bestimmen:

• Die anfängliche Beschleunigung des Autos
• Die Autogeschwindigkeit bei t = 5s
• Die Vertreibung des Autos während des Brems

Quelle: Autor

Übung 4

4. Definieren Sie die primitiven Funktionen angesichts der Derivate und einem Punkt des Diagramms:

• Dy/dx = x, das den Punkt durchläuft (-1, 4)
• DY/dx = -x² + 1 Das geht durch den Punkt (0, 0)
• Dy/dx = -x + 1, das den Punkt durchläuft (-2, 2)

Verweise

1. Integralrechnung. Indealisierte Integrations- und Integrationsmethoden. Wilson, Velásquez Bastidas. Magdalena 2014 Universität
2. Stewart, J. (2001). Berechnung einer Variablen. Früh transzendent. Mexiko: Thomson lernen.
3. Jiménez, r. (2011). Mathematik VI. Integralrechnung. Mexiko: Pearson Ausbildung.
4. Physik i. Mc Graw Hill