Zylindrische Koordinatensysteme, Veränderungen und Übungen

Der Zylindrische Koordinaten Sie dienen dazu, Punkte im dreidimensionalen Raum zu lokalisieren und bestehen aus einer radialen Koordinate ρ, einer azimutalen Koordinate φ und einer Höhenkoordinate z.

Ein Punkt P Das Hotel liegt orthogonal im Flugzeug Xy Auf den Punkt bringen P ' In diesem Flugzeug. Der Abstand vom Ursprung bis zum Punkt P ' Definiert die Koordinate ρ, während der Winkel, der die Achse bildet X Mit dem Semi -STRAIGHT Op ' Definieren Sie die Koordinate φ. Schließlich die Koordinate z Es ist die orthogonale Projektion des Punktes P auf der Achse Z. (Siehe Abbildung 1).

Abbildung 1. Punkt p der zylindrischen Koordinaten (ρ, φ, z). (Eigene Ausarbeitung)

Die radiale Koordinate ρ ist immer positiv, die azimutale Koordinate φ variiert von Null -Radianer bis zu zwei PI -Radianes, während die Z -Koordinate jeden wirklichen Wert einnehmen kann:

0 ≤ ρ < ∞

0 ≤ φ < 2π

- ∞ < z < + ∞

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Änderung der Koordinaten

Es ist relativ einfach, die kartesischen Koordinaten (x, y, z) von einem Punkt P aus seinen zylindrischen Koordinaten (ρ, φ, z) zu erhalten:

x = ρ cos (φ)

y = ρ sen (φ)

z = z

Es ist aber auch möglich, die polaren Koordinaten (ρ, φ, z) basierend auf der Kenntnis der kartesischen Koordinaten (x, y, z) eines Punktes P zu erhalten:

ρ = √ (x² + Und²)

φ = Arctan (y/x)

z = z

Vektorbasis in zylindrischen Koordinaten

Die Basis der zylindrischen Vektoren ist definiert Uρ, Uφ, Uz.

Der Vektor Uρ Es ist tangential an der Linie φ = ctte und z = ctte (radial auszeigt), dem Vektor Uφ ist Tangente zur Linie ρ = ctte und z = ctte und schließlich Uz Es hat die gleiche Richtung der Z -Achse.

Figur 2. Zylindrische Koordinatenbasis. (Wikimedia Commons)

In der zylindrischen Einheitsbasis der Positionsvektor R Von einem Punkt P ist es so geschrieben wie folgt:

Es kann Ihnen dienen: Domäne und Widerspruch einer Funktion (mit Beispielen)

R = ρ Uρ + 0 Uφ + z Uz

Andererseits eine infinitesimale Verschiebung dR Von Punkt P wird es wie folgt ausgedrückt:

DR = Dρ Uρ + ρ dφ  Uφ + DZ Uz

In ähnlicher Weise lautet ein infinitesimales Element des DV -Volumens in zylindrischen Koordinaten:

Dv = ρ dρ dφ dz

Beispiele

Es gibt unzählige Beispiele für die Verwendung und Anwendung zylindrischer Koordinaten. In der Kartographie zum Beispiel die Zylindrische Projektion, Präzise auf diesen Koordinaten basiert. Es gibt weitere Beispiele:

Beispiel 1

Zylindrische Koordinaten haben Anwendungen in der Technologie. Als Beispiel haben Sie das CHS-System des Datenortes (Zylinderkopfsektor) auf einer Festplatte, die tatsächlich aus mehreren Discs besteht:

- Der Zylinder oder die Spur entspricht der Koordinate ρ.

- Der Sektor entspricht der φ -Position des Albums, die sich mit hoch dreht Winkelgeschwindigkeit.

- Der Kopf entspricht der Z -Position des Lesekopfes auf dem entsprechenden Album.

Jedes Informations -Byte hat eine genaue Adresse in zylindrischen Koordinaten (C, S, H).

Figur 2. Standort von Informationen in zylindrischen Koordinaten in einem Festplattensystem. (Wikimedia Commons)

Beispiel 2

Baukrane setzen die Lastposition in zylindrischen Koordinaten. Die horizontale Position wird durch den Abstand zur Kranachse oder zum Pfeil definiert. Die vertikale Position der Last wird durch die Z -Koordinate der Höhe bestimmt.

Figur 3. Die Position der Last in einem Konstruktionskran kann leicht in zylindrischen Koordinaten exprimiert werden. (Pixabay -Bild - RCOS r. Pérez)

Gelöste Übungen

Übung 1

Es gibt die P1 -Punkte von zylindrischen Koordinaten (3, 120º, -4) und den Punkt P2 von zylindrischen Koordinaten (2, 90º, 5). Finde die Euklidische Entfernung Zwischen diesen beiden Punkten.

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Lösung: Zunächst finden wir die kartesischen Koordinaten jedes Punktes nach der oben aufgetretenen Formel.

P1 = (3* cos 120º, 3* sen 120º, -4) = (-1.5, 2.60, -4)

P2 = (2* cos 90º, 2* sin 90º, 5) = (0, 2, 5)

Der euklidische Abstand zwischen P1 und P2 beträgt:

D (p1, p2) = √ ((0 - (-1).5)))²+(2 - 2.60)²+(5 -(-4))² ) =…

… √ (2.25+0.36+81) = 9.14

Übung 2

Punkt P hat kartesische Koordinaten (-3, 4, 2). Finden Sie die entsprechenden zylindrischen Koordinaten.

Lösung: Die zylindrischen Koordinaten werden unter Verwendung der oben angegebenen Beziehungen gefunden:

ρ = √ (x² + Und²) = √ ((-3)² + 4²) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

φ = Arctan (y/x) = Arcan (4/(-3)) = -53.13º + 180º = 126.87º

Z = 2

Es sollte daran erinnert werden, dass die Arcangent -Funktion Multivaluada der Periodizität 180 ° ist. Zusätzlich muss der Winkel φ zum zweiten Quadranten gehören, da sich die X E y und von Punkt -P -Koordinaten in diesem Quadranten befinden. Dies ist der Grund, warum 180º zu dem Ergebnis φ hinzugefügt wurde.

Übung 3

Express in zylindrischen Koordinaten und in kartesischer Koordinaten die Oberfläche eines Funkzylinders 2 und deren Achse mit der Z -Achse übereinstimmt.

Lösung: Es versteht sich, dass der Zylinder eine unendliche Ausdehnung in Z -Richtung hat, so dass die Gleichung der Oberfläche in zylindrischen Koordinaten lautet:

ρ = 2

Um die kartesische Gleichung der zylindrischen Oberfläche zu erhalten, wird das Quadrat beider Mitglieder der vorherigen Gleichung eingenommen:

ρ² = 4

Wir multiplizieren mit 1 beiden Mitgliedern der vorherigen Gleichheit und wenden das an Grundlegende trigonometrische Identität (Sen²(φ) + cos²(φ) = 1):

1 * ρ² = 1 * 4

(Sen²(φ) + cos²(φ)) * ρ² = 1 * 4

Die Klammern entwickelt sich, um zu erhalten:

(ρ sen (φ))² + (ρ cos (φ))² = 4

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Wir erinnern uns, dass die erste Klammung (ρ sen (φ)) koordinate ist und ein Punkt in polaren Koordinaten, während die Klammern (ρ cos (φ)) die X -Koordinate darstellt, so dass wir gegangen sind Die Zylindergleichung in kartesischen Koordinaten:

Und² + X² = 2²

Die vorherige Gleichung sollte nicht mit der eines Kreises in der XY -Ebene verwechselt werden, da es in diesem Fall so wäre: und² + X² = 2² ; Z = 0.

Übung 4

Ein Radiuszylinder r = 1 m und Höhe H = 1 m hat seine radial verteilte Masse gemäß der folgenden Gleichung d (ρ) = c (1 - ρ/r), wobei c eine Wertkonstante c = 1 kg/m ist³. Finden Sie die Gesamtmasse des Zylinders in Kilogramm.

Lösung: Das erste ist zu erkennen, dass die Funktion D (ρ) die volumetrische Massendichte darstellt und dass die Dichtemasse in zylindrischen Cascaronen verteilt ist. Ein infinitesimales Volumenelement gemäß der Symmetrie des Problems ist:

Dv = ρ dρ 2π h

Von dort aus müssen Sie die infinitesimale Masse einer zylindrischen Hülle sein:

Dm = d (ρ) dv

Die Gesamtmasse des Zylinders wird also von Folgendem ausgedrückt Definierte integrale:

M = ∫_entweder^R D (ρ) dv = ∫_entweder^R C (1 - ρ/r) ρ dρ 2π H = 2π H c ∫_entweder^R (1 - ρ/r) ρ dρ

Die Lösung des angegebenen Integrals ist nicht schwer zu erhalten, da er das Ergebnis ist:

∫_entweder^R (1 - ρ/r) ρ dρ = (⅙) r²

Das Einbeziehen dieses Ergebniss in die Expression der Zylindermasse wird erhalten:

M = 2π H c (⅙) r² = ⅓ π H c r² =

 ⅓ π 1m*1 kg/m³* 1m² = π/3 kg ≈ 1.05 kg

Verweise

1. Arfken G und Weber H. (2012). Mathematische Methoden für Physiker. Ein umfassender Leitfaden. 7. Ausgabe. Akademische Presse. ISBN 978-0-12-384654-9
2. CC -Berechnung. Lösende zylindrische und sphärische Koordinaten gelöst. Wiederhergestellt von: Berechnung.DC
3. Weisstein, Eric W. „Zylindrische Koordinaten.”Aus MathWorld-a Wolfram Web. Erholt von: Mathworld.Wolfram.com
4. Wikipedia. Zylindrisches Koordinatensystem. Abgerufen von: in.Wikipedia.com
5. Wikipedia. Vektorfelder in zylindrischen und sphärischen Koordinaten. Abgerufen von: in.Wikipedia.com