Kugelkoordinaten Beispiele und Übungen gelöst

Der sphärische Koordinaten Sie sind ein Punktortsystem im dreidimensionalen Raum, der aus einer radialen Koordinate und zwei Winkelkoordinaten besteht.

In Abbildung 1, die wir unten sehen, sind die kugelförmigen Koordinaten (r, θ, φ) eines Punktes m gezeigt. Diese Koordinaten werden auf ein orthogonales System der kartesischen Achsen X, Y, Z des Ursprungs oder verwiesen.

Abbildung 1. Sphärische Koordinaten (r, θ, φ) von einem Punkt m. (Wikimedia Commons)

In diesem Fall ist die Koordinate r von Punkt m der Abstand von diesem Punkt zum Ursprung oder. Die polare Koordinate θ repräsentiert den Winkel zwischen der positiven Semi -Achse z und dem Vektorradius OM. Während die azimutale Koordinate φ der Winkel zwischen der positiven Semi -Achse x und dem Vektorradius om 'ist, ist M' die orthogonale Projektion von M auf der XY -Ebene.

Die radiale Koordinate R nimmt nur positive Werte an, aber wenn sich ein Punkt am Ursprung befindet, dann r = 0. Die polare Koordinate θ nimmt für Punkte auf der positiven Semi -Trib als minimaler Wert 0 ° 0º vor. Schließlich nimmt die azimutale Koordinate φ als minimaler Wert von 0º und maximal 360 ° zurück.

0 ≤ r < ∞

0 ≤ θ ≤ 180º

0 ≤ φ  < 360º

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Änderung der Koordinaten

Als nächstes werden die Formeln, die die kartesischen Koordinaten (x, y, z) eines Punktes m ermöglichen, angegeben, unter der Annahme, dass die kugelförmigen Koordinaten desselben (r, θ, φ) Punkts:

x = r sen (θ) cos (φ)

y = r sen (θ) sin (φ) 

z = r cos (θ)

Auf die gleiche Weise ist es nützlich, die Beziehungen zu finden, um sich aus den kartesischen Koordinaten (x, y, z) eines Punktes zu bewegen, der den sphärischen Koordinaten dieses Punktes gegeben wurde:

R = √ (x^2 + y^2 + z^2)

θ = Arcan (√ (x^2 + y^2) / z)

Kann Ihnen dienen: diskrete Zufallsvariable

φ = Arctan (y / x)

Vektorbasis in sphärischen Koordinaten

Aus den kugelförmigen Koordinaten wird eine ortonormale Basis von Basisvektoren definiert, die mit bezeichnet werden durch Ur, Uθ, Uφ. Abbildung 1 zeigt diese drei Einheitenvektoren, die die folgenden Eigenschaften aufweisen:

- Ur Es ist die Einheitsvektor -Tangente zur radialen Linie θ = ctte und φ = ctte;

- Uθ Es ist der Tangentenvektor der Einheit zum Bogen φ = ctte und r = ctte;

- Uφ Es ist die einheitliche Vektor -Tangente, um r = ctte und θ = ctte zu sein.

Linien- und Volumenelemente in sphärischen Koordinaten

Die Vektorposition eines Punktes im Raum in sphärischen Koordinaten ist so geschrieben:

R = r Ur

Aber eine infinitesimale Variation oder Verschiebung eines Punktes im dreidimensionalen Raum wird in diesen Koordinaten durch die folgende Vektorbeziehung ausgedrückt:

DR = dr Ur + r dθ Uθ + r sen (θ) dφ Uφ

Schließlich ist ein infinitesimales Volumen -DV in den sphärischen Koordinaten so geschrieben:

dv = r^2 sin (θ) dr d θ dφ

Diese Beziehungen sind sehr nützlich für die Berechnung von Linienintegralen und Volumen in physikalischen Situationen, die sphärische Symmetrie aufweisen.

Beziehung zu geografischen Koordinaten

Geografische Koordinaten werden davon ausgegangen, dass sie dazu dienen, Orte auf der Erdoberfläche zu lokalisieren. Dieses System verwendet die Koordinaten von Breite und Länge, um die Position auf der Erdoberfläche zu lokalisieren.

Im geografischen Koordinatensystem wird die Erdoberfläche angenommen.

Figur 2. Länge α und β -Breite eines Beobachters auf der Erdoberfläche.

Der β -Breitengrad ist ein Winkel, der durch einen Radius gebildet wird, der von der Erdzentrale bis zu dem Punkt beginnt, den Sie positionieren möchten. Es wird aus der Äquatorebene gemessen, wie in Abbildung 2 gezeigt. Andererseits ist die Länge α der Winkel, den der Meridian des Punktes in Bezug auf den Zero Meridian (bekannt als Greenwich Meridian) platziert.

Kann Ihnen dienen: relativer Wert

Die Breite kann nördlich oder südlicher Breite sein, je nachdem, ob sich der Ort befindet. In ähnlicher Weise kann die Länge nach Westen sein oder diese, je nachdem, ob sich der Standort westlich oder östlich des Null -Meridian befindet.

Formeln, um sich von geografisch zu kugelförmig zu ändern

Um diese Formeln zu erhalten, ist das erste, was ein Koordinatensystem festlegt. Die XY -Ebene wird ausgewählt, die mit der Äquatorialebene zusammenfällt und die positive Semi -Achse X ist, die vom Mittelpunkt der Erde und durch den Zero Meridian geht. Wiederum die Achse und durchläuft durch die 90º und Meridian. Die Erdoberfläche hat RT -Radio.

Bei diesem Koordinatensystem sind geografische bis sphärische Transformationen also:

αeβn → (RT, θ = 90º-β, φ = α)

αOβn → (RT, θ = 90º-β, φ = 360º-α)

αeβ → (RT, θ = 90º+β, φ = α)

αOβs → (RT, θ = 90º+β, φ = 360º-α) 

Beispiele

Beispiel 1

Die geografischen Koordinaten von Palma de Mallorca (Spanien) sind:

Ostlänge 38.847º und nördlicher Breitengrad 39.570º. Um die kugelförmigen Koordinaten zu bestimmen, die Palma de Mallorca entsprechen, wird die erste der Formeln der vorherigen Abschnittsformeln angewendet:

38.847ºE39,570ºN → (r = 6371 km, θ = 90º-39,570º, φ = 38.847º)

Dann sind die kugelförmigen Koordinaten:

Palma de Mallorca: (r = 6371 km, θ = 50,43º, φ = 38,85º)

In der vorherigen Antwort wurde R gleich dem durchschnittlichen Radius der Erde entnommen.

Beispiel 2

Wissen Sie, dass die Falklandinseln (Falkland) geografische Koordinaten 59ºO 51,75ºS haben, die entsprechenden polaren Koordinaten bestimmen. Denken Sie daran, dass die X -Achse von der Erde in die Erde zum 0º -Meridian und auf der Äquatorebene geht. Die Y -Achse auch in der Äquatorialebene und durch den 90º West Meridian; Schließlich die Z-Achse auf der Achse der terrestrischen Rotation in Süd-Nord-Richtung.

Kann Ihnen dienen: Curtosis: Definition, Typen, Formeln, wofür es zum Beispiel ist, zum Beispiel

Um dann die entsprechenden sphärischen Koordinaten zu finden, verwenden wir die im vorherigen Abschnitt dargestellten Formeln:

59ºO 51,75ºS → (r = 6371 km, θ = 90º+51,75º, φ = 360º-59º) dh sagen

Malvinas: (r = 6371 km, θ = 141,75º, φ = 301º)

Übungen

Übung 1

Finden Sie die kartesischen Koordinaten von Palma de Mallorca im kartesischen XYZ -Referenzsystem, das in Abbildung 2 gezeigt ist.

Lösung: Zuvor wurden in Beispiel 1 die sphärischen Koordinaten basierend auf den geografischen Koordinaten von Palma de Mallorca erhalten. So dass die oben dargestellten Formeln verwendet werden können, um sich von kugelförmig zu kartesiern zu bewegen:

x = 6371 km Sen (50,43º) cos (38,85º)

Y = 6371 km Sen (50,43º) Sen (38,85º) 

Z = 6371 km cos (50,43º)

Die entsprechenden Berechnungen durchführen sind:

Palma de Mallorca: (x = 3825 km, y = 3081 km, z = 4059)

Übung 2

Finden Sie die kartesischen Koordinaten der Falklandinseln im kartesischen XYZ -Referenzsystem, das in Abbildung 2 gezeigt ist.

Lösung: Zuvor in Beispiel 2 wurden die sphärischen Koordinaten basierend auf den geografischen Koordinaten der Falklandinseln erhalten. So dass die oben dargestellten Formeln verwendet werden können, um sich von kugelförmig zu kartesiern zu bewegen:

x = 6371 km Sen (141,75º) cos (301º)

y = 6371 km Sen (141,75º) Sen (301º) 

Z = 6371 km cos (141,75º)

Durch die Durchführung der entsprechenden Berechnungen wird erhalten:

Falklandinseln: (x = 2031 km, y = -3381 km, z = -5003)

Verweise

1. Arfken G und Weber H. (2012). Mathematische Methoden für Physiker. Ein umfassender Leitfaden. 7. Ausgabe. Akademische Presse. ISBN 978-0-12-384654-9
2. CC -Berechnung. Lösende zylindrische und sphärische Koordinaten gelöst. Wiederhergestellt von: Berechnung.DC
3. Astronomie -Workshop. Breiten-und Längengrad. Abgerufen von: rate.Blogspot.com/
4. Weisstein, Eric W. „Sphärische Koordinaten.”Aus MathWorld-a Wolfram Web. Erholt von: Mathworld.Wolfram.com
5. Wikipedia. Kugelkoordinatensystem. Abgerufen von: in.Wikipedia.com
6. Wikipedia. Vektorfelder in zylindrischen und sphärischen Koordinaten. Abgerufen von: in.Wikipedia.com