Rechteckkoordinaten Beispiele und Übungen gelöst

Der kartesische Koordinaten o cartesian sind diejenigen, die bei prognostiziertem orthogonal auf den drei kartesischen Achsen X, Y, Z Ein Punkt im dreidimensionalen Raum erhalten werden.

Kartesische Achsen sind senkrecht ausgerichtete gerade ausgerichtet. Im kartesischen Koordinatensystem werden jedem Punkt im Raum drei reelle Zahlen zugewiesen, die seine rechteckigen Koordinaten sind.

Abbildung 1. Rechteckige Koordinaten von Punkt P (eigene Ausarbeitung)

Ein Flugzeug ist ein Unterraum von dreidimensionalem Raum. Bei der Betrachtung von Punkten in einer Ebene reicht es aus, ein Paar senkrechte Achsen x und als kartesisches System zu wählen. Dann werden ihm an jedem Punkt im Flugzeug zwei reelle Zahlen zugewiesen, dass seine rechteckigen Koordinaten sind.

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Ursprung rechteckiger Koordinaten

Die rechteckigen Koordinaten wurden ursprünglich von den französischen Mathematikern René Descartes (1596 und 1650) vorgeschlagen, weshalb sie die Konfession der Karteser erhalten.

Mit dieser Idee von Descartes werden die Punkte von Ebene und Raum Zahlen zugewiesen, so dass die geometrischen Figuren eine algebraische Gleichung in Verbindung gebracht haben und die klassischen geometrischen Theoreme algebraisch nachgewiesen werden können. Mit kartesischen Koordinaten wurde die analytische Geometrie geboren.

Das kartesische Flugzeug

Wenn in einer Ebene zwei senkrechte Linien ausgewählt werden, die sich an einem Punkt kreuzen oder; und wenn auch jeder Zeile eine Richtung und eine numerische Skala zwischen aufeinanderfolgenden äquidistanten Punkten zugeordnet ist, gibt es dann ein kartesisches System oder ein Plan, in dem jeder Punkt der Ebene mit einem geordneten Paar von zwei reellen Zahlen verbunden ist, die jeweils auf dem Projekt sind X- und Y -Achsen.

Punkte A = (3, 2); B = (-2, 3); C = (-2, -3) und d = (3, -3) sind in der kartesischen Ebene dargestellt, wie unten gezeigt:

Figur 2. Punkte auf dem kartesischen Flugzeug. (Eigene Ausarbeitung)

Beachten Sie, dass die beiden x- und y -Achsen die Ebene in vier Sektoren teilen, die als Quadranten bezeichnet werden. Punkt A ist im ersten Quadranten, das B im zweiten Quadranten, das C im dritten Quadranten und Punkt D im vierten Quadranten.

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Abstand zwischen zwei Punkten

Der Abstand zwischen zwei Punkten A und B der kartesischen Ebene ist die Länge des Segments, das sie vereint. Dieser Abstand kann analytisch wie folgt berechnet werden:

D (a, b) = √ (bx - ax)^2 + (by - ay)^2)

Die vordere Formel wird durch Anwenden des Pythagoras -Theorems erhalten.

Die Anwendung dieser Formel auf Punkte A, b von Abbildung 2 ist:

D (a, b) = √ (-2 - 3)^2 + (3 - 2)^2) = √ (-5)^2 + 1^2) = √ (26)

Das heißt, dass d (a, b) = 5,10 Einheiten. Beachten Sie, dass die Entfernung ohne die Messung einer Regel erhalten wurde. Ein vollständig algebraisches Verfahren wurde befolgt.

Analytischer Ausdruck einer Linie

Rechteckige Koordinaten ermöglichen die analytische Darstellung grundlegender geometrischer Objekte wie Punkt und Linie. Zwei Punkte A und B definieren eine einzelne Linie. Die Steigung der Linie ist definiert als der Quotient zwischen der Differenz in Koordinaten und Punkt B weniger, geteilt durch die Differenz in den X -Koordinaten von Punkt B weniger als A:

ausstehend = (von - ay)/(bx - ax)

Ein beliebiger Punkt der Koordinaten (x, y), der zur Linie (AB) gehört, muss denselben Steigungen haben:

ausstehend = (y - ay)/(x - ax)

Die Gleichung, die durch die Gleichheit der Steigungen erhalten wird, ist die analytische oder algebraische Darstellung der Linie, die die Punkte A und B durchläuft:

(y - ay)/(x - ax) = (by - ay)/(bx - ax).

Wenn Sie für A und B genommen werden, sind die rechteckigen Koordinaten von Abbildung 2:

(Y - 2)/(x - 3) = (3 - 2)/( - 2 - 3)

(y - 2)/(x - 3) = -⅕

In diesem speziellen Fall gibt es eine Linie mit einer negativen Steigung -⅕, was bedeutet, dass sich an einem Punkt der Linie befindet und die X -Koordinate in einer Einheit erhöht wird, die Koordinate und Abnahme in 0,2 Einheiten. 

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Die üblichste Möglichkeit, die Gleichung der Linie in der Ebene zu schreiben, besteht in der Koordinate und der Klärung als Funktion der Variablen x:

y = -(1/5) x + 13/5 

Beispiele

Beispiel 1

Erhalten Sie durch analytische Methoden den Abstand zwischen den Punkten C und A, da sie die rechteckigen Koordinaten von c = (-2, -3) und denen von a = (3.2) sind.

Die Formel des euklidischen Abstands zwischen diesen beiden Punkten ist so geschrieben:

D (a, c) = √ ((cx - ax)^2 + (cy - ay)^2)

Ersetzen der entsprechenden rechteckigen Koordinaten, die Sie haben:

D (a, c) = √ (-2-3)^2 + (-3-2)^2) = √ (-5)^2 + (-5)^2) = 5√2 = 7,07

Beispiel 2

Erhalten Sie die Gleichung der Linie, die den Punkt c der Koordinaten (-2, -3) und den Punkt P der Koordinate (2, 0) durchläuft.

Erstens wird die Steigung der CP -Linie erhalten:

ausstehend = (0 -(-3)) / (2 -( -2)) = ¾ 

Ein beliebiger Punkt Q von generischen rechteckigen Koordinaten (x, y), das zur CP -Linie gehört, muss die gleiche Steigung haben:

ausstehend = (y -(-3)) / (x -( -2)) = (y +3) / (x +2)

Das heißt, dass die Gleichung der CP -Linie lautet:

(Y +3) / (x +2) = ¾

Eine alternative Möglichkeit, die Gleichung der CP -Linie zu schreiben, ist das Löschen und:

y = ¾ x - 3/2 

Gelöste Übungen

Übung 1

Erhalten Sie die rechteckigen Koordinaten des Schnittpunkts zwischen den Zeilen y = - (1/5) x + 13/5 und der Zeile y = ¾ x - 3/2.

Lösung: Per Definition teilt der Schnittpunkt der beiden Zeilen die gleichen rechteckigen Koordinaten auf. Daher sind Koordinaten und am Schnittpunkt für beide Zeilen identisch:

-(1/5) x + 13/5 = ¾ x - 3/2

Was zum folgenden Ausdruck führt:

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(¾ + ⅕) x = 13/5 +3/2

Die Lösung der Summe der Brüche wird erhalten:

19/20 x = 41/10

Löschen x:

x = 82/19 = 4,32

Um den Wert und die Kreuzung zu erhalten, wird der in einer der Linien erhaltene X -Wert ersetzt:

y = ¾ 4,32 - 3/2 = 1,74

Dies bedeutet, dass die angegebenen Linien an Punkt I der Koordinaten i = (4,32; 1,74) abgefangen werden.

Übung 2

Erhalten Sie die Umfangsgleichung, die durch den rechteckigen Koordinatenpunkt R (3, 4) fließt und ein Zentrum am Ursprung der Koordinaten aufweist.

Lösung: Radio R ist der Abstand von Punkt R zu Ursprung oder Koordinaten (0, 0).

d (r, o) = √ ((rx - 0)^2 + (ry - 0)^2) = √ ((3 - 0)^2 + (4 - 0)^2) = √ (3^2) + 4^2) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

Das heißt, es ist ein Radius 5 Kreis 5, der auf (0,0) zentriert ist.

Ein beliebiger Punkt P (x, y) des Umfangs muss den gleichen Abstand 5 in die Mitte (0, 0) für das haben, was geschrieben werden kann:

D (p, o) = √ ((x - 0)^2 + (y - 0)^2) = √ (x^2 + y^2) = 5

Das heißt:

√ (x^2 + y^2) = 5

Um die Quadratwurzel zu beseitigen, bleiben beide Mitglieder der Gleichheit leise:

x^2 + y^2 = 25

Was ist die Umfangsgleichung.

In diesem Beispiel wird die Leistung des rechteckigen Koordinatensystems dargestellt, mit dem geometrische Objekte wie der Umfang bestimmen können, ohne dass Papier, Bleistift und Kompass verwendet werden müssen. Der nur durch algebraischen Methoden angeforderte Umfang wurde ermittelt.

Verweise

1. Arfken G und Weber H. (2012). Mathematische Methoden für Physiker. Ein umfassender Leitfaden. 7. Ausgabe. Akademische Presse. ISBN 978-0-12-384654-9
2. CC -Berechnung. Rechteckige Koordinaten lösten Probleme. Wiederhergestellt von: Berechnung.DC
3. Weisstein, Eric W. "Kartesischen Koordinaten.”Aus MathWorld-a Wolfram Web. Erholt von: Mathworld.Wolfram.com
4. Wikipedia. Kartesisches Koordinatensystem. Abgerufen von: in.Wikipedia.com