Einheitliche Kreis trigonometrische Funktionen und Anwendungen

Er Einheitlicher Kreis Es handelt sich um einen Radiuskreis von 1, der normalerweise auf den Punkt (0,0) des kartesischen Koordinatensystems fokussiert wird Xy. Es wird verwendet, um die trigonometrischen Gründe der Winkel durch Rechtecke leicht zu definieren.

Die auf Herkunft konzentrierte einheitliche Kreisgleichung lautet:

X² + Und² = 1

Abbildung 1. Der Einheitskreis. Quelle: Wikimedia Commons.

In Abbildung 1 haben wir den Einheitskreis, in dem sich jeder Raum in einem Quadranten befindet. Die Quadranten sind mit römischen Zahlen nummeriert und werden gegen Anti -Hory gezählt.

Im ersten Quadranten gibt es ein Dreieck. Die Kategorien in rot bzw. in blauem Maß 0.8 und 0.6, während die Hypotenuse in Green 1 misst 1, weil es ein Radio ist.

Der akute Winkel α ist ein zentraler Winkel in Standardposition, was bedeutet, dass sein Scheitelpunkt mit dem Punkt (0,0) und seiner Anfangsseite mit der positiven x -Achse zusammenfällt. Der Winkel wird im Gegensatz zu den Uhrenhänden gemessen und durch Konvention ein positives Zeichen zugewiesen.

Nun, im Einheitskreis sind die Koordinaten von Coseno und Sinus von α die X- und Y -Koordinaten von Punkt B, was im gezeigten Beispiel 0 sind.8 und 0.6.

Aus diesen beiden sind sie definiert:

• tg α = sin α/cos α = 0.6/0.8 = 0.75
• Sec α = 1/ cos α = 1/0.8 = 1.25
• Schaden α = 1 / sin α = 1/0.6 = 1.66 ..
• CTG α = 1/Tg = 0.8/0.6 = 1.33 ..

[TOC]

Einheitliche Kreisanwendungen

Wenn wir uns auf Rechtecke beschränken, würden trigonometrische Gründe nur auf akute Winkel angewendet. Mit Hilfe des Einheitskreises wird die Berechnung trigonometrischer Gründe jedoch auf jeden Winkel α ausgedehnt.

Figur 2.- Winkel in den Quadranten und im Referenzwinkel im Einheitskreis. Quelle: f. Zapata.

Dafür ist es notwendig, das Konzept des Referenzwinkels α zuerst zu definieren_R:

Kann Ihnen dienen: Finite -Set: Eigenschaften, Beispiele, gelöste Übungen

Referenzwinkel

Sei α ein Winkel in Standardposition (derjenige, dessen, dessen Anfangsseite fällt mit der positiven x -Achse zusammen), ihren Referenzwinkel α_R Es gehört zu seinen Klemmenseite und die x -Achse. Abbildung 2 zeigt den Referenzwinkel für Winkel in I, II, III und IV Quadrant.

Für jeden Quadranten wird der Referenzwinkel wie folgt berechnet:

-Erster Quadrant: α_R = α

-Zweiter Quadrant: α_R = 180º - α

-Dritter Quadrant: α_R = α - 180º

-Viertes Quadrant: α_R = 360º - α

Beachten Sie, dass der erste Quadrantenwinkel α mit seinem Referenzwinkel zusammenfällt. Nun, die trigonometrischen Gründe für den Winkel α sind mit ihren Referenzwinkel mit den Vorzeichen entsprechend denjenigen, die die Quadranten haben, in denen die terminale Seite von α fällt.

Mit anderen Worten, die trigonometrischen Gründe, die Coseno und die Brust des Winkels α mit den Koordinaten von Punkt P zusammenfallen.

In der folgenden Abbildung sehen wir die trigonometrischen Gründe einiger bemerkenswerter Winkel, wie aus dem Einheitskreis abgeleitet.

Figur 3. Koordinaten einiger bemerkenswerter Punkte im Einheitskreis. Quelle: Wikimedia Commons.

Die Gründe, die Coseno und Brust in einem Winkel im I -Quadranten sind, sind alle positiv. Für α = 60º haben wir die Koordinaten (1/2; √3/2), die jeweils auf cos 60º und sen 60º entsprechen.

Die Koordinaten von α = 120º sind (-1/2; √3/2), da die X-Koordinate im zweiten Quadranten negativ ist.

Layout der Grafiken von Cosinus und Sinus

Mit Hilfe des Einheitskreises und der Koordinaten der P -Punkte ist es möglich, die Grafiken der Funktionen zu zeichnen, wie wir unten sehen werden.

Kann Ihnen dienen: Winkelverschiebung

Zu diesem Zweck befinden sich mehrere Positionen von Punkt P (T) im Einheitskreis. Wir beginnen mit dem Diagramm der Funktion f (t) = sen t.

Wir können beobachten, dass der Wert von Sen t auf 1 erhöht wird, wenn wir von t = 0 zu t = π/2 (90º) wechseln, was der Maximalwert ist.

Andererseits nimmt von t = π/2 bis t = 3π/2 der Wert von sin t von 1 ab und verläuft 0 bei t = π bis zu seinem Minimum von -1 bei t = 3π/2.

Die Abbildung zeigt den Diagramm des ersten Zyklus von f (t) = sen t, der der ersten Rückkehr zum Einheitskreis entspricht. Diese Funktion ist periodische Periode 2π.

Figur 4. Abbildung des Diagramms von f (t) = sen t für einen Zyklus. Quelle: Zill, D. Algebra, Trigonometrie und analytische Geometrie.

Ein analoge Prozedur kann durchgeführt werden, um den Diagramm der Funktion f (t) = cos t zu erhalten, wie in der folgenden Animation gezeigt:

Abbildung 5. Diagramme der Sinus- und Cosinusfunktionen aus dem Einheitskreis. Quelle: Wikimedia Commons.

Seno und Coseno Funktionen Eigenschaften

-Beide Funktionen sind in der Menge der realen und auch periodischen Zahlen von Periode 2π kontinuierlich.

-Die Domäne der Funktionen f (t) = sen t und f (t) = cos t sind alle reelle Zahlen: (-∞, ∞).

-Für die Brust- oder Sinus- und Cosinus-Route haben Sie das Intervall [-1,1]. Die Klammern geben an, dass -1 und 1 enthalten sind.

- Die Sünde sind die Werte, die nπ mit N -Integer entsprechen, während die Nullen von cos t [(2n+1)/2] mit n auch Ganze sind.

-Die Funktion f (t) = sin t ist ungerade, hat eine Symmetrie in Bezug auf den Ursprung.

Kann Ihnen dienen: Zufällige Auswahl mit oder ohne Ersatz

Gelöste Übungen

- Übung 1

Geben Sie die horizontale Koordinate von Punkt P (t) im Einheitskreis im zweiten Quadranten angegeben, die die entsprechende vertikale Koordinate -Sen T sind.

Lösung

Da P (t) zum Einheitskreis gehört, in dem er erfüllt ist:

X² + Und² = 1

Deshalb:

y = ± √ 1 - x²

Da P (t) im zweiten Quadranten ist, wird der positive Wert genommen. Die vertikale Koordinate von Punkt P (t) lautet y:

y = √ 1 - (-2/5)² = √0.84

- Übung 2

Ein mathematisches Modell für die Temperatur T An jedem Tag in Grad Fahrenheit, T Stunden nach Mitternacht wird es gegeben durch:

T (t) = 50 + 10 sen [(π /12) × (t - 8)]

Mit t zwischen 0 und 24 Stunden verstanden. Finden:

a) die Temperatur nach 8 Uhr morgens.

b) Stunden, in denen t (t) = 60 ºF

c) maximale und minimale Temperaturen.

Lösung für

Wir ersetzen T = 8 in der angegebenen Funktion:

T (8) = 50 + 10 Sen [(π/12) × (t-8)] = 50 + 10 Sen [(π/12) × (8-8)] =

= 50 + 10 x sen 0 = 50 ºF

Lösung b

50 + 10 Sen [(π/12) × (t-8)] = 60

Es ist eine trigonometrische Gleichung, und Sie müssen das unbekannte "t" löschen:

10 sen [(π/12) × (t -8)] = 60 - 50 = 10

sin [(π/12) × (t-8)] = 1

Wir wissen, dass Sen π/2 = 1, daher das Brustargument 1 sein muss:

(π/12) × (t-8) = π/2

T-8 = 6

t = 14 h

Es wird der Schluss gezogen, dass 14 Stunden nach Mitternacht die Temperatur 60 ° beträgt, dh der 14.00 Uhr. Es gibt keine andere Stunde im Laufe des Tages (24 Stunden), in dem dies geschieht.

Lösung c

Die maximale Temperatur entspricht dem Wert, bei dem Sen [(π/12) × (t-8)] = 1 und 60 ºF beträgt. Andererseits tritt das Minimum auf, wenn sen [(π/12) × (t -8)] = -1 und 40 ºF beträgt.

Verweise

1. Figuera, j. 1999. Mathematik. 1. Diversifiziert. Bolivarische Collegiate -Editionen.
2. Hoffman, J. Auswahl der Mathematikfragen. Band 4.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Mathematik macht Spaß. Einheitskreis. Erholt von: von: mathSisfun.com.
5. Wikipedia. Trigonometrieidentität und Formeln. Geborgen von: ist.Wikipedia.Org.
6. Zill, d. 1984. Algebra und Trigonometrie. McGraw Hill.