Kriterien ähnliche Dreiecke

Was sind die Dreiecke -Ähnlichkeitskriterien??

Die Dreiecks -Ähnlichkeitskriterien sind die Regeln, die wissen, ob zwei Dreiecke ähnlich sind. Die Ähnlichkeit der geometrischen Figuren, einschließlich der Dreiecke.

Damit zwei Dreiecke ähnlich sind, ist es notwendig, dass: i) ihre homologen Seiten proportional sind und ii) die inneren Winkel der jeweils die gleiche Maßnahme haben.

Abbildung 1. Zwei ähnliche Dreiecke: Obwohl sie nicht die gleiche Größe haben, sind ihre Seiten proportional und ihre inneren Winkel haben eine gleiche Maßnahme. Quelle: f. Zapata.

Ein proportionales Verhältnis oder ein Anteil zwischen zwei Beträgen A und B wird durch das A/B -Verhältnis mit B ≠ 0 dargestellt. Für ähnliche Dreiecke sind die folgenden Anteile zwischen ihren Seiten gültig:

a/a '= b/b' = c/c '= r

Der Wert von R wird genannt Ähnlichkeitsgrund.

Zusätzlich müssen die entsprechenden internen Winkel des gleichen Maßes sein, daher Folgendes: test ∠A = ∠A '; Test = ζb 'und test. Nach diesen Bedingungen sind die Dreiecks -Ähnlichkeitskriterien:

Kriterien 1: Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie zwei interne Winkel gleichermaßen haben. In diesem Fall misst der dritte Winkel auch genauso, da die Summe der inneren Winkel in einem Dreieck 180 ° beträgt:

α = α '; β = β '

Kriterien 2: Die Dreiecke sind ähnlich, wenn zwei homologe Seiten proportional sind und der Winkel zwischen ihnen gleich ist:

a/a '= b/b'; α = α '

Figur 2. Zwei Kriterien, um die Ähnlichkeit von Dreiecken festzustellen. Quelle: f. Zapata.

Kriterien 3: Die drei homologen Seiten sind proportional:

a/a '= b/b' = c/c '= r

Beispiele

Die Ähnlichkeit der Dreiecke ist sehr nützlich für die Berechnung von Höhen und Entfernungen, die nicht leicht messbar sind. Durch einige einfache Berechnungen ist es möglich, diese Längen durch Vergleich ähnlicher Dreiecke herauszufinden.

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Höhe der Säulen, Gebäude und Bäume

Es wird gesagt, dass der Vater der Geometrie im alten Griechenland wie Miletus (625-547 bis.C.. Mit der gleichen Methode gelang es ihm, die Höhe der großen Pyramide Ägyptens zu messen und so den Pharao zu beeindrucken.

Die Entfernung zum Mond

Es gibt ein einfaches Experiment, das durchgeführt wird, um den Abstand zwischen Erde und Mond zu berechnen. Es erfordert eine Währung, ein bisschen Klebeband und eine Vernier- oder eine Graduiertenregel. Wenn der Mond voll ist, wird die Währung am Glas eines Fensters befestigt und der Mond wird mit einem Auge beobachtet, so dass die Währung nur den Vollmond abdeckt.

Wenn dies geschieht, ist der Grund zwischen dem Durchmesser der Währung und dem Abstand zwischen Auge und Währung derselbe wie zwischen dem Durchmesser des Mondes und dem Abstand zwischen Auge und Mond:

Währungsdurchmesser/Entfernungswährung = Monddurchmesser/Entfernung zum Mond

Der Grund ist ungefähr 1/110. Was bedeutet, dass der Abstand zum Mond 110 -mal der Durchmesser davon beträgt.

Derzeit wird der Mondradius im Jahr 1737 geschätzt.1 km, so ist sein Durchmesser 3474.2 km. Indem Sie diesen Wert in der Beziehung ersetzen:

Entfernung zum Mond = Monddurchmesser ÷ (Währungsdurchmesser/Abstand zur Währung)

Wird erhalten:

Entfernung zum Mond = 3474.2 km ÷ (1/110) = 382.162 km

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Sehr nahe an dem Wert, den 384 Astronomen festgelegt haben.000 km.

Figur 3. Die Entfernung zum Mond kann dank der Ähnlichkeit von Dreiecken bekannt sein. Quelle: Modifiziert Hewitt, P. Konzeptionelle Physik.

Abstand zwischen einem Schiff und dem Ufer

Um die Entfernung zwischen dem Schiff und dem Ufer zu messen, stecken die Pfähle am Strand in den Punkten A, B, C und Q fest. ABC- und PCQ -Dreiecke sind nach Kriterien 1 ähnlich, da sie zwei gleiche Winkel haben: die beiden Winkel test α, die vom Scheitelpunkt und den beiden geraden Winkeln von 90º entgegengesetzt sind: test.

Zwei auf diese Weise befindliche Dreiecke sollen sich befinden Thales Position Und sie sind immer ähnlich. Dreiecke werden in der Position von Thales identifiziert, um einen gemeinsamen Winkel zu haben, und die gegenüberliegenden Seiten in diesem Winkel sind parallel.

Im nächsten Abschnitt gibt es eine Übung mit numerischen Werten.

Figur 4. Zwei ähnliche Dreiecke in der Thales -Position dienen dazu, den senkrechten Abstand eines Schiffes zum Ufer zu berechnen. Quelle: f. Zapata.

Gelöste Übungen

Übung 1

Sie möchten herausfinden, wie weit das Segelboot in der vorherigen Abbildung verankert ist, von einem Punkt, an dem sich am Ufer des Strandes befindet, für den die Einsätze in den Punkten A, B, C und Q genagelt werden, um das Dreieck ABC zu bestimmen, welches welche ähnelt PCQ, dessen Seiten leichter zu messen sind.

Berechnen Sie den senkrechten Abstand PQ zwischen dem Schiff und dem Ufer durch die Ähnlichkeit der Dreiecke, wenn die verfügbaren Entfernungen sind:

AB = 12 m

Bc = 16 m

QC = 60 m

Lösung

Die Proportionen zwischen homologen Seiten sind:

AB/QP = BC/CQ = 16 m/60 m = 0.267

Deshalb 0.267 ist der Grund für Ähnlichkeit:

AB/qp = 0.267

Qp = ab / 0.267 = 12 m / 0.267 = 44.9 m

Übung 2

Im folgenden Dreieck: Wie viel misst das AD -Segment misst??

Es ist bekannt, dass:

• AC = 25 cm
• AB = 15 cm
• De = 3 cm

Kann Ihnen dienen: Vielfache von 2: Was sind und Erklärung

Lösung

Die Dreiecke sind ähnlich, weil sie einen Winkel haben, der ∠C ist und die Seiten von und AB parallel sind. Das Ähnlichkeitsverhältnis wird berechnet durch:

R = ab / de = 15 cm / 3 cm = 5

Und auch durch:

R = ac / dc

Daher dc = ac / r = 25 cm / 5 = 5 cm

Seit:

Ac = ad + dc

Daraus folgt, dass AD = AC - DC = 25 cm - 5 cm = 20 cm

Übung 3

Ein isceles Dreieck hat einen Umfang von 49 cm und eine Basis von 21 cm. Berechnen Sie den Umfang eines ähnlichen Dreiecks, dessen Basis jedoch 4 cm misst.

Lösung

Das iSceles -Dreieck hat zwei gleiche Seiten, unterscheidet sich von Basis B. Sei ℓ das Maß der Seiten und p den Umfang, der aus der Summe der drei Seiten besteht. Für das größte Dreieck:

P = 2 ℓ + b = 49 cm

2 ℓ + 21 cm = 49 cm → ℓ = (49-21) cm / 2 = 14 cm

Jetzt wird der Verhältnis zwischen den Seiten der Dreiecke angehoben, die des kleinen Dreiecks werden mit Prämien symbolisiert:

B/ B '= ℓ/ ℓ'

21 cm / 4 cm = 14 cm / ℓ '→ ℓ' = 14 cm / (21 cm / 4cm) = 2.67 cm

Der Umfang des kleinen Dreiecks ist:

P '= 2 ℓ' + b '= (2 x 2.67) cm + 4 cm = 9.33 cm.

Verweise

1. Alexander, d. 2013. Geometrie. 5. Auflage. Cengage Lernen.
2. Hewitt, Paul. 2012. Konzeptionelle Physik. 5. Ed. Pearson.
3. Clemens, s. Geometrie mit Anwendungen. Addison Wesley.
4. Ibáñez, p. 2010. Mathematik III. Cengage Lernen.
5. Jiménez, r. Mathematik II: Geometrie und Trigonometrie. 2. Auflage. Pearson.
6. Stewart, J. 2007. Vorkalkulation. 5. Auflage. Cengage Lernen.
7. Vicmat. Samos Aristarco: Sonnensystem misst. Erholt von: Vicmat.com