Viereckige Elemente, Eigenschaften, Klassifizierung, Beispiele

A Viereck Es handelt. Ihre gegenüberliegende Seiten Sie sind diejenigen, die keine gemeinsamen Eckpunkte haben, während sie sind aufeinanderfolgende Seiten Diejenigen, die einen gemeinsamen Scheitelpunkt haben.

In einem Viereck sind sie angrenzende Winkel Diejenigen, die eine Seite teilen, während Gegenwinkel Sie haben keine gemeinsamen Seiten. Ein weiteres wichtiges Merkmal eines Viereckers ist, dass die Summe seiner vier Innere Winkel Es ist doppelt so hoch wie der flache Winkel, dh 360 ° oder 2π -Radians.

Abbildung 1. Verschiedene Vierecke. Quelle: f. Zapata.

Die Diagonalen Sie sind die Segmente, die einen Scheitelpunkt mit seinem gegenteiligen und in einem bestimmten Ring vereinen, von jedem Scheitelpunkt können Sie eine einzelne Diagonale zeichnen. Die Gesamtzahl der Diagonalen eines Viereckers beträgt zwei.

Vierecke sind Figuren, die seit der Antike der Menschheit bekannt sind. Archäologische Aufzeichnungen sowie die Konstruktionen, die heute überleben, zeugen davon.

Auch heute haben die Vierecker weiterhin eine wichtige Präsenz im täglichen Leben von allen. Der Leser kann dieses Formular auf dem Bildschirm finden, auf dem der Text in diesem genauen Moment in den Fenstern, den Türen, den Automobilteilen und unzähligen Orten mehr liest.

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Klassifizierung von Viereckern

Nach der Parallelität der gegenüberliegenden Seiten werden die Vierecke wie folgt klassifiziert:

1. Trapez, Wenn es keine Parallelität gibt und der Viereck konvex ist.
2. Trapez, Wenn es eine Parallelität zwischen einem einzelnen Paar gegenüberliegender Seiten gibt.
3. Parallelogramm, Wenn ihre gegenüberliegenden Seiten zwei zu zwei parallel sind.

Figur 2. Klassifizierung und Unterklassifizierung von Viereckern. Quelle: Wikimedia Commons.

Arten von Parallelogramm

Parallelogramme können wiederum nach ihren Winkeln und Seiten wie folgt klassifiziert werden:

1. Rechteck, Es ist das Parallelogramm, das seine vier inneren Winkel gleichermaßen hat. Die inneren Winkel eines Rechtecks ​​bilden einen rechten Winkel (90º).
2. Quadrat, Es ist ein Rechteck mit seinen vier Seiten gleicher Maßnahmen.
3. Diamant, Es ist das Parallelogramm mit seinen vier Seiten, aber seine unterschiedlichen benachbarten Winkel.
4. Rhomboid, Parallelogramm mit unterschiedlichen benachbarten Winkeln.

Trapez

Das Trapez ist ein konvexer Viereck mit zwei parallelen Seiten.

Figur 3. Basen, seitlich, Größe und Median eines Trapezes. Quelle: Wikimedia Commons.

- In einem Trapez werden die parallelen Seiten genannt Basen Und die Nicht -Parallel werden genannt seitlich.

- Der Höhe eines Trapezes ist der Abstand zwischen den beiden Basen, dh die Länge eines Segments mit Enden in den Basen und senkrecht zu demselben. Dieses Segment wird auch als Trapezhöhe bezeichnet.

- Der Median Es ist das Segment, das sich den Mittelpunkten der Seiten verbindet. Es kann gezeigt werden, dass der Median parallel zu den Basen des Trapezes ist und seine Länge den Halbkörpern der Basen entspricht.

- Die Fläche eines Trapezes ist seine Höhe multipliziert mit den Halbböden der Basen:

Fläche eines Trapezes = Höhe * (Basis 1 + Basis 2) / 2

Arten von Trapez

-Rechteck Trapez: Es ist diejenige, die eine Seiten senkrecht zu den Basen hat. Diese Seite ist auch die Höhe des Trapezes.

-Trapezisoskell: Der mit gleiche Länge vordere. In einem isschenkeln Trapez der an die Basen neben den Basen gleichen Winkel sind gleich.

-Escaleno Trapezio: Derjenige, der seine Seiten unterschiedlicher Länge hat. Seine entgegengesetzten Winkel können akut und der andere stumpf sein, aber es kann auch passieren, dass beide stumpf oder beide akut sind.

Kann Ihnen dienen: Aufgelöste Faktorisierungsübungen Figur 4. Arten von Trapez. Quelle: f. Zapata.

Parallelogramm

Das Parallelogramm ist ein viereckiger, dessen gegenüberliegende Seiten zwei zu zwei parallel sind. In einem Parallelogramm sind die entgegengesetzten Winkel gleich und die angrenzenden Winkel sind ergänzend oder mit anderen Worten die angrenzenden Winkel insgesamt 180 °.

Wenn ein Parallelogramm einen rechten Winkel hat, werden auch alle anderen Winkel und die resultierende Figur genannt Rechteck. Wenn das Rechteck aber auch seine angrenzenden Seiten derselben Länge hat, sind alle Seiten gleich und die resultierende Abbildung ist a Quadrat.

Abbildung 5. Parallelogramme. Das Rechteck, das Quadrat und der Rhombus sind Parallelogramme. Quelle: f. Zapata.

Wenn ein Parallelogramm zwei benachbarte Seiten derselben Länge hat, haben alle seine Seiten die gleiche Länge und die resultierende Abbildung ist a Diamant.

Die Höhe eines Parallelogramms ist ein Segment mit Enden auf seinen gegenüberliegenden Seiten und senkrecht zu ihnen.

Ein Parallelogrammbereich

Die Fläche eines Parallelogramms ist das Produkt der Basis nach ihrer Höhe, wobei die Basis senkrecht zur Höhe ist (Abbildung 6).

Fläche eines Parallelogramms = Basis x Höhe = a . H

Diagonalen eines Parallelogramms

Das Quadrat der Diagonale, die von einem Scheitelpunkt startet, entspricht der Summe der Quadrate der beiden Seiten neben dem Scheitelpunkt mehr als das Doppelprodukt dieser Seiten durch den Cosinus des Winkels dieses Scheitelpunkts:

F² = a² +  D² + 2 A d cos (α)

Abbildung 6. Parallelogramm. Gegenwinkel, Höhe, Diagonale. Quelle: f. Zapata.

Das Quadrat der Diagonale, die dem Scheitelpunkt eines Parallelogramms entspricht, entspricht der Summe der Quadrate der beiden Seiten neben dem Scheitelpunkt und subtrahierte das Doppelprodukt dieser Seiten durch den Cosinus des Winkelwinkelwinkels dieses Scheitelpunkts:

G² = a² + D² - 2 A d cos (α)

Parallelogramme Gesetz

In jedem Parallelogramm entspricht die Summe der Quadrate ihrer Seiten der Summe der Quadrate der Diagonalen:

Zu² + B² + C² + D² = f² + G²

BetreffCtangle

Das Rechteck ist ein Viereck mit seinen gegenüberliegenden Seiten parallel zwei bis zwei und das hat auch einen rechten Winkel. Das heißt, dass das Rechteck eine Art Parallelogramm mit einem rechten Winkel ist. Für Parallelogramm, Das Rechteck hat seine gegenüberliegenden Seiten gleicher Länge a = c und b = d. 

Aber wie in jedem parallelogramm benachbarten Winkel ergänzt und die gleichen entgegengesetzten Winkel im Rechteck, indem es einen rechten Winkel aufweist. Das heißt In einem Rechteck messen alle inneren Winkel 90º oder π/2 Radiant.

Diagonale eines Rechtecks

In einem Rechteck sind die Diagonalen gleich lang, Wie unten gezeigt wird. Die Argumentation ist wie folgt; Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit all seinen geraden Winkeln und deshalb erbt es alle Eigenschaften des Parallelogramms, einschließlich der Formel, die die Länge der Diagonalen ergibt:

F² = a²+  D² + 2 A d cos (α)

G² = a² + D² - 2 A d cos (α)

mit α = 90º

Als Cos (90º) = 0, Also kommt es vor::

F² = g² = a² +  D²

Das ist f = g, und damit die Längen F Und G Von den beiden Diagonalen des Rechtecks ​​sind sie gleich und ihre Länge ist gegeben durch:

Diagonale Länge eines Rechtecks ​​= √ (a² + B²)

Außerdem, wenn in einem Rechteck benachbarter Seiten Zu Und B Eine Seite basiert auf der anderen Seite und folglich wird der Rechteckbereich:

Es kann Ihnen dienen: Fibonacci -Reihe: Eigenschaften, natürliche Beziehungen, Anwendungen

Rechteckbereich = a x b.

Der Umfang ist die Summe aller Seiten des Rechtecks, aber da die Gegensätze gleich sind, ist er dann für ein Seitenrechteck erforderlich Zu Und B Der Umfang wird durch die folgende Formel angegeben:

Rechteckum umfangreich = 2 (a + b)

Abbildung 7. Rechteck der Seiten A und B. Die Diagonalen f und g sind gleich lang. Quelle: f. Zapata.

Quadrat

Das Quadrat ist ein Rechteck mit seinen angrenzenden Seiten derselben Länge. Wenn das Quadrat Seite hat Zu, Dann seine Diagonalen F Und G Sie haben die gleiche Länge, das ist F = g = (√2) a.

Die Fläche eines Quadrats ist seine Seite zum Quadrat erhöht:

Fläche eines Quadrats = a²

Der Umfang eines Quadrats ist doppelt so hoch:

Umfang eines Quadrats = 4 a

Abbildung 8. Quadrat zu Seite A, was auf seine Fläche, seinen Umfang und die Länge seiner Diagonalen hinweist. Quelle: f. Zapata ..

Diamant

Der Rhombus ist ein Parallelogramm mit seinen angrenzenden Seiten derselben Länge, aber wie in einem Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Seiten gleicher, Alle Seiten eines Rhombus sind die gleiche Länge.

Die Diagonalen eines Rhombus sind unterschiedlich, aber sie werden im rechten Winkel geschnitten.

Abbildung 9. Rhombus von Seite A, der seinen Bereich, seinen Umfang und die Länge seiner Diagonalen angibt. Quelle: f. Zapata.

Beispiele

Beispiel 1

Zeigen, dass in einem viereckigen (nicht gekreuzten) die inneren Winkel insgesamt 360 ° insgesamt 360 °.

Abbildung 10: Es wird als die Summe der Winkel eines viereckigen 360º nachgewiesen. Quelle: f. Zapata.

ABCD wird als ABCD angesehen (siehe Abbildung 10) und die diagonale BD wird gezeichnet. Es werden zwei ABD- und BCD -Dreiecke gebildet. Die Summe der inneren Winkel des ABD -Dreiecks ist:

α + β₁ + δ₁ = 180º

Und die Summe der inneren Winkel des BCD -Dreiecks lautet:

 β2 + γ + δ₂ = 180º

Hinzufügen der beiden Gleichungen wird erhalten:

α + β₁ + δ₁ +  β₂ + γ + δ₂ = 180º + 180º

Gruppierung:

α + (β₁ +  β₂) + (Δ₁ + δ₂) + γ = 2* 180º

Gruppieren und Reniken, es wird schließlich gezeigt, dass:

α + β + δ + γ = 360º

Beispiel 2

Zeigen, dass der Median eines Trapezs parallel zu seinen Basen ist und seine Länge das halb -sesymum der Basen ist.

Abbildung 11. Median Mn des ABCD -Trapezes. Quelle: f. Zapata.

Der Median eines Trapezes ist das Segment, das sich den Mittelpunkten seiner Seiten verbindet, dh die nicht -parallelen Seiten. In dem in Abbildung 11 gezeigten ABCD -Trapez ist der Median Mn. 

Da es sich um einen Mittelpunkt von AD und N Mid BC Point handelt, wird erfüllt, dass Quotienten AM / AD und BN / BC gleich sind.

Das heißt, AM ist proportional zu BN in dem gleichen Verhältnis wie AD BC, daher die Bedingungen für die Anwendung des Satzes (gegenseitig) von Thales, die Folgendes bestätigen:

"Wenn in drei oder mehr geradfrost von zwei Sekanten geschnitten".

In unserem Fall wird der Schluss gezogen, dass die Mn-, AB- und DC -Linien daher parallel zueinander sind:

“LIn einem Median ist einer von Trapez parallel zu seinen Basen".

Kann Ihnen dienen: kombinierte Operationen

Jetzt gilt Thales 'Theorem:

"Eine Reihe von Parallelen, die durch zwei oder mehr Trocknen geschnitten wurden, bestimmen proportionale Segmente".

In unserem Fall AD = 2 Uhr, AC = 2 AO, so ist das DAC -Dreieck dem Mao -Dreieck und folglich DC = 2 Mo ähnlich.

Ein ähnliches Argument ermöglicht zu bestätigen, dass Cu dem Con ähnlich ist, wobei Ca = 2 CO und CB = 2 cn. Daraus folgt, dass AB = 2 auf.

Kurz gesagt, ab = 2 auf y 2 Mo. Also, wenn wir gegangen sind:

AB + DC = 2 auf + 2 Mo = 2 (Mo + auf) = 2 mn

Schließlich löscht Mn:

Mn = (ab + dc) /2

Und es wird der Schluss gezogen, dass der Median eines Trapezs die Halbkörper der Basen oder mit anderen Worten: Der Median misst die Summe der Basen, geteilt durch zwei.

Beispiel 3

Zeigen, dass die Diagonalen im Rhombus im rechten Winkel geschnitten werden.

Abbildung 12. Rhombus und demonstrieren, dass ihre Diagonalen im rechten Winkel geschnitten werden. Quelle: f. Zapata.

Der Vorstand von Abbildung 12 zeigt die notwendige Konstruktion. Zuerst wird das ABCD -Parallelogramm mit AB = BC gezeichnet, das ist ein Rhombus. Die AC- und DB -Diagonalen bestimmen acht in der Abbildung gezeigte Winkel.

Verwenden des Satzes (a.Yo.P.) Das besagt, dass interne alternative Winkel zwischen Parallelen, die durch einen Sekanten geschnitten werden, gleiche Winkel bestimmen, können wir Folgendes festlegen:

α₁ = γ₁, α2 = γ2, Δ₁ = Β₁ und Δ2 = β2. (*)

Andererseits werden die angrenzenden Seiten eines Rhombus gleich langer Länge bestimmen, vier iszelische Dreiecke:

DAB, BCD, CDA und ABC

Jetzt wird der Triangles -Theorem (isosceles) angerufen, dass die Winkel neben der Basis von gleichen Maßstäben sind, wo zu dem Schluss gekommen ist:

δ₁ = β2, δ2 = β₁, α2 = γ₁ und α₁ = γ2 (**)

Wenn Beziehungen (*) und (**) kombiniert werden, wird die nächste Gleichheit der Winkel erreicht:

α₁ = α2 = γ₁ = γ₁ Einerseits und β₁ = Β2 = δ₁ = Δ2 für den anderen. 

Erinnern Sie sich an den Satz der gleichen Dreiecke, die bestätigt, dass zwei Dreiecke mit gleicher Seite zwischen zwei gleichen Winkeln gleich sind:

Aod = aoB und folglich auch die Winkel ∡aod = ∡aOB.

Dann ∡aod + ∡aob = 180º, aber da beide Winkel gleichwertig sind, 2 ∡aod = 180º, was bedeutet, dass ∡aod = 90º.

Das heißt, es wird geometrisch gezeigt, dass die Diagonalen eines Rhombus im rechten Winkel geschnitten werden.

Übungen gelöst

- Übung 1

Zeigen, dass in einem Rechteck-Trapez ohne GEG-Winkel ergänzend sind.

Lösung

Abbildung 13. Rechteck Trapez. Quelle: f. Zapata.

ABCD -Trapez wird mit parallelen AB- und DC -Basen gebaut. Der innere Winkel des Scheitelpunkts A ist gerade (misst 90º), sodass Sie ein Rechteck -Trapez haben.

Die Winkel α und δ sind interne Winkel zwischen zwei parallelen AB- und DC -Parallelen, daher sind sie gleich, dh Δ = α = 90º. 

Andererseits wurde gezeigt, dass die Summe der inneren Winkel eines viereckigen 360 °, das heißt:

α + β + γ + δ = 90º + β + 90º + δ = 360º.

Das obige führt zu:

 β + δ = 180 °

Bestätigen, was demonstriert werden wollte, dass die Winkel β und δ ergänzend sind.

- Übung 2

Ein ABCD -Parallelogramm hat AB = 2 cm und AD = 1 cm, zusätzlich ist der Winkel schlecht 30º. Bestimmen Sie die Fläche des Parallelogramms und die Länge seiner beiden Diagonalen.

Lösung

Die Fläche eines Parallelogramms ist das Produkt der Länge seiner Basis nach Höhe. In diesem Fall wird die Länge des Segments B = AB = 2 cm als Basis genommen, die andere Seite hat Länge a = ad = 1 cm und die Höhe H wird wie folgt berechnet:

H = ad * sin (30º) = 1 cm * (1/2) = ½ cm.

Dann: Fläche = B * H = 2 cm * ½ cm = 1 cm².

Verweise

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2. Campos, f., Cerecedo, f. J. (2014). Mathematik 2. Patria Redaktionsgruppe.
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