Seillänge, Theorem und Übungen (Geometrie)

A Seil, In der flachen Geometrie ist es das Liniensegment, das zwei Punkte aus einer Kurve verbindet. Es wird gesagt, dass die Linie, die dieses Segment enthält. Es ist oft ein Umfang, aber Sie können sicherlich Saiten in viele andere Kurven wie Ellipsen und Gleichnisse zeichnen.

In Abbildung 1 nach links gibt es eine Kurve, zu der die Punkte A und B gehören. Das Seil zwischen A und B ist das grüne Segment. Auf der rechten Seite befindet sich ein Umfang und einer ihrer Saiten, da es möglich ist, unendlich zu verfolgen.

Abbildung 1. Links das Seil einer willkürlichen Kurve und rechts das Seil eines Kreises. Quelle: Wikimedia Commons.

Im Umfang ist sein Durchmesser besonders interessant, was auch als bekannt ist Hauptseil. Es ist ein Seil, das immer die Mitte des Umfangs enthält und doppelt so hoch ist.

Die folgende Abbildung wird durch den Radius, den Durchmesser, ein Seil und auch den Bogen eines Kreises dargestellt. Identifizieren Sie jeden einzelnen korrekt, wenn Sie Probleme lösen.

Figur 2. Umfangselemente. Quelle: Wikimedia Commons.

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Seillänge eines Umfangs

Wir können die Länge des Seils in einem Kreis aus Abbildungen 3a und 3b berechnen. Beachten Sie, dass ein Dreieck immer mit zwei gleichen Seiten (isoskeln) gebildet wird: die OA- und OB -Segmente, die R, den Radius des Umfangs messen. Die dritte Seite des Dreiecks lautet Segment AB, genannt C, das genau die Länge des Seils ist.

Es ist notwendig, eine Linie senkrecht zum C -Seil zu zeichnen, um im Winkel θ zwischen den beiden Funkgeräten zu halbieren und deren Scheitelpunkt der Zentrum oder der Umfang ist. Das ist ein Zentralwinkel -Weil sein Scheitelpunkt die Mitte ist und die Halbierlinie auch ein Sekant des Umfangs ist.

Es kann Ihnen dienen: radikale Eigenschaften

Sofort werden zwei Rechtecke gebildet, deren Hypotenuse. Da der Halbierende und damit den Durchmesser in zwei Teile gleich dem Seil unterteilt werden, stellt sich heraus, dass eines der Beine die Hälfte von C ist, wie in Abbildung 3b angegeben.

Aus der Definition der Brust eines Winkels:

sin (θ/2) = entgegengesetzt/hypotenusa cateto = (c/2)/r

Deshalb:

sin (θ/2) = c/2r

C = 2r sen (θ/2)

Figur 3. Das Dreieck, das durch zwei Funkgeräte und ein Umfangseil gebildet wird (Abbildung 3), da es zwei Seiten gleich hat. Der Halbierektor teilt es in zwei Rechtecke Dreiecke (Abbildung 3b). Quelle: Vorbereitet von f. Zapata.

String -Theorem 

Der String -Theorem sagt:

Wenn sich zwei Seile an einem Punkt kreuzen, ist das Produkt der Länge der Segmente, die auf einem der Saiten erscheinen, gleich dem Produkt der Längen der Segmente, die im anderen Seil definiert sind.

Die folgende Abbildung zeigt zwei Zeichenfolgen desselben Umfangs: AB und CD, die sich am Punkt p kreuzen. Im AB -Seil werden die AP- und PB -Segmente definiert, während CP und PD im CD -Seil definiert sind. Dann laut Theorem:

AP . Pb = cp . P.S.S

Figur 4. Der Seilsatz eines Umfangs. Quelle: f. Zapata.

Lösende Saitenübungen

- Übung 1

Ein Kreis hat ein 48 -cm -Seil, das 7 cm von der Mitte entfernt ist. Berechnen Sie den Kreisbereich und den Umfang des Umfangs.

Lösung  

Um den Kreis a Fläche zu berechnen, reicht es aus, den Radius des Umfangs zum Quadrat zu kennen, da er erfüllt ist:

A = π.R²

Jetzt ist die Figur, die mit den bereitgestellten Daten gebildet wird, ein Rechteckdreieck, dessen Beine 7 bzw. 24 cm sind.

Abbildung 5. Geometrie für die gelöste Übung 1. Quelle: f. Zapata.

Daher den Wert von r zu finden² Der Pythagoras C -Theorem wird direkt angewendet² = a² + B², Da R die Hypotenuse des Dreiecks ist:

Kann Ihnen dienen: Nullwinkel: Definition und Eigenschaften, Beispiele, Übungen

R² = (7 cm)² + (24 cm)² = 625 cm²

Dann lautet der angeforderte Bereich:

A = π. 625 cm² = 1963.5 cm²

Was den Umfang oder die Länge des Umfangs betrifft, wird er berechnet durch:

L = 2π. R

Werte ersetzen:

R = √625 cm² = 25 cm

L = 2π. 25 cm = 157.1 cm.

- Übung 2

Bestimmen Sie die Länge des Seils eines Kreises, dessen Gleichung lautet:

X² + Und² - 6x - 14y -111 = 0

Es ist bekannt, dass die Koordinaten des Mittelpunkts des Seils P (17/2; 7/2) sind.

Lösung

Der Mittelpunkt des P -Seils gehört nicht zum Umfang, sondern die extremen Punkte des Seils Ja. Das Problem kann mittels des zuvor angegebenen Strings -Theorems gelöst werden, aber zuerst ist es bequem.

Schritt 1: Erhalten Sie die kanonische Gleichung des Umfangs

Die kanonische Gleichung des Umfangs mit Zentrum (h, k) lautet:

(X-h)² + (Y-k)² = R²

Um es zu erhalten, ist es notwendig, Quadrate zu vervollständigen:

(X² - 6x) + (und² - 14Y) -111 = 0

Beachten Sie, dass 6x = 2.(3x) und 14y = 2.(7y), so dass der vorherige Ausdruck so umgeschrieben wird, dass sie unverändert ist:

(X² - 6x+3²-3²) + (und² - 14y+7²-7²) -111 = 0

Und jetzt erinnern Sie sich an die Definition eines bemerkenswerten Produkts (A-B)² = a² - 2ab + b² Es kann geschrieben werden:

(X - 3)² - 3² + (und - 7)² - 7² - 111 = 0

= (x - 3)² + (und - 7)² = 111 + 3² + 7² → (x - 3)² + (und - 7)² = 169

Der Umfang hat ein Zentrum (3.7) und ein Radio r = √169 = 13. Die folgende Abbildung zeigt den Diagramm des Umfangs und der Zeichenfolgen, die im Theorem verwendet werden:

Kann Ihnen dienen: Was sind die 7 Elemente des Umfangs??Abbildung 6. Grafik des Umfangs der Übung 2 2. Quelle: f. Zapata durch den Online -Grafikrechner Mathway.

Schritt 2: Bestimmen Sie die Segmente, die im String -Theorem verwendet werden sollen

Die zu verwendenden Segmente sind die CD- und AB -Zeichenfolgen gemäß Abbildung 6, beide werden am Punkt P geschnitten, deshalb:

CP . Pd = ap. Pb

Jetzt werden wir den Abstand zwischen den Punkten O und P finden, da dies uns die Länge des OP -Segments gibt. Wenn wir den Radius dieser Länge hinzufügen, haben wir das CP -Segment.

Die Entfernung d_Op Zwischen zwei Koordinatenpunkten (x₁,Und₁) und (x₂,Und₂) Ist:

D_Op² = Op² = (x₂ - X₁)² + (Und₂ - Und₁)² = (3- 17/2)² + (7-7/2)² = 121/4 + 49/4 = 170/4

D_Op = Op = √170 /2

Bei allen erhaltenen Ergebnissen sowie dem Diagramm erstellen wir die folgende Liste der Segmente (siehe Abbildung 6):

CO = 13 cm = r

Op = √170 /2 cm

Cp = op + r = 13 + √170 /2 cm

Pd = od - op = 13 - √170 /2 cm

Ap = pb

2.AP = Seillänge

Ersetzen im String -Theorem:

CP . Pd = ap . Pb = [(13 +√170 /2) . (13 -√170 /2)] = AP²

[169-170/4] = AP²

253/2 = ap²

Ap = √ (253/2)

Die Länge des Seils beträgt 2.Ap = 2 (√253/2) = √506

Könnte der Leser das Problem auf andere Weise lösen?

Verweise

1. Baldor, a. 2004. Flache und Raumgeometrie mit Trigonometrie. Kulturelle Veröffentlichungen s.ZU. von c.V. Mexiko.
2. C-K12. Lenght eines Akkords. Erholt von: CK12.Org.
3. Escobar, j. Der Umfang. Erholt von: Mathematik.Du.Edu.CO.
4. Villena, m. Konisch. Abgerufen von: dspace.Espol.Edu.EC.
5. Wikipedia. Seil (Geometrie). Geborgen von: ist.Wikipedia.Org.