Wie viele Lösungen hat eine quadratische Gleichung?

Eine quadratische Gleichung oder Gleichung zweiten Grades kann abhängig von den Koeffizienten, die in dieser Gleichung erscheinen. Wenn Sie an komplexen Zahlen arbeiten, können Sie sagen, dass jede quadratische Gleichung zwei Lösungen hat.

So starten Sie eine quadratische Gleichung.

Es wird gesagt, dass x1 eine Lösung der vorherigen quadratischen Gleichung ist, wenn beim Ersetzen von x durch x1 die Gleichung erfüllt ist, dh wenn a (x1) ²+b (x1)+c = 0.

Wenn Sie zum Beispiel die Gleichung x²-4x+4 = 0 haben, ist x1 = 2 die Lösung, da (2) ² (2) +4 = 4-8+4 = 0 ist.

Im Gegenteil, wenn x2 = 0 ersetzt wird, wird es erhalten (0) ²-4 (0) +4 = 4 und als 4 ≠ 0 ist x2 = 0 keine Lösung der quadratischen Gleichung.

Lösungen einer quadratischen Gleichung

Die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung kann in zwei Fällen getrennt werden, die lautet:

1.- In realer Zahlen

Bei der Arbeit mit realen Zahlen können quadratische Gleichungen:

-Zero Solutions: Das heißt, es gibt keine reelle Zahl, die die quadratische Gleichung erfüllt. Zum Beispiel gibt es die Gleichung, die x²+1 = 0 entspricht Streng als Null.

-Eine wiederholte Lösung: Es gibt einen einzelnen realen Wert, der die quadratische Gleichung erfüllt. Beispielsweise ist die einzige Lösung der Gleichung x²-4x+4 = 0 x1 = 2.

-Zwei verschiedene Lösungen: Es gibt zwei Werte, die die quadratische Gleichung erfüllen. Zum Beispiel hat x²+x -2 = 0 zwei verschiedene Lösungen, die x1 = 1 und x2 = -2 sind.

2.- In komplexen Zahlen

Bei der Arbeit mit komplexen Zahlen haben quadratische Gleichungen immer zwei Lösungen, die z1 und z2 sind, wobei Z2 das Konjugat von Z1 ist. Darüber hinaus können sie als:

-Komplexe: Die Lösungen sind aus der Form z = p ± qi, wobei P und Q reelle Zahlen sind. Dieser Fall entspricht dem ersten Fall der vorherigen Liste.

-Reine Komplexe: Wenn der eigentliche Teil der Lösung gleich Null ist, heißt es, dass die Lösung die Form z = ± qi hat, wobei Q eine reelle Zahl ist. Dieser Fall entspricht dem ersten Fall der vorherigen Liste.

-Komplexe mit imaginärem Teil gleich Null: Wenn der komplexe Teil der Lösung Null ist, heißt es, dass die Lösung eine reelle Zahl ist. Dieser Fall entspricht den letzten beiden Fällen der vorherigen Liste.

Wie werden die Lösungen einer quadratischen Gleichung berechnet??

Um die Lösungen einer quadratischen Gleichung zu berechnen, wird eine als „Auflösung“ bezeichnete Formel verwendet, die besagt, dass die Lösungen einer AX²+BX+C = 0 -Gleichung durch den Ausdruck des folgenden Bildes angegeben sind:

Die Menge, die innerhalb der Quadratwurzel erscheint, wird als Diskriminanz der quadratischen Gleichung bezeichnet und wird durch den Buchstaben "D" bezeichnet, der bezeichnet wird.

Die quadratische Gleichung wird:

-Zwei echte Lösungen ja und nur ja, d> 0.

-Eine wiederholte echte Lösung, wenn und nur wenn, d = 0.

-Zero Real Solutions (oder zwei komplexe Lösungen) Ja und nur ja, D<0.

Beispiele

-Die Lösungen der Gleichung x²+x-2 = 0 sind gegeben durch:

-Die Gleichung x²-4x+4 = 0 hat eine wiederholte Lösung, die angegeben ist:

-Die Lösungen der Gleichung x²+1 = 0 sind gegeben durch:

Wie in diesem letzten Beispiel zu sehen ist, ist x2 das Konjugat von x1.