Regelmäßige, unregelmäßige Dezagon, Eigenschaften, Beispiele

Er Zehneck Es handelt. Die Decakone können regelmäßig oder unregelmäßig sein, im ersten Fall haben alle Seiten und Innenwinkel das gleiche Maß, während sich in der zweiten Seite und/oder Winkel voneinander unterscheiden.

Abbildung 1 zeigt Beispiele für Decakone jedes Typs, und wie wir sehen können, ist der reguläre Decagon sehr symmetrisch.

Abbildung 1. Links ein reguläres Decagon und rechts ein unregelmäßiger Decagon. Quelle: Wikimedia Commons/f. Zapata/mathpenref.

Die grundlegenden Elemente aller Decagon sind:

-Seiten, die Leitungssegmente, die beim Beitritt zum Dezagon.

-Scheitelpunkte oder Punkte zwischen jeder aufeinanderfolgenden Seite.

-Interne und externe Winkel zwischen benachbarten Seiten.

-Diagonalen, Segmente, die zwei nicht aufeinanderfolgende Eckpunkte vereinen.

Die Eckpunkte werden nach Großbuchstaben aufgerufen, wie in Abbildung 1 gezeigt, wo die ersten Buchstaben des Alphabets verwendet wurden, aber jeder Buchstaben kann verwendet werden.

Die Seiten werden mit den beiden Buchstaben der Eckpunkte symbolisiert, darunter, beispielsweise die AB -Seite zwischen den Eckpunkten A und B ist. Ebenso wie es mit den Diagonalen gemacht wird, haben wir den diagonalen AF, der die Punkte A und F anschließt.

Für Winkel verwenden wir dieses Symbol: schren, ähnlich wie bei einem geneigten l. Zum Beispiel ist der Winkel test ABC einer, dessen Scheitelpunkt b ist und deren Seiten die AB- und BC -Segmente sind.

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Regulärer Dezagon

Im regulären Decagon haben alle Seiten die gleiche Maßnahme sowie interne Winkel. Deshalb soll es sein Gleichgewicht (gleiche Seiten) und gleichwinklig (Gleiche Winkel). Es ist eine sehr symmetrische Figur

Innenwinkel eines regulären Dezons

Um das Maß der inneren Winkel eines regulären Polygons einschließlich des regulären Dezagon zu finden, wird die folgende Formel verwendet:

Wo:

-I ist das Maß für den Winkel in Grad.

-n ist die Anzahl der Seiten des Polygons. Im Fall von Deconon n = 10.

Kann dir dienen: Heptagon

Ersetzen von n = 10 In der vorherigen Formel erhalten wir Folgendes:

Jetzt wird gesagt, dass ein Polygon ist konvex Wenn seine Winkelmaße weniger als 180 ° betragen, ist das Polygon ansonsten konkav. Wie jeder Innenwinkel des regulären Decagon misst 144º und ist weniger als 180 °, dann ist es ein konvexes Polygon.

Summe der inneren Winkel

Die Summe der Maße der inneren Winkel eines beliebigen Polygons ist in Grad:

S = (N-2) x 180º; n ist immer größer als 2

In dieser Formel müssen wir:

-S ist die Summe der Maße der inneren Winkel.

-n ist die Anzahl der Seiten. Für den Decon n = 10

Anwenden der Formel für n = 10 Ergebnisse:

S = (10 - 2) x 180º = 1440º

Außenwinkel 

Zwischen einer Seite und der Ausdehnung der angrenzenden Seite wird ein äußerer Winkel gebildet, sehen wir:

Figur 2.- Der äußere Winkel des regulären Decagon misst 36º. Brunnen. Wikimedia Commons/f. Zapata.

Der Winkel test ABC plus der externe Winkel fügt 180 ° hinzu, dh sie sind es Ergänzend. Daher beträgt der äußere Winkel 180º-144º = 36º, wie wir in der Abbildung sehen.

Anzahl der Diagonalen

Wie bereits erwähnt, sind die Diagonalen die Segmente, die nicht aufeinanderfolgende Eckpunkte vereinen. Wie viele Diagonalen können wir in einem Dezon verfolgen? Wenn die Anzahl der Scheitelpunkte gering ist, können sie leicht gezählt werden, aber wenn diese Zahl zunimmt, können Sie das Konto verlieren.

Glücklicherweise gibt es eine Formel, um die Anzahl der Diagonalen zu kennen, die ein Polygon hat N Seiten:

Für den Decagon ersetzen wir n = 10 und erhalten:

D = 10 x (10 - 3) /2 = 35

Im regulären Decagon werden alle Diagonalen an einem Punkt geschnitten, was die Mitte der Abbildung ist:

Figur 3. Winkel und Diagonale des regulären Dezagon. Quelle: Wikimedia Commons.

Center

Das Zentrum eines Polygons ist definiert als der äquidistante Punkt eines jeden Scheitelpunkts. In der vorherigen Abbildung fällt das Zentrum mit dem Schnittpunkt aller Diagonalen zusammen.

Umfang

Wenn der reguläre Decagon Seite A hat, ist sein Umfang P die Summe aller Seiten:

Kann Ihnen dienen: 90 Divisors: Was sind und Erklärung

P = 10.Zu

Bereich

Die Länge kennen Zu Nebenbei wird der reguläre Decagon -Bereich berechnet durch:

Eine ungefähre Formel für den Bereich ist:

Und eine dritte Option, um den Bereich zu finden, ist die Länge des Apothems l_ZU. Dies ist das Segment, das mit der Mitte des Polygons den Mittelpunkt auf einer Seite verbindet.

In diesem Fall kann die Fläche unter Verwendung der Formel berechnet werden:

Unregelmäßiger Dezagon

Das unregelmäßige Decagon ist weder gleichseitig noch gleichereck, und im Allgemeinen fehlt es die Symmetrie der regulären Figur, obwohl einige Decakone möglicherweise eine Symmetrieachse haben können.

Sie können auch konvex oder konkav sein, wenn interne Winkel von mehr als 180 ° vorhanden sind.

Der unregelmäßige Dezon von Abbildung 1 ist konkav, da einige seiner inneren Winkel größer als 180 ° sind. Es ist offensichtlich, dass es viele Kombinationen von Blickwinkeln und Seiten gibt, die zu einem unregelmäßigen Decagon führen.

In jedem Fall ist es erfüllt, dass:

-Die inneren Winkel eines unregelmäßigen Dezagon fügen auch 1440º hinzu.

-Es hat auch 35 Diagonalen.

Bereich eines unregelmäßigen Dezagon durch Gauß -Determinanten

Im Allgemeinen gibt es keine einzigartige Formel, um den Bereich eines unregelmäßigen Polygons zu finden, da die Seiten und Winkel unterschiedlich sind. Sie können jedoch die Koordinaten der Scheitelpunkte kennen und die Berechnung des Gauß -Determinanten:

-Rufen wir an (x_N , Und_N ) zu den Koordinaten der Eckpunkte mit N variieren von 1 bis 10.

-Sie können von jedem Scheitelpunkt aus starten, dem Koordinaten zugewiesen werden (x x₁, Und₁ ). Jetzt müssen Sie die Werte jeder Koordinate in dieser Formel ersetzen:

Wo Determinanten genau die Operationen zwischen Klammern sind.

-Es ist wichtig zu beachten, dass die letzte Determinante den ersten Scheitelpunkt zusammen mit dem letzten beinhaltet. Für den Decagon wäre es so:

(X₁₀Und₁ - X₁Und₁₀)

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Wichtig: Die Balken sind die von absolutem Wert und bedeuten, dass das Endergebnis immer ein positives Zeichen ist.

Das Verfahren kann mühsam sein, wenn die Figur viele Scheitelpunkte hat, im Fall des Decagon gibt es 10 Operationen. Daher ist es ratsam, eine Tabelle oder eine Liste zu erstellen.

Übung gelöst

Berechnen Sie den in der Abbildung gezeigten unregelmäßigen Dezagonbereich. Die Koordinaten der Eckpunkte sind a, b, c ... j, deren Werte links angezeigt werden.

Figur 4. Unregelmäßiger Decagon und seine Eckpunkte. Quelle: f. Zapata mit GeoGebra.

Lösung

-Wir machen jede der 10 Operationen:

• 2 × 6 - 4 × 0 = 12 - 0 = 12
• 0 × 4 - 6 × (-2) = 0 + 12 = 12
• (-2) × 7- 4 × (-5) = -14 + 20 = 6
• (-5) × 2 -7 × (-6) = -10 + 42 = 32
• (-6) × (-4) -2 × (-4) = 24 + 8 = 32
• (-4) × (-2)-(-4) × (-2) = 8-8 = 0
• (-2) × 0-(-2) × (-1) = 0 -2
• (-1) × 0 - 0 × (2) = 0 - 0 = 0
• 2 × 2 - 0 × 8 = 4 - 0 = 4
• 8 × 4 -2 × 2 = 32 - 4 = 28

-Wir fügen die Ergebnisse hinzu:

12 + 12 + 6 + 32 + 32 + 0 + (-2) + 0 + 4 + 28 = 124

Ein positives Ergebnis wird auch ohne die Balken mit absolutem Wert erzielt, aber wenn es negativ ist, wird das gleiche geändert.

-Das vorherige Ergebnis ist durch 2 geteilt und das ist die Fläche des Polygons:

A = 124/2 = 62

Decangon -Eigenschaften

Nachfolgend finden Sie die Zusammenfassung der allgemeinen Eigenschaften eines Dezagon, ob regulär oder unregelmäßig:

-Hat 10 Seiten und 10 Eckpunkte.

-Die Summe der inneren Winkel beträgt 1440º.

-Es gibt 35 Diagonalen.

-Der Umfang ist die Summe aller Seiten.

-Sie können Dreiecke in einem Polygon -Zeichnungssegmenten von einem Scheitelpunkt zu allen anderen erstellen. In einem Decagon ist es möglich, 8 Dreiecke auf diese Weise zu zeichnen, wie unten gezeigt:

Abbildung 5. Interne Dreiecke in einem regulären Dezagon. Quelle: Mathpenref.

Verweise

1. Alexander, d. 2013. Geometrie. 5. Auflage. Cengage Lernen.
2. Zehneck.com. Zehneck. Erholt von: Decagon.com
3. Mathematik offene Referenz. Zehneck. Erholt von: mathpenref.com.
4. Sangaku -Mathematik. Elemente eines Polygons und seiner Klassifizierung. Erholt von: Sangakoo.com.
5. Wikipedia. Zehneck. Geborgen von: ist.Wikipedia.com.