Algebraische Derivate

Was sind algebraische Derivate?

Der algebraische Derivate Sie bestehen aus der Untersuchung des Derivats im speziellen Fall algebraischer Funktionen. Der Ursprung des Begriffs der Derivat stammt aus dem alten Griechenland zurück. Die Entwicklung dieses Begriffs wurde durch die Notwendigkeit motiviert, zwei wichtige Probleme zu lösen, einen in der Physik und einen in der Mathematik.

In der Physik löst das Derivat das Problem der Bestimmung der momentanen Geschwindigkeit eines sich bewegenden Objekts. In der Mathematik können die Tangentenlinie an einem bestimmten Punkt eine Kurve finden.

Obwohl es wirklich viele weitere Probleme gibt, die durch die Verwendung des Derivats sowie deren Verallgemeinerungen gelöst werden, kamen die Ergebnisse, die später zur Einführung ihres Konzepts kamen.

Die Pioniere von Differentialkalkül sind Newton und Leibniz. Bevor wir die formale Definition geben, werden wir die Idee hinter dem mathematischen und physischen Standpunkt aus entwickeln.

Das Ableitungsableitungen als Tangentiallinie einer Kurve

Nehmen wir an, die Grafik einer y = f (x) -Funktion ist ein kontinuierlicher Diagramm (ohne Spikes oder Eckpunkte oder Trennungen) und entweder a = (a, f (a)) ein fester Punkt darüber. Wir möchten die Tangentenliniengleichung in der Funktion F am Punkt A finden.

Nehmen wir einen weiteren Punkt p = (x, f (x)) des Diagramms nahe an Punkt A und verfolgen Sie die Trocknungslinie, die durch a und p fließt. Eine Trocknungslinie ist eine Linie, die in die Grafik einer Kurve in einen oder mehrere Punkte schneidet.

Um die gewünschte Tangentenlinie zu erhalten, muss nur die Steigung berechnet werden, da wir bereits einen Punkt der Linie haben: der Punkt a.

Wenn wir den Punkt P durch das Diagramm verschieben und sich immer mehr auf Punkt A nähern, nähert sich die zuvor erwähnte Trockenlinie der Tangentiallinie, die Sie finden möchten. Die Grenze übernehmen, wenn "P zu einem" neigt, werden beide Linien zusammenfallen, daher auch ihre Hänge.

Die Steigung der Sekantenlinie ist gegeben durch

Zu sagen, dass P nahe A ist, ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass sich "X" "A" nähert. Somit ist die Steigung der Tangentenlinie zum Graphen von F an Punkt A gleich:

Der vorherige Ausdruck wird mit F '(a) bezeichnet und als Ableitung einer Funktion F am Punkt "A" definiert. Wir sehen, dass analytisch die Ableitung einer Funktion an einem Punkt eine Grenze ist, aber geometrisch die Steigung der Linien -Tangente zum Diagramm der Funktion am Punkt ist.

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Jetzt werden wir diesen Begriff aus der Sicht der Physik sehen. Wir werden den gleichen Ausdruck der vorherigen Grenze erreichen, wenn auch durch einen anderen Weg, wodurch die Einstimmigkeit der Definition erhalten wird.

Die Ableitung als sofortige Geschwindigkeit eines sich bewegenden Objekts

Schauen wir uns ein kurzes Beispiel dafür an, was augenblickliche Geschwindigkeit bedeutet. Wenn zum Beispiel gesagt wird, dass ein Auto, das ein Ziel erreicht hat.

Dies bedeutet nicht unbedingt, dass während der ganzen Stunde das Auto immer 100 km betrug, der Vecimeter des Autos in einigen Momenten weniger oder mehr markieren konnte. Wenn er die Notwendigkeit hatte, mit einer Ampel zu stehen, betrug die Geschwindigkeit in diesem Moment 0 km. Nach einer Stunde betrug die Route jedoch 100 km.

Dies ist sogenannt als Durchschnittsgeschwindigkeit und wird durch den Quotienten der zwischen der Zeit verstrichenen Zeit angegeben, wie wir gerade gesehen haben. Die sofortige Geschwindigkeit ist diejenige, die die Velocimeter -Nadel eines Autos zu einem bestimmten Zeitpunkt (Zeit) markiert (Zeit).

Lassen Sie uns dies jetzt allgemeiner sehen. Nehmen wir an, dass sich ein Objekt entlang einer Linie bewegt und dass diese Verschiebung durch die Gleichung S = F (t) dargestellt wird, wobei die Variable t die Zeit und die Variable S die Verschiebung misst, wobei der Beginn des Moments t = berücksichtigt wird 0, zu welchem ​​Zeitpunkt ist es auch Null, dh f (0) = 0.

Diese Funktion f (t) ist als Positionsfunktion bekannt.

Ein Ausdruck für die sofortige Geschwindigkeit des Objekts wird im festen Moment gesucht. Bei dieser Geschwindigkeit werden wir es durch v (a) bezeichnen.

Sei es jeden Moment nahe dem Augenblick "a". Im Zeitintervall zwischen „A“ und „T“ wird die Positionänderung durch f (t) -f (a) angegeben.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit in diesem Zeitintervall beträgt:

Dies ist eine Annäherung an die sofortige Geschwindigkeit V (a). Dieser Ansatz wird besser sein, da T näher an "a" kommt. Deshalb,

Lassen Sie uns feststellen, dass dieser Ausdruck dem im vorherigen Fall erhaltenen Ausdruck entspricht, jedoch aus einer anderen Perspektive. Dies ist das, was als Ableitung einer F -Funktion an einem Punkt "a" bezeichnet wird und mit F '(a) bezeichnet wird, wie oben angegeben.

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Beachten Sie, dass die Änderung h wird

Beide Ausdrücke sind äquivalent, aber manchmal sollte es je nach Fall mehr anstelle des anderen verwendet werden.

Es wird dann allgemeiner definiert, die von einer Funktion f zu einem beliebigen Punkt "x" abgeleitet sind, der zu seiner Domäne gehört

Die üblichste Notation, die Ableitung einer Funktion y = f (x) darzustellen, ist die, die wir gerade gesehen haben (f 'o y'). Eine andere weit verbreitete Notation ist jedoch die Notation von Leibniz, die als jeder der folgenden Ausdrücke dargestellt wird:

Angesichts der Tatsache, dass das Derivat im Wesentlichen eine Grenze ist, kann es existieren oder nicht, da die Grenzen nicht immer existieren. Für den Fall, dass es existiert, wird gesagt, dass die fragliche Funktion am gegebenen Punkt differenzierbar ist.

Algebraische Funktion

Eine algebraische Funktion ist eine Kombination von Polynomen durch Summen, Subtraktionen, Produkte, Quoten, Kräfte und Radikale.

Ein Polynom ist Ausdruck der Form

P_N= a_NX^N+ Zu_N-1X^N-1+ Zu_N-2X^N-2+… + A₂X²+ Zu₁x+a₀

Wo n eine natürliche Zahl ist und alle die_Yo, Mit i = 0,1,…, n sind rationale Zahlen und_N≠ 0. In diesem Fall wird gesagt, dass der Grad dieses Polynoms n ist.

Im Folgenden sind Beispiele für algebraische Funktionen aufgeführt:

Hier sind die exponentiellen, logarithmischen und trigonometrischen Funktionen nicht enthalten. Die Ableitungsregeln, die wir unten sehen werden, sind im Allgemeinen für Funktionen gültig, wir werden sie jedoch im Falle von algebraischen Funktionen einschränken und anwenden.

Derrying -Regeln

Abgeleitet von einer Konstante

Erklärt, dass das Ableitungen einer Konstante Null ist. Das heißt, wenn f (x) = c, dann f '(x) = 0. Zum Beispiel ist die Ableitung der Konstantenfunktion 2 gleich 0.

Abgeleitet von einer Macht

Wenn f (x) = x^N, dann f '(x) = nx^N-1. Zum Beispiel x Derivat³ Es ist 3x². Infolgedessen wird er erhalten, dass die aus der Identitätsfunktion f (x) = x abgeleitete ist f '(x) = 1x^1-1= x⁰= 1.

Ein weiteres Beispiel ist wie folgt: Sei f (x) = 1/x², dann f (x) = x^-2 und f '(x) = -2x^-2-1= -2x^-3.

Diese Eigenschaft ist auch gültige Wurzeln, da die Wurzeln rationale Befugnisse sind und die oben genannten auch in diesem Fall angewendet werden können. Zum Beispiel wird die aus einer Quadratwurzel abgeleitete

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Abgeleitet von einer Summe und einer Subtraktion

Wenn f und g differenzierbare Funktionen in x sind, ist auch die Summe F+G und es wird erfüllt, dass (f+g) '(x) = f' (x)+g '(x) (x) (x).

In ähnlicher Weise müssen Sie (f -g) '(x) = f' (x) -g '(x). Mit anderen Worten, die Ableitung einer Summe (Subtraktion) ist die Summe (oder Subtraktion) der Derivate.

Beispiel

Wenn H (x) = x²+X-1 dann

H '(x) = (x²)+(x) '-(1)' = 2x+1-0 = 2x+1.

Produkt, das von einem Produkt abgeleitet ist

Wenn f und g differenzierbare Funktionen in x sind, ist das FG -Produkt auch in x differenzierbar und es wird erfüllt, dass dies erfüllt ist

(fg) '(x) = f' (x) g (x)+f (x) g '(x).

Infolgedessen hat es, wenn C eine Konstante ist und F eine differenzierbare Funktion in x ist, dann ist CF auch in x y (vgl.) '(X) = cf' (x) differenzierbar.

Beispiel

Wenn f (x) = 3x (x²+1), dann

f '(x) = (3x)' (x²+1)+(3x) (x²+1) '= 3 (x)' (x²+1)+3x [(x²) '+(1)]

= 3 (1) (x²+1)+3x [(2x^2-1) +0] = 3 (x²+1)+3x (2x) = 3x²+3+6x²

= 9x²+3.

Abgeleitet von einem Quotienten

Wenn f und g in x und g (x) ≠ 0 differenzierbar sind, ist f/g auch in x differenzierbar, und es wird erfüllt, dass dies erfüllt ist

Beispiel: Wenn H (x) = x³/(X²-5x), dann

H '(x) = [(x³) '(X⁵-5x)-(x³) (X⁵-5x) ']/ (x⁵-5x)²= [(3x²) (X⁵-5x)- (x³) (5x⁴-5)]/ (x⁵-5x)².

Kettenregel

Diese Regel ermöglicht es, die Komposition von Funktionen abzuleiten. Es wird Folgendes festgelegt: Wenn y = f (u) in u differenzierbar ist und u = g (x) in x differenzierbar ist, ist die zusammengesetzte Funktion f (g (x)) in x differenzierbar und es wird erfüllt, dass dies erfüllt ist [F (f (f (f (f (f (f (f (f '= f' (g (x)) g '(x).

Das heißt, die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion ist das Produkt der Ableitung der externen Funktion (externe Ableitung) durch die interne Funktion (interne Ableitung).

Beispiel

Wenn f (x) = (x⁴-2x)³, So

f '(x) = 3 (x⁴-2x)²(X⁴-2x) '= 3 (x⁴-2x)²(4x³-2).

Es gibt auch Ergebnisse, um die Umkehrungsableitung einer Funktion sowie die Verallgemeinerung auf Derivate höherer Ordnung zu berechnen. Anwendungen sind umfangreich. Unter ihnen werden ihre Gewinne an Optimierung und Mindestfunktionen hervorgehoben.

Verweise

1. Alarcon, s., González, m., & Quintana, h. (2008). Differentieller Kalkül. ES M.
2. Cabrera, v. M. (1997). 4000 Berechnung. Editorial Progreso.
3. Castaño, h. F. (2005). Mathematik vor der Berechnung. Universität Medellin.
4. Eduardo, n. ZU. (2003). Einführung in die Berechnung. Dachausgaben.
5. Quellen, a. (2016). GRUNDLEGENDE MATHEMATIK. Eine Einführung in die Berechnung. Lulu.com.
6. Purcell, e. J., Rigdon, s. UND., & Varberg, D. UND. (2007). Berechnung. Pearson Ausbildung.
7. Saenz, j. (2005). Differentieller Kalkül (Zweite Ed.). Barquisimeto: Hypotenusa.
8. Thomas, g. B., & Weir, m. D. (2006). Berechnung: Mehrere Variablen. Pearson Ausbildung.