Implizite Derivate, wie sie gelöst und gelöst werden

Der implizite Derivate Dies sind Tools, die in einer Differenzierungstechnik verwendet werden, die auf Funktionen angewendet wird. Sie gelten, wenn es bei regelmäßigen Methoden nicht möglich ist, die Ablehnung der abhängigen Variablen durchzuführen, die abgeleitet werden soll. Diese Freigabe erfolgt basierend auf der unabhängigen Variablen.

Zum Beispiel im Ausdruck 3xy³ - 2y + xy² = xy, Sie können den Ausdruck, der "y" je nach "x" definiert, nicht erhalten. So dass, wenn der differentielle Expression dy/dx erhalten werden kann.

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Wie werden implizite Derivate gelöst??

Um eine Implikation zu lösen, basiert sie auf einem impliziten Ausdruck. Zum Beispiel: 3xy³ - 2y + xy² - Xy = 0. Dies wurde bereits klar gelöscht, dies ist jedoch keine notwendige Bedingung, um die Ableitung von y in Bezug auf x zu erhalten. Anschließend wird jedes der Elemente abgeleitet, um die Kettenregel für gemischte Funktionen zu respektieren:

3xy³ Es besteht aus 2 Variablen, daher d (3xy³) Es wird als Ableitung eines Produkts von Funktionen behandelt.

D (3xy³)/dx = 3y³ + 3y².(3x) und '= 3y³ + 9xy² Und'

Wo das Element und 'als "bekannt als" bekannt ist "und Cousin”Und dy/dx repräsentiert

-2y leitet sich nach Gesetz k ab.U = k.ODER'

D (-2y) = -2 und '

Xy² Angenommen, ein anderes Differential, das aus einem Produkt von Funktionen besteht

D (xy²) = y² + 2xy und '

-XY ist eine homologe Art und Weise

d (-xy) = -y -x und ''

Sie werden in Gleichheit ersetzt, da sie wissen, dass Null Derivat Null ist.

3y³ + 9xy² und ' - 2 und' + und² + 2xy und ' - y - x und' = 0

Die Elemente, die den Begriff haben und auf einer Seite der Gleichheit zusammengefasst sind

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3y³ + Und² - y = -9xy² und ' + 2 und' + x und ''

Der gemeinsame Faktor und das rechte Mitglied der Gleichheit wird extrahiert

3y³ + Und² - y = y '(-9xy² + x + 2)

Schließlich der Begriff, der sich multipliziert und '. Somit den Ausdruck erhalten, der dem impliziten Derivat von y in Bezug auf x entspricht.

und '= dy/dx = (3y³ + Und² - y)/(-9xy² + x + 2)

Kettenregel

In der impliziten Ableitung wird die Kettenregel immer respektiert. Alle Differentialausdrücke werden je nach unabhängiger Variable x angegeben. Damit jede von x unterschiedliche Variable θ den Begriff dθ/dx nach Ableitung enthalten muss.

Dieser Begriff erscheint nur im ersten Grad oder mit Exponenten gleich 1. Diese Qualität macht es unter traditionellen Faktorisierungsmethoden völlig klar. So dass es möglich wird, den Ausdruck zu erhalten, der das differentielle dθ/dx definiert.

In der Kettenregel wird die fortschreitende Natur des Differenzierung oder des Ableitungsprozesses gezeigt. Wo für jede zusammengesetzte Funktion f [g (x)] die unterschiedliche Expression von F sein muss

Betriebsauftrag

In jeder angewandten Formel- oder Derivationsgesetz muss die Reihenfolge der Variablen berücksichtigt werden. Die mit der unabhängigen Variablen verbundenen Kriterien werden respektiert, ohne ihre Korrelation mit der abhängigen Variablen zu ändern.

Das Verhältnis der abhängigen Variablen zum abgeleiteten Zeitpunkt wird direkt genommen.; Mit der Ausnahme, dass dies als zweite Funktion betrachtet wird, weshalb die Kettenregelkriterien für gemischte Funktionen angewendet werden.

Dies kann in Ausdrücken mit mehr als 2 Variablen entwickelt werden. Nach den gleichen Grundsätzen werden alle Differentiale, die sich auf abhängige Variablen beziehen, bezeichnet.

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Grafisch werden die gleichen Kriterien behandelt, die das Derivat definieren. Während das Derivat die Steigung der Linie Tangente zur Kurve in der Ebene ist.

Implizit einer Funktion

Es wird gesagt, dass eine Funktion implizit definiert ist, wenn der Ausdruck y = f (x) als mehrfache variable Funktion f (x, y) = 0 dargestellt werden kann, während f in der Ebene r definiert ist².

3xy³ - 2y + xy² = x und kann in der 3xy Form geschrieben werden³ - 2y + xy² - Xy = 0

In Anbetracht der Unmöglichkeit, die Funktion y = f (x) zu erklären,.

Geschichte

Der Differentialkalkül wurde von verschiedenen mathematischen Forschern im 17. Jahrhundert ernannt. Das erste Mal, dass es erwähnt wurde. Beide behandelten den Differentialkalkül aus verschiedenen Gesichtspunkten, konvergierte jedoch in ihren Ergebnissen.

Während sich Newton auf die Differenzierung als Geschwindigkeits- oder Variationsrate konzentrierte, war der Leibniz -Ansatz geometrischer. Es kann gesagt werden, dass Newton die Vermutungen von Apollonius von Perge und Leibniz die geometrischen Ideen von Fermat angegriffen hat.

Die implizite Ableitung erscheint sofort, wenn die differentiellen und umfassenden Gleichungen berücksichtigt werden. Sie erweiterten das geometrische Konzept von Leibniz auf r³ und sogar mehrdimensionale Räume.

Anwendungen

Implizite Derivate werden in verschiedenen Situationen verwendet. Sie sind bei Wechselkursproblemen zwischen verwandten Variablen häufig.

Sie haben auch interessante geometrische Anwendungen, z.

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Sie sind in den Bereichen Wirtschaft und Ingenieurwesen sowie in verschiedenen Untersuchungen natürlicher Phänomene und experimentellen Gebäude häufig nützlich.

Gelöste Übungen

Übung 1

Definieren Sie die implizite Expression, die DY/DX definiert

Jedes Element unterscheidet sich vom Ausdruck

Festlegung der Kettenregel in jedem kompetenten Fall

Gruppierung auf einer Seite der Gleichheit die Elemente mit DY/DX

Ist faktorisch mit dem gemeinsamen Faktor

Wird durch Erhalten des gesuchten Ausdrucks gelöscht

Übung 2

Definieren Sie die implizite Expression, die DY/DX definiert

Ausdrücken der Derivate zur Durchführung

Implizit nach der Kettenregel abgeben

Faktoring gemeinsame Elemente

Gruppierung des Begriffs DY/DX auf einer Seite der Gleichheit

Gemeinsamer Faktor für Differentialelemente

Wir klären und erhalten den gesuchten Ausdruck

Verweise

1. Berechnung einer einzelnen Variablen. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10. November. 2008
2. Der implizite Funktionstheorem: Geschichte, Theorie und Anwendungen. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9. November. 2012
3. Multivariable Analyse. Sable Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13. Dezember. 2010
4. Systemdynamik: Modellierung, Simulation und Steuerung mechatronischer Systeme. Dean c. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7. März. 2012
5. Kalkül: Mathematik und Modellierung. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R.Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1. Januar. 1999