Teilleitungseigenschaften, Berechnung, Übungen

Der Teilableitungen einer Funktion mit mehreren unabhängigen Variablen sind diejenigen, die durch die Einnahme des gewöhnlichen Ableitung in einer der Variablen erreicht werden, während die anderen als Konstanten aufrechterhalten oder genommen werden.

Die partielle Ableitung in einer der Variablen bestimmt, wie sich die Funktion an jedem Punkt je nach Änderung der betreffenden Variablen variiert. 

Abbildung 1. Die Steigung der Tangentenlinie zur Kurve, die durch den Schnittpunkt der Ebene y = b mit der Oberfläche F (x, y) an Punkt (a, b) gebildet wird. Quelle: UPM.Ist

Aufgrund seiner Definition wird die Teilableitung berechnet, die die mathematische Grenze des Quotienten zwischen der Variation der Funktion und der Variation der Variablen in Bezug auf das, was abgeleitet wird.

Nehmen Sie den Fall einer Funktion an F Es hängt von den Variablen ab X Und Und, Das heißt für jedes Paar (X, y) A wird zugewiesen z: 

f: (x, y) → z .

Die partielle Ableitung der Funktion z = f (x, y), unter Berücksichtigung von X ist definiert als:

Jetzt gibt es verschiedene Möglichkeiten, die Teilableitung einer Funktion zu bezeichnen, beispielsweise:

Der Unterschied mit dem gewöhnlichen Derivat in Bezug auf die Notation besteht darin, dass die D der Ableitung wird in das Symbol geändert ∂, bekannt als "Jacobi D".

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Eigenschaften von Teilableitungen

Die partielle Ableitung einer Funktion mehrerer Variablen in Bezug auf einen von ihnen ist das gewöhnliche Abgang in dieser Variablen und betrachtet den Rest als fest oder konstant. Um das Teilendeivat zu finden, können die Ableitungsregeln gewöhnlicher Derivate verwendet werden.

Unter den Haupteigenschaften:

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Kontinuität

Wenn eine Funktion f (x, y) hat teilweise Derivate in X Und Und auf den Punkt (Xo, ich) Dann kann gesagt werden, dass die Funktion zu diesem Zeitpunkt kontinuierlich ist.

Kettenregel

Eine Funktion f (x, y) Mit kontinuierlichen partiellen Derivaten in X Und Und, was wiederum von einem Parameter abhängt T durch x = x (t) Und y = y (t), Es hat eine gewöhnliche Ableitung in Bezug auf die Variable T, die durch die Kettenregel berechnet wird:

D_T Z = ∂_Xz d_Tx + ∂_Undz d_TUnd

Immobilie schließen oder versperren

Das partielle Derivat in Bezug auf eine der Variablen einer Funktion F von zwei oder mehr Variablen (X, y, ...), Es ist eine andere Funktion G In denselben Variablen zum Beispiel: 

G (x, y, ...) = ∂_Und f (x, y, ...)

Das heißt, eine Teilableitung ist eine Operation, die von r stammt^N a r^N. In diesem Sinne wird gesagt, dass es ein ist geschlossener Betrieb.

Aufeinanderfolgende partielle Derivate

Die aufeinanderfolgenden partiellen Ableitungen einer Funktion mehrerer Variablen können definiert werden, was zu neuen Funktionen in denselben unabhängigen Variablen führt.

Sei die Funktion f (x, y). Die folgenden aufeinanderfolgenden Derivate können definiert werden:

F_Xx = ∂_XF ;  F_Yy = ∂_YyF ; F_Xy = ∂_XyF Und F_Yx = ∂_YxF

Die letzten beiden sind als bekannt als als Gemischte Derivate Weil sie zwei verschiedene unabhängige Variablen umfassen.

Schwarz Theorem

Eine Funktion sein f (x, y), definiert so R².

Also für jedes Paar Paare (X, y) Dass sie zu dieser Untergruppe gehören, sind die gemischten Derivate identisch:

∂_XyF = ∂_YxF

Die vorherige Aussage ist bekannt als Schwarz Theorem.

Wie werden partielle Derivate berechnet??

Partielle Derivate werden ähnlich wie gewöhnliche Funktionsderivate in einer einzigen unabhängigen Variablen berechnet. Wenn die teilweise Ableitung einer Funktion mehrerer Variablen in Bezug auf einen von ihnen genommen wird, werden die anderen Variablen als Konstanten angenommen.

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Im Folgenden finden Sie einige Beispiele:

Beispiel 1

Sei die Funktion:

f (x, y) = -3x² + 2 (und - 3)²

Es wird aufgefordert, das erste Teilendeivat in Bezug auf die Berechnung zu berechnen X und das erste teilweise Derivat in Bezug auf Und.

Verfahren

Um die teilweise zu berechnen F unter Berücksichtigung von X, Wird genommen Und als konstant:

∂_XF = ∂_X(-3x² + 2 (und - 3)² ) = ∂_X(-3x² )+ ∂_X(2 (und - 3)² ) = -3 ∂_X(X²) + 0 = -6x.

Und wiederum, um das Derivat in Bezug auf die Ableitung zu berechnen Und Wird genommen X als konstant:

∂_UndF = ∂_Und(-3x² + 2 (und - 3)² ) = ∂_Und(-3x² )+ ∂_Und(2 (und - 3)² ) = 0 + 2 · 2 (y - 3) = 4y - 12.

Beispiel 2

Bestimmen Sie Teilendeivate zweiter Ordnung:  ∂_XxF, ∂_YyF, ∂_YxF Und ∂_XyF Für die gleiche Funktion F von Beispiel 1.

Verfahren

In diesem Fall wird als erstes Teilendeivat bereits in berechnet X Und Und (Siehe Beispiel 1):

∂_XxF = ∂_X(∂_Xf) = ∂_X(-6x) = -6

∂_YyF = ∂_Und(∂_Undf) = ∂_Und(4y - 12) = 4

∂_YxF = ∂_Und(∂_Xf) = ∂_Und(-6x) = 0

∂_XyF = ∂_X(∂_Undf) = ∂_X(4y - 12) = 0

Es wird beobachtet, dass ∂_YxF = ∂_XyF, So erfüllen Sie Schwarz 'Satz seit der Funktion F und seine ersten partiellen Derivate sind alle kontinuierlichen Funktionen in R².

Figur 2. Die Funktion z = f (x, y) = -x2 - y2 + 6 ist die in der Abbildung gezeigte Oberfläche. Das partielle Derivat in Bezug auf x ist die Steigung der Tangentenlinie der Kurve, die sich aus dem Schnittpunkt der Oberfläche mit der Ebene y = ctte ergibt (der spezielle Fall ist y = 2 gezeigt). In ähnlicher Weise ist der Teil von F in Bezug auf und ist die Steigung der Tangente zur Kreuzung mit x = 1 am Punkt (1, 2, 1).

Gelöste Übungen

Übung 1

Sei die Funktion:

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f (x, y) = -x² - Und² + 6

Funktionen finden G (x, y) = ∂_XF  Und H (x, y) = ∂_UndF.

Lösung

Das teilweise Derivat von F unter Berücksichtigung von X, für die die Variable Und Es wird konstant:

G (x, y) = - 2x

In ähnlicher Weise die Teilableitung von G unter Berücksichtigung von Und, tun X Konstant, resultiert für die Funktion H:

H (x, y) = -2y

Übung 2 

Für den Punkt bewerten (1, 2) die Funktionen f (x, y) Und G (x, y) von Übung 1. Interpretieren Sie die Ergebnisse.

Lösung

Werte werden ersetzt x = 1 Und y = 2 erhalten:

F (1,2) = -(1)² -(2)² + 6 = -5 + 6 = 1

Dies ist der Wert, der die Funktion f übernimmt, wenn er an diesem Punkt bewertet wird.

Die Funktion f (x, y) Es ist eine zweidimensionale Oberfläche und eine Koordinate z = f (x, y) Es ist die Höhe der Funktion für jedes Paar (X, y). Wenn das Paar genommen wird (1.2), Die Oberflächenhöhe f (x, y) Ist Z = 1.

Die Funktion G (x, y) = - 2x repräsentiert eine Ebene im dreidimensionalen Raum, dessen Gleichung ist Z = -2x Ach ja -2x + 0 und -z = 0.

Das Flugzeug ist senkrecht zur Ebene Xz Und durch den Punkt gehen (0, 0, 0). Bei der Bewertung in x = 1 Und y = 2 So Z = -2. Beachten Sie, dass der Wert z = g (x, y) Es ist unabhängig vom Wert der Variablen Und.

Andererseits, wenn sich die Oberfläche überschneidet f (x, y) Mit dem Flugzeug y = c, mit C Konstant, Sie haben eine Kurve in der Ebene ZX: z = -x² - C² + 6.

In diesem Fall die Ableitung von z unter Berücksichtigung von X fällt mit dem teilweisen Derivat von f (x, y) unter Berücksichtigung von X: D_X Z = ∂_XF .

Bei der Bewertung im Paar (x = 1, y = 2) Das teilweise Derivat zu diesem Zeitpunkt ∂_XF (1,2) Es wird als die Steigung der Linie Tangente zur Kurve interpretiert z = -x² + 2 auf den Punkt (x = 1, y = 2) Und der Wert dieser Steigung ist -2.

Verweise

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