Aufeinanderfolgende Derivate

Was sind aufeinanderfolgende Derivate?

Der aufeinanderfolgende Derivate Sie sind diejenigen, die von einer Funktion nach dem zweiten Ableitungen abgeleitet sind. Der Prozess zur Berechnung von aufeinanderfolgenden Derivaten lautet wie folgt: Es gibt eine Funktion f, die wir abgeleiten und die abgeleitete Funktion f erhalten können. Zu dieser Ableitung von F können wir es wieder ableiten und (f ') erhalten' '.

Diese neue Funktion wird als zweite Ableitung bezeichnet. Alle aus dem zweiten berechneten Derivate sind aufeinanderfolgend; Diese, auch als von höherer Ordnung bezeichnet, haben große Anwendungen, z.

Definition

Mit der Leibniz -Notation haben wir, dass die Ableitung einer „Y“ -Funktion in Bezug auf „X“ dy/dx ist. Um die zweite Ableitung von "Y" unter Verwendung der Notation von Leibniz auszudrücken, schreiben wir wie folgt:

Im Allgemeinen können wir aufeinanderfolgende Derivate wie folgt mit der Notation von Leibniz ausdrücken, wobei n die Reihenfolge der Ableitung darstellt.

Andere verwendete Notationen sind wie folgt:

Einige Beispiele, bei denen wir die verschiedenen Notationen sehen können, sind:

Beispiel 1

Erhalten Sie alle Derivate der F -Funktion, die definiert durch:

Mit den üblichen Überweisungstechniken haben wir, dass das F ist:

Wenn wir den Vorgang wiederholen, können wir das zweite Derivat, die dritte Ableitung und so weiter erhalten.

Beachten Sie, dass das vierte Derivat Null ist und die Null -Ableitung Null ist, also müssen wir:

Beispiel 2

Berechnen Sie den vierten, der aus der folgenden Funktion abgeleitet wurde:

Ableiten der angegebenen Funktion, die wir als Ergebnis haben:

Geschwindigkeit und Beschleunigung

Eine der Motivationen, die zur Entdeckung des Derivats führten, war die Suche nach der Definition der Sofortgeschwindigkeit. Die formale Definition lautet wie folgt:

Kann Ihnen dienen: Primo -Zahlen: Eigenschaften, Beispiele, Übungen

Sei y = f (t) eine Funktion, deren Diagramm die Flugbahn eines Teilchens sofort beschreibt T, Dann wird seine Geschwindigkeit in einem Augenblick t gegeben durch:

Sobald die Geschwindigkeit eines Teilchens erhalten wird, können wir die sofortige Beschleunigung berechnen, die wie folgt definiert ist:

Die momentane Beschleunigung eines Teilchens, dessen Flugbahn durch y = f (t) angegeben ist:

Beispiel 1

Ein Teilchen bewegt sich nach der Positionsfunktion auf eine Linie:

Wo "y" in Metern und "t" in Sekunden gemessen wird.

• In welchem ​​Moment ist Ihre Geschwindigkeit 0?
• In welchem ​​Moment ist seine Beschleunigung 0?

Durch die Ableitung der Positionsfunktion „Y“ haben wir, dass ihre Geschwindigkeit und Beschleunigung jeweils angegeben werden:

Um die erste Frage zu beantworten, reicht es aus, zu bestimmen, wann die V -Funktion v Null ist. das ist:

Wir fahren mit der nächsten Frage analog:

Beispiel 2

Ein Teilchen bewegt sich nach der folgenden Bewegungsgleichung auf eine Linie:

Bestimmen Sie "t, y" und "v", wenn a = 0.

Zu wissen, dass Geschwindigkeit und Beschleunigung von gegeben sind

Wir gehen ab, um abzuleiten und zu erhalten:

Wenn wir a = 0 machen, haben wir:

Wo wir ableiten können, dass der Wert von T so ist, dass a gleich Null ist, ist T = 1.

Wenn wir dann in t = 1 die Position und Funktion bewerten, müssen wir:

Anwendungen

Mplícita -Ableitung

Aufeinanderfolgende Derivate können auch durch implizite Ableitung erhalten werden.

Beispiel

Finden Sie bei der folgenden Ellipse "Y":

Wir haben implizit in Bezug auf X abgeleitet: Wir haben:

Dann gibt es uns, dass wir in Bezug auf X implizit eingeleitet werden:

Schließlich haben wir:

Relative Extreme

Eine weitere Verwendung, die wir an den Derivaten der zweiten Order geben können.

Kann Ihnen dienen: Wie viele Symmetrieachsen hat einen Kreis??

Die Kriterien des ersten Ableitung für lokale extrem ist ein kritischer Punkt), einer dieser drei Fälle kann auftreten:

• Wenn f '(x)> 0 für alle x zu (a, c) und f' (x) gehören<0 para x perteneciente a (c,b), entonces f(c) es un máximo local.
• Wenn f '(x) 0 für x zu (c, b), ist f (c) ein lokales Minimum.
• Wenn f '(x) das gleiche Zeichen in (a, c) und in (c, b) hat, bedeutet dies, dass f (c) kein lokales Ende ist.

Unter Verwendung der Kriterien des zweiten Ableitungsmittels können wir wissen, ob eine kritische Anzahl einer Funktion maximal oder ein lokales Minimum ist, ohne dass das Zeichen der Funktion in den oben genannten Intervallen tun muss.

Das Kriterium der zweiten Drift sagt uns, dass, wenn f '(c) = 0 und f "(x) in (a, b) kontinuierlich sind, es passiert, wenn f" (c)> 0 dann f (c) a ist Lokales Minimum und falls f "(c) < 0 entonces f(c) es un máximo local.

Wenn f "(c) = 0, können wir nichts abschließen.

Beispiel

Angesichts der Funktion f (x) = x⁴ + (4/3) x³ - 4x², Finden Sie den maximalen und minimalen Verwandten von F, das die Kriterien des zweiten Ableitung anwendet.

Zuerst berechnen wir F '(x) und f "(x) und haben:

f '(x) = 4x³ + 4x² - 8x

f "(x) = 12x² + 8x - 8

Nun, f '(x) = 0 Ja, und nur wenn 4x (x + 2) (x - 1) = 0, und dies tritt auf, wenn x = 0, x = 1 oder x = - 2.

Um festzustellen, ob die erhaltenen kritischen Zahlen relative Extreme sind.

Kann dir dienen: Heptagon

f "(0) = - 8, also ist f (0) ein lokales Maximum.

f "(1) = 12, also ist f (1) ein lokales Minimum.

f "(- 2) = 24, also ist f (- 2) ein lokales Minimum.

Taylor -Serie

Seien Sie eine Funktion wie folgt:

Diese Funktion hat einen Konvergenzradius r> 0 und stammt aus allen Ordnungen in (-r, r). Aufeinanderfolgende Derivate von F geben uns:

Wenn Sie x = 0 nehmen, können wir die Werte von C erhalten_N Abhängig von seinen Derivaten wie folgt:

Wenn wir n = 0 als Funktion f (dh f^0 = f) nehmen, können wir die Funktion wie folgt umschreiben:

Betrachten wir nun die Funktion als eine Reihe von Kräften bei x = a:

Wenn wir eine Analyse analog zum vorherigen durchführen, müssten wir die Funktion f als:

Diese Serien sind in einer Serie als Taylor F bekannt. Wenn a = 0 den speziellen Fall namens MacLaurin -Serie haben. Diese Art von Serie ist von großer mathematischer Bedeutung, insbesondere in der numerischen Analyse, da wir dank dieser Funktionen in Computern wie E definieren können^X , Sünde (x) und cos (x).

Beispiel

Holen Sie sich die Maclaurin -Serie für e^X.

Beachten Sie, dass wenn f (x) = e^X, dann f^(N)(x) = e^X und f^(N)(0) = 1, also ist Ihre Maclaurin -Serie: