Ungleichheit des Demonstrationsdreiecks, Beispiele, Übungen gelöst

Es wird genannt Ungleichheit des Dreiecks auf die Eigenschaft, die zwei reelle Zahlen entspricht, die aus dem Absolutwert ihrer Summe bestehen, ist immer geringer als oder gleich der Summe seiner absoluten Werte. Diese Eigenschaft ist auch als Minkowski -Ungleichheit oder dreieckige Ungleichheit bekannt.

Diese Eigenschaft der Zahlen wird als dreieckige Ungleichheit bezeichnet, da es in den Dreiecken passiert.

Abbildung 1. Der absolute Wert der Summe von zwei Zahlen ist immer geringer als oder gleich der Summe seiner absoluten Werte. (Vorbereitet von r. Pérez)

Es gibt mehrere Demonstrationen der dreieckigen Ungleichheit in realer Zahlen, aber in diesem Fall werden wir eine basierende Eigenschaften des Absolutwerts und des quadratischen Binomials auswählen.

Satz: Für alle Zahlenpaare Zu Und B Zu den realen Zahlen gehört: muss es:

| A + B | ≤ | a | + | B |

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Demonstration

Wir beginnen damit, das erste Mitglied der Ungleichheit zu berücksichtigen, das abgesenkt wird:

| A + b |^2 = (a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 (ec. 1)

Im vorherigen Schritt wurde die Eigenschaft verwendet, dass eine beliebige Zahl hoch zum Quadrat dem absoluten Wert der Anzahl der hochen Zahl bis zum Quadrat entspricht, dh: | x |^2 = x^2. Die Entwicklung des quadratischen Binomials wurde ebenfalls verwendet.

Alle Nummer X Es ist weniger oder gleich sein absoluter Wert. Wenn die Zahl positiv ist, ist sie Gleichheit wert, aber wenn die Zahl negativ ist, ist sie immer geringer als eine positive Zahl. In diesem Fall sein eigener absoluter Wert, das heißt, dass es angegeben werden kann x ≤ | x |.

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Das Produkt (a b) Es ist eine Zahl, deshalb wird es angewendet, dass ((a b) ≤ | a b |. Wenn diese Eigenschaft auf (EC angewendet wird. 1) Wir haben:

| A + b |^2 = a^2 + 2 (a b) + b^2 ≤ a^2 + 2 | a b | + B^2 (EC. 2)

Berücksichtigen | A b | = | A || B | LA (EC. 2) Es kann wie folgt geschrieben werden:

 | A + b |^2 ≤ a^2 + 2 | A || B | + B^2 (EC. 3)

Aber wie wir zuvor gesagt haben, ist das Quadrat einer Zahl gleich dem absoluten Wert der Anzahl der Höhe zum Quadrat, dann kann Gleichung 3 wie folgt umgeschrieben werden:

 | A + b |^2 ≤ | a |^2 + 2 | a | | b | + | B |^2 (EC. 4)

Im zweiten Mitglied der Ungleichheit wird ein bemerkenswertes Produkt erkannt, das bei der Anwendung zu:

 | A + b |^2 ≤ (| a | + | b |)^2 (ec. 5)

Im vorherigen Ausdruck ist zu beachten, dass die Werte für beide Mitglieder der Ungleichheit auch positiv sind, dass es auch erfüllt werden muss:

 | A + B | ≤ (| a |+ | b |) (EC. 6)

Der vorherige Ausdruck ist genau das, was Sie demonstrieren wollten.

Beispiele

Als nächstes werden wir die dreieckige Ungleichheit mit mehreren Beispielen überprüfen.

Beispiel 1

Der Wert wird a = 2 und der Wert b = 5, dh beide positiven Zahlen, und wir überprüfen, ob die Ungleichheit erfüllt ist oder nicht.

 | 2 + 5 | ≤ | 2 |+ | 5 |

 | 7 | ≤ | 2 |+ | 5 |

7 ≤ 2+ 5

Gleichheit wird verifiziert, daher wurde der Theorem der Dreieck -Ungleichheit erfüllt.

Beispiel 2

Die folgenden Werte werden A = 2 und B = -5 ausgewählt, dh eine positive Anzahl und die andere negative, überprüften wir, ob die Ungleichheit erfüllt ist oder nicht.

Kann Ihnen dienen: Trinomial

 | 2 - 5 | ≤ | 2 |+ | -5 |

 | -3 | ≤ | 2 |+ | -5 |

 3 ≤ 2 + 5

Die Ungleichheit wird erfüllt, daher wurde der Theorem der dreieckigen Ungleichheit verifiziert.

Beispiel 3

Der Wert wird a = -2 genommen und der Wert b = 5, dh eine negative Zahl und die andere positive positive, wir überprüfen, ob die Ungleichheit erfüllt ist oder nicht.

 | -2 + 5 | ≤ | -2 |+ | 5 |

 | 3 | ≤ | -2 |+ | 5 |

 3 ≤ 2 + 5

Die Ungleichheit wird verifiziert, daher wurde der Satz erfüllt.

Beispiel 4

Die folgenden Werte a = -2 und b = -5 werden ausgewählt, dh bei beiden negativen Zahlen und wir überprüfen, ob Ungleichheit erfüllt ist oder nicht.

 | -2 - 5 | ≤ | -2 |+ | -5 |

 | -7 | ≤ | -2 |+ | -5 |

 7 ≤ 2+ 5

Gleichheit wird verifiziert, daher wurde der Theorem der Minkowsk -Ungleichheit erfüllt.

Beispiel 5

Der Wert wird a = 0 und der Wert b = 5, dh eine Nullzahl und die andere positive, dann prüfen wir, ob die Ungleichheit erfüllt ist oder nicht.

 | 0 + 5 | ≤ | 0 |+ | 5 |

 | 5 | ≤ | 0 |+ | 5 |

 5 ≤ 0+ 5

Gleichheit wird erfüllt, daher wurde der Theorem der Dreieck -Ungleichheit verifiziert.

Beispiel 6

Der Wert wird a = 0 und der Wert b = -7 genommen, dh eine Nullzahl und die andere positive, dann prüfen wir, ob die Ungleichheit erfüllt ist oder nicht.

 | 0 - 7 | ≤ | 0 |+ | -7 |

 | -7 | ≤ | 0 |+ | -7 |

 7 ≤ 0+ 7

Gleichheit wird verifiziert, daher wurde der Theorem der dreieckigen Ungleichheit erfüllt.

Gelöste Übungen

In den folgenden Übungen repräsentiert geometrisch die Ungleichheit des Dreiecks oder der Ungleichheit von Minkowski für die Zahlen A und B.

Kann Ihnen dienen: Papomudas

Die Zahl A wird als Segment auf der x -Achse dargestellt, sein Ursprung oder ihres Abkommens mit der Null der x -Achse und dem anderen Ende des Segments (an Punkt P) befindet sich in positiver Richtung (rechts) des Segments (an Punkt P) (rechts) des Segments des Segments x Achse wenn a> 0, aber zu < 0 estará hacia la dirección negativa del eje X, tantas unidades como indique su valor absoluto.

In ähnlicher Weise wird Nummer B als Segment dargestellt, dessen Ursprung auf Punkt P liegt. Das andere Ende, das heißt, der Punkt, der rechts von P sein wird, wenn b positiv ist (b> 0) und der Punkt Q wird | B | sein Einheiten links von P wenn b<0.

Übung 1

Grafisch die Ungleichheit des Dreiecks für a = 5 und b = 3 darstellen | A + B | ≤ | a | + | B |, Sein C = a + b. 

Lösung 1:

Übung 2

Machen Sie eine dreieckige Ungleichheitsgrafik für a = 5 und b = -3. 

| A + B | ≤ | a | + | B |, Sein C = a + b.

Lösung 2:

Übung 3

Grapieren Sie die Ungleichheit des Dreiecks für a = -5 und b = 3.

| A + B | ≤ | a | + | B |, Sein C = a + b. 

Lösung 3:

Übung 4

Grapieren Sie die dreieckige Ungleichheit für a = -5 und b = -3.

| A + B | ≤ | a | + | B |, Sein C = a + b.

Lösung 4:

Verweise

1. UND. Whitesitt. (1980).Boolesche Algebra und ihre Anwendungen . Kontinental Redaktionsgesellschaft C. ZU.
2. Mícheal oder Searcoid.(2003) Elemente der abstrakten Analyse ... Abteilung für Mathematik. University College Dublin, Beldfield, Dublind.
3. J. Van Wyk. (2006) Mathematik und Ingenieurwesen in Informatik. Institut für Computerwissenschaften und Technologie. Nationales Büro für Standards. Washington, d. C. 20234
4. Eric Lehman. Mathematik für Informatik.  Google Inc.
5. F Thomson Leighton (1980). Infinitesimalrechnung. Abteilung für Mathematik und das Labor für Informatik und KI, Massachussetts Institute of Technology.
6. Khan Akademie. Dreieck -Ungleichheitstheorem. Erholt von: Khanacademy.Org
7. Wikipedia. Dreieckige Ungleichheit. Geborgen von: ist. Wikipedia.com