Differenz von Formeln, Gleichungen, Beispielen, Übungen

Der Differenz der Würfel Es ist eine binomiale algebraische Expression der Form zu³ - B³, wobei Begriffe A und B reelle Zahlen oder algebraische Ausdrücke verschiedener Typen sein können. Ein Beispiel für Würfelunterschiede ist: 8 - x³, Da 8 als 2 geschrieben werden kann³.

Geometrisch können wir uns einen großen Würfel vorstellen, von Seite A, zu dem die kleine Blume von Seite B subtrahiert wird, wie in Abbildung 1 dargestellt:

Abbildung 1. Ein Unterschied der Würfel. Quelle: f. Zapata.

Das Volumen der resultierenden Abbildung ist genau ein Unterschied in den Würfeln:

V = a³ - B³

Um einen alternativen Ausdruck zu finden, wird beobachtet, dass diese Figur in drei Prismen unterteilt werden kann, wie unten gezeigt:

Figur 2. Die Differenz der Würfel (links der Gleichheit) ist gleich der Summe der Teilvolumina (rechts). Quelle: f. Zapata.

Ein Prisma hat ein Volumen, das durch das Produkt seiner drei Dimensionen angegeben ist: Breite x hohe x -Tiefe. Auf diese Weise ist das resultierende Volumen:

V = a³ - B³ = a².B + b³ + Zu.B²

Der Faktor B Es ist rechts gemeinsam. Darüber hinaus wird in der oben gezeigten Abbildung insbesondere:

b = (a/2) ⇒ a = b + b

Daher kann gesagt werden, dass: b = a - b. Daher:

Zu³ - B³ = B (a² + B² +Zu.b) = (a-b) (a² + Zu.B + b²)

Diese Möglichkeit, den Unterschied in den Würfel auszudrücken.

Beachten Sie, dass die zweite KlammerEs sieht viel auf das bemerkenswerte Produkt des Quadrats der Summe aus, aber der gekreuzte Begriff wird nicht mit 2 multipliziert. Der Leser kann die rechte Seite entwickeln, um zu überprüfen, ob er effektiv erhalten wird Zu³ - B³.

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Kann Ihnen dienen: quadratisches Binomial

Beispiele

Es gibt mehrere Würfelunterschiede:

1 - m⁶

Zu⁶B³ - 8z¹²Und⁶

(1/125).X⁶ - 27.Und⁹

Lassen Sie uns jeden von ihnen analizieren. Im ersten Beispiel kann der 1 als 1 = 1 geschrieben werden³ und der Begriff m⁶ Es bleibt: (m²)³. Beide Begriffe sind perfekte Würfel, daher ist ihr Unterschied:

1 -m⁶ = 1³ - (M²)³

Im zweiten Beispiel werden die Begriffe umgeschrieben:

Zu⁶B³ = (a²B)³

8z¹²Und⁶ = 2³ (z⁴)³ (Und²)³ = (2z⁴Und²)³

Der Unterschied dieser Würfel ist: (a²B)³ - (2z⁴Und²)³.

Schließlich ist der Bruch (1/125) (1/5³), X⁶ = (x²)³, 27 = 3³ und und⁹ = (und³)³. Wenn Sie all dies im ursprünglichen Ausdruck ersetzen, wird es erhalten:

(1/125).X⁶  - 27y⁹ = [(1/5) (x²)]³ - (3y³)³

Faktorisierung eines Würfelunterschieds

Tatsache vereinfacht der Unterschied in den Würfeln viele algebraische Operationen. Dazu reicht es aus, die zuvor abgezogene Formel zu verwenden:

Figur 3. Faktorisierung des Unterschieds in den Würfeln und des Ausdrucks eines bemerkenswerten Quotienten. Quelle: f. Zapata.

Das Verfahren zur Anwendung dieser Formel besteht nun aus drei Schritten:

- Erstens wird die Kubikwurzel jedes der Differenzbegriffe erhalten.

- Dann werden Binomial und Trinom auf der rechten Seite der Formel errichtet.

- Schließlich werden Binomial und Trinom ersetzt, um die endgültige Faktorisierung zu erhalten.

Wir werden die Verwendung dieser Schritte mit jedem der Beispiele für die oben vorgeschlagenen Differenzdifferenz veranschaulichen und somit sein faktorisiertes Äquivalent erhalten.

Beispiel 1

Faktiver Ausdruck 1 -m⁶   Folgt den beschriebenen Schritten. Wir beginnen damit, den Ausdruck als 1 -m umzuschreiben⁶ = 1³ - (M²)³ Um die jeweiligen Kubikwurzeln jedes Begriffs zu extrahieren:

Dann werden Binomial und Trinomial gebaut:

Es kann Ihnen dienen: Warteentheorie: Geschichte, Modell, wofür und Beispiele für Beispiele für

A = 1

B = m²

So:

A - b = 1 - m²

 (Zu² +Zu.B + b²) = 1² + 1.M² + (M²)² = 1 + m² + M⁴

 Schließlich wird es in der Formel A ersetzt³ - B³ = (a-b) (a² +Zu.B + b²):

1 -m⁶ = (1 - m²) (1 + m)² + M⁴)

Beispiel 2

Faktorisieren:

Zu⁶B³ -8z¹²Und⁶ = (a²B)³ - (2z⁴Und²)³

Da dies perfekte Würfel sind, sind Kubikwurzeln sofort: a²B und 2z⁴Und², Von dort aus folgt das:

- Binomial: a²B - 2z⁴Und²

- Trinomial: (a²B)² + Zu²B. 2z⁴Und² + (Zu²B +2z⁴Und²)²

 Und jetzt wird die gewünschte Faktorisierung erstellt:

Zu⁶B³ -8z¹²Und⁶ = (a²B - 2z⁴Und²). [(Zu²B)² + Zu²B. 2z⁴Und² + (Zu²B + 2z⁴Und²)²] =

= (a²B - 2z⁴Und²). [Zu⁴B² + 2²B.z⁴Und² + (Zu²B + 2z⁴Und²)²]

Grundsätzlich ist die Faktorisierung bereit, aber es ist häufig erforderlich, um jeden Begriff zu vereinfachen. Dann wird das bemerkenswerte Produkt aus einer Summe entwickelt - die am Ende erscheint und dann ähnliche Begriffe hinzufügt. Denken Sie daran, dass das Quadrat einer Summe lautet:

(x + y)² = x² + 2xy + und²

Auf diese Weise entwickelt sich das bemerkenswerte Recht nach rechts:

(Zu²B + 2z⁴Und²)² = a⁴B² + 4²B.z⁴Und² + 4z⁸Und⁴

 Ersetzen der Entwicklung bei der Faktorisierung des Differenz in Würfel:

Zu⁶B³ -8z¹²Und⁶ = (a²B - 2z⁴Und²). [Zu⁴B² + 2²B.z⁴Und² + Zu⁴B² + 4²B.z⁴Und² + 4z⁸Und⁴] =

Schließlich wird die Gruppierung ähnlicher Begriffe und die Berücksichtigung der numerischen Koeffizienten, die alle Paare sind, erhalten: Es wird erhalten:

(Zu²B - 2z⁴Und²). [2nd⁴B² + 6²B.z⁴Und² + 4z⁸Und⁴] = 2 (a²B - 2z⁴Und²). [Zu⁴B² + 3²B.z⁴Und² + 2z⁸Und⁴]

Beispiel 3

Faktorisieren (1/125).X⁶  - 27y⁹ Es ist viel einfacher als der vorherige Fall. Zunächst werden die Äquivalente von A und B identifiziert:

A = (1/5) x²

B = 3y³

Dann werden sie direkt auf der Formel ersetzt:

(1/125).X⁶  - 27y⁹ = [(1/5) x² - 3y³]. [(1/25) x⁴ + (3/5) x²Und³ + 9y⁶]

Übung gelöst

Der Unterschied in den Würfeln hat, wie wir gesagt haben, eine Vielzahl von Anwendungen in Algebra. Schauen wir uns einige an:

Kann Ihnen dienen: 5 Eigenschaften der kartesischen Ebene

Übung 1

Lösen Sie die folgenden Gleichungen:

a) x⁵ - 125 x² = 0

b) 64 - 729 x³ = 0

Lösung für

Erstens ist die Gleichung auf diese Weise Faktor:

X² (X³ - 125) = 0

Da 125 ein perfekter Würfel ist, wird Klammern als Unterschied in Würfel geschrieben:

X² . (X³ - 5³) = 0

Die erste Lösung ist x = 0, aber wir finden mehr, wenn wir x machen³ - 5³ = 0, dann:

X³ = 5³ → x = 5

Lösung b

Die linke Seite der Gleichung wird als 64 - 729 x umgeschrieben³ = 4³ - (9x)³. Deshalb:

4³ - (9x)³ = 0

Da der Exponent gleich ist:

9x = 4 → x = 9/4

Übung 2

Faktorisieren Sie den Ausdruck:

(x + y)³ - (X - y)³

Lösung

Dieser Ausdruck ist ein Unterschied in den Würfeln, wenn wir in der Faktorisierungsformel feststellen, dass:

A = x+ und

B = x-y

Dann wird zuerst das Binomial gebaut:

a - b = x+ y - (x -y) = 2y

Und jetzt die Trinomial:

Zu² + Zu.B + b² = (x+ y)² + (x + y) (x-y) + (x-y)²

Bemerkenswerte Produkte werden entwickelt:

(x+ y)² = x² + 2xy +und²

(x+y) (x-y) = x²- Und²

(x-y)² = x² - 2xy +und²

Dann müssen Sie ähnliche Begriffe ersetzen und reduzieren:

Zu² + Zu.B + b² = x² + 2xy +und²+ X²- Und²+ X² - 2xy +und² = 3x² + Und²

Faktorisierung führt zu:

(x + y)³ - (X - y)³ = 2y. (3x² + Und²)

Verweise

1. Baldor, a. 1974. Algebra. Venezolanische kulturelle Redaktion s.ZU.
2. CK-12 Foundation. Summe und Differenz der Würfel. Erholt von: CK12.Org.
3. Khan Akademie. CUBES -Differenzfaktorisierung. Geborgen von: ist.Khan Akademie.Org.
4. Mathematik macht Spaß fortgeschritten. Unterschied von zwei Würfeln. Erholt von: MathSisfun.com
5. Unam. Faktorisierung eines Würfelunterschieds. Abgerufen von: DCB.Fi-c.Unam.mx.