Dynamik eines Teilchensystems Beispiele, Übungen

Der Dynamik eines Teilchensystems Es besteht aus der Anwendung von Newtons Gesetz.

Um die Bewegung eines Teilchensystems zu erklären, ist es unpraktisch, jeden einzelnen einzeln zu analysieren und zu sehen, welche Kräfte darauf wirken. Stattdessen wird ein repräsentativer Punkt des Satzes definiert, genannt der Massenzentrum.

Die Beschreibung der Bewegung des Massenzentrums bietet ein sehr erfolgreiches Panorama der globalen Bewegung des Sets und ermöglicht es auch, Newtons Gesetze analog zu dem Zeitpunkt anzuwenden, wenn das Objekt als Teilchen ohne Abmessungen angesehen wird.

Dieses letzte Modell, genannt Partikelmodell, Es ist gut, Übersetzungen zu beschreiben und auch, wenn es nicht notwendig ist, die Dimensionen des Objekts zu berücksichtigen. Aber gewöhnliche Objekte haben eine Größe, und wenn sie auch Rotationsbewegung haben, müssen die Punkte, auf die die Kräfte angewendet werden, berücksichtigen.

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Beispiele

Die Erde und der Mond

Illustration von Erde und Mond

Eine Reihe von diskreten Partikeln m₁, M₂, M₃... Das bewegt sich schließlich in Bezug auf den Ursprung eines Koordinatensystems, da eine resultierende Kraft, die auf sie wirkt, ein gutes Beispiel für das Partikelsystem ist.

Die Erde kann als ein Teilchen und der Mond ein anderes betrachtet werden, dann bilden beide ein System von 2 Partikeln unter der Wirkung der Schwerkraft der Sonne.

Erweiterte Objekte

Eine Person, ein Tier oder ein Objekt der Umgebung kann auch als Partikelsystem angesehen werden, nur dass diese so klein sind, dass man nicht einzeln zählen kann. Dies ist ein kontinuierliches System, aber unter Berücksichtigung bestimmter Überlegungen ist seine Behandlung dieselbe wie bei einem diskreten System.

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Hier sind die Details.

Das Massenzentrum eines Teilchensystems

Um die Untersuchung eines Partikelsystems zu beginnen, müssen Sie das Massenzentrum (CM) finden.

Abbildung 1. Ein Partikelsystem im XYZ -Referenzsystem. Quelle: f. Zapata.

Für das diskrete System von Abbildung 1 mit N Partikel, jeder hat einen Positionsvektor, der aus dem Ursprung oder dem Koordinatensystem zum Punkt P (x, y, z) gerichtet ist, wobei sich das Partikel befindet. Diese Vektoren werden als bezeichnet als als R₁, R₂, R₃.. R_N.

CM -Koordinaten werden durch die folgenden Gleichungen berechnet:

Wo jede der Massen des Sets als m dargestellt wird₁, M₂, M₃... M_N. Beachten Sie, dass die Summe ∑ m_Yo Es entspricht der Gesamtmasse m des Satzes. Wenn das System kontinuierlich ist, werden die Zusammenfassungen durch Integrale ersetzt.

Jede der senkrechten Adressen wird durch die Einheitsvektoren dargestellt Yo, J Und k, Daher bezeichnet der CM -Positionsvektor bezeichnet R_Cm, Es kann ausgedrückt werden durch:

R_Cm = x_Cm Yo + Und_Cm J + z_Cm k

Figur 2. Standort des Massenzentrums eines Teilchensystems. Quelle: f. Zapata.

CM -Bewegung

Sobald der Ort des Massenzentrums bekannt ist, werden die bekannten Gleichungen der Bewegung angewendet. Die Geschwindigkeit von CM ist die erste abgeleitet von der Position in Bezug auf die Zeit:

In diesem Fall hat das System eine Gesamtmenge an Bewegung P Dies wird als Produkt der Gesamtmasse des Systems und der Geschwindigkeit des Massenzentrums berechnet:

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P = M ∙v_Cm

Alternativ kann die Gesamtmenge des Systems des Systems direkt berechnet werden:

P = m₁v₁ + M₂v₂ + M₃v₃ +.. . = ∑ m_Yo v_Yo

Während die Beschleunigung von CM die abgeleitete Geschwindigkeit ist:

Stärke auf CM

Die Kräfte, die auf ein Partikelsystem wirken, können:

• Interne Kräfte aufgrund von Wechselwirkungen zwischen denselben Partikeln.
• Externe Kräfte, verursacht durch Wirkstoffe außerhalb des Systems.

Da die inneren Kräfte von Paaren aus der gleichen Größe und Richtung vorgestellt werden, aber laut Newtons drittem Gesetz entgegengesetzte Sinne erfüllt sind:

∑ F_int = 0

Daher verändern interne Kräfte die Bewegung des Ganzen nicht, aber sie sind sehr wichtig, um die innere Energie zu bestimmen.

Wenn das System isoliert ist und es nach Newtons erstem Gesetz keine externen Kräfte gibt, ist das Massenzentrum in Ruhe oder bewegt sich mit gleichmäßiger geradliniger Bewegung. Ansonsten erlebt das Massenzentrum eine Beschleunigung, die von:

∑ F_ext = M ∙Zu_Cm

Wobei m die Gesamtmasse des Systems ist. Die vorherige Gleichung kann so geschrieben werden:

Und es bedeutet, dass die externe Kraft der vorübergehenden Variation der Bewegung entspricht, eine andere Möglichkeit, Newtons zweites Gesetz auszudrücken, und das gleiche, der vom berühmten englischen Physiker in seinem Buch verwendet wird Prinzip.

Übung gelöst

Die Massenmitte eines 2 -Partikelsystems befindet sich in einer bestimmten Zeit auf der x -Achse in Position x = 2.0 m und Bewegung mit Geschwindigkeit 5.0 m/s in derselben Richtung und positiv. Wenn sich eines der Partikel am Ursprung und dem anderen befindet, von Masse 0.1 kg, ist bei x = 8 in Ruhe.0 m, berechnen:

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A) Die Masse des Partikels, das sich am Ursprung befindet.

b) Menge der Systembewegung

c) Welche Geschwindigkeit ist das Teilchen, das sich am Ursprung befindet??

Lösung für

Aus der Gleichung für die Position des Massenzentrums:

R_Cm = x_Cm Yo + Und_Cm J + z_Cm K = 2.0 m Yo

Da der CM nur eine X -Koordinate hat, wird die erste zuvor angegebene Trio -Gleichung verwendet:

Koordinaten werden nun ersetzt, wenn das Partikel am Ursprung wie Nummer 1 und die andere wie Nummer 2 bezeichnet wird, sind numerische Daten:

X₁ = 0 m, x₂ = 8.0 m, m₂ = 0.1 kg, x_Cm = 2.0 m

Bleiben:

= 0.3 kg

Lösung b

Die Menge der Systembewegung wird berechnet durch:

P = M ∙v_Cm

Die Gesamtmasse M ist gleich:

M = 0.3 kg + 0.1 kg = 0.4 kg

Deshalb:

P = 0.4 kg ∙ 5.0 m/s Yo = 2 kg.MS Yo

Lösung c

Der Gleichung für P Von einem Zwei -Party -System wird es klar v₁, Da die anderen Daten bekannt sind, weil die Aussage besagt, dass Partikel 2 in Ruhe ist, ist es daher:

v₂ = 0 

UND P Es ist einfach wie:

P = m₁v₁

v₁ = P / M₁ = 2 kg.MS Yo / 0.3 kg = 6.67 m/s Yo

Verweise

1. Duke University. Partikelsysteme. Wiederhergestellt von: WebHome.Phy.Herzog.Edu.
2. Rex, a. 2011. Grundlagen der Physik. Pearson.
3. Sears, Zemansky. 2016. Universitätsphysik mit moderner Physik. 14. Ed. Band 1. Pearson.
4. Serway, r., Jewett, J. (2008). Physik für Wissenschaft und Ingenieurwesen. Band 1. 7. Ed. Cengage Lernen.
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