Euklidisches Entfernungskonzept, Formel, Berechnung, Beispiel

Der Euklidische Entfernung Es handelt sich um eine positive Zahl.

Der Abstand zwischen zwei Punkten A und B eines euklidischen Raums ist die Länge des Vektors Ab Zugehörigkeit zur einzigen Linie, die diese Punkte durchläuft.

Abbildung 1 . Eindimensionaler euklidischer Raum, der durch die Linie gebildet wird (OX). Mehrere Punkte in diesem Raum, ihre Koordinaten und Entfernungen werden gezeigt. (Vorbereitet von Ricardo Pérez).

Der Raum, den wir wahrnehmen und wo wir Menschen bewegen. In diesem Raum befinden sich zwei dimensionale Unterräume (Pläne) und eine dimensionale (gerade) (gerade) Unterräume.

Euklidische Räume können aus einer Dimension (1-D), zwei Dimensionen (2-D), drei Abmessungen (3-D) oder N-Dimensionen (N-D) sein.

Dies sind Punkte in dem einen -dimensionalen Raum x, der zur orientierten Linie (OX) gehört, die Richtung von oder nach x ist die positive Adresse. Um die Punkte in dieser Linie zu lokalisieren.

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Formel

Der euklidische Abstand D (A, B) ist zwischen den Punkten A und B definiert, die sich auf einer Linie befinden, wie z. B. der Quadratwurzel des Quadrats der Unterschiede seiner X -Koordinaten:

D (a, b) = √ ((xb - xa)^2)

Diese Definition garantiert, dass: der Abstand zwischen zwei Punkten immer eine positive Menge ist. Und dass der Abstand zwischen A und B gleich dem Abstand zwischen b und a ist.

Abbildung 1 zeigt den eindimensionalen euklidischen Raum, der durch die Linie (OX) und mehrere Punkte auf dieser Linie gebildet wird. Jeder Punkt hat eine Koordinate:

Punkt A hat XA -Koordinate = 2.5, die B -Koordinate xb = 4 und die Punkt -c -Koordinate xc = -2.5

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D (a, b) = √ ((4 - 2.5) 2) = 1.5

D (b, a) = √ ((2).5 - 4) 2) = 1.5

D (a, c) = √ ((-2).5 - 2.5) 2) = 5.0

Euklidischer Abstand in zwei Dimensionen

Der zweidimensionale Euklidraum ist eine Ebene. Die Punkte einer euklidischen Ebene treffen beispielsweise die Axiome der Euklidgeometrie:

- Bei zwei Punkten passt eine einzelne Linie. 

- Drei Punkte in der Ebene bilden ein Dreieck, dessen innere Winkel immer 180º hinzufügen.

- In einem Rechteck -Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate seiner Beine.

In zwei Dimensionen hat ein Punkt X- und Y -Koordinaten. 

Zum Beispiel hat ein Punkt P Koordinaten (XP, YP) ​​und einen Punkt, der koordinierte (xq, yq).

Der euklidische Abstand zwischen Punkt P und Q wird mit der folgenden Formel definiert:

D (p, q) = √ ((xq - xp)^2 + (yq - yp)^2)

Es ist zu beachten, dass diese Formel dem Pythagoras -Theorem entspricht, wie in Abbildung 2 gezeigt.

Figur 2. Der Abstand zwischen zwei Punkten P und Q des Flugzeugs trifft auf den Pythagoras -Theorem. (Vorbereitet von Ricardo Pérez).

Nicht -kallidische Oberflächen

Nicht alle zwei dimensionalen Räume treffen die euklidische Geometrie. Die Oberfläche einer Kugel ist ein zweidimensionaler Raum.

Die Winkel eines Dreiecks auf einer kugelförmigen Oberfläche fügen nicht 180º hinzu und damit wird der Pythagoras -Theorem nicht erfüllt, daher erfüllt eine kugelförmige Oberfläche die Axiome von Euklid nicht.

Euklidische Entfernung in N -Dimensionen

Das Konzept der Koordinaten kann auf größere Dimensionen ausgedehnt werden:

- In 2-D-Punkt hat P Koordinaten (XP, YP)

- In 3-D ist ein Punkt mit Koordinaten (xq, yq, zq)

- In 4-D-Punkt R hat Koordinaten (XR, Yr, Zr, WR)

- In N-D hat ein Punkt p Koordinaten (P1, P2, P3, ..., PN)

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Der Abstand zwischen zwei P- und Q-Punkten eines n-dimensionalen euklidischen Raums wird mit der folgenden Formel berechnet:

D (p, q) = √ ((q1 - p1)^2 +(q2 - p2)^2 +… +(qn - pn)^2)

Der geometrische Ort aller Punkte, die in einem n-dimensionalen euklidischen Raum, die Äquidisten aus einem anderen festen P-Punkt (der Mitte) eine n-dimensionale Hypera bilden.

Wie man den euklidischen Abstand berechnet

Nachfolgend ist der Abstand zwischen zwei Punkten im euklidischen dreidimensionalen Raum berechnet.

Nehmen Sie Punkt A von kartesischen Koordinaten X, Y, Z an, das durch A :( 2, 3, 1) und Punkt B der Koordinaten b :( -3, 2, 2) angegeben ist.

Sie möchten den Abstand zwischen diesen Punkten bestimmen, für den die allgemeine Beziehung verwendet wird:

D (a, b) = √ ((-3 - 2) 2 + (2 - 3) 2 + (2 - 1) 2) = √ ((-5) 2 + (-1) 2 + (1) 2 )

D (a, b) = √ (25 + 1 + 1) = √ (27) = √ (9 *3) = 3 √ (3) = 5,196

Beispiel

Es gibt zwei Punkte p und q.  Der p -Punkt für kartesische Koordinaten X, Y, Z gegeben durch P :( 2, 3, 1) und der Punkt Q der Koordinaten Q :( -3, 2, 1).

Es wird gebeten, die Koordinaten des Mittelpunkts m des [PQ] -Segments zu finden, das die beiden Punkte verbindet. 

Lösung:

Es wird angenommen, dass der unbekannte Punkt M Koordinaten hat (x, y, z).

Da M durchschnittlicher Punkt von [pq] ist, muss es erfüllt werden, dass d (p, m) = d (q, m), daher muss es auch erfüllt werden d (p, m)^2 = d (q, m)^ 2:

(X - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z - 1)^2 = (x - (-3))^2 + (y - 2)^2 + (z - 1)^2

Wie in diesem Fall ist der dritte Term in den beiden Mitgliedern gleich. Der vorherige Ausdruck ist vereinfacht zu:

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(X - 2)^2 + (y - 3)^2 = (x + 3)^2 + (y - 2)^2 

Es gibt dann eine Gleichung mit zwei Unbekannten x und y. Eine andere Gleichung ist erforderlich, um das Problem zu lösen.

Punkt M gehört zur Linie, die durch die P- und Q -Punkte fließt, die wir wie folgt berechnen können:

Erstens ist der Direktor Vector Pq der Linie: Pq = = .

Dann P.M = Op + Zu Pq, Wo Op Es ist die Vektorposition von Punkt P und Zu Es ist ein Parameter, der zu realen Zahlen gehört. 

Die vorherige Gleichung ist als Vektorgleichung der Linie bekannt, die in kartesischen Koordinaten wie folgt annimmt:

= + a =

Gleich den entsprechenden Komponenten sind:

X - 2 = 2 - 5 a; Und - 3 = 3 -a; Z - 1 = 0

Das heißt, dass x = 4 - 5a, y = 6 - a, schließlich z = 1.

Es wird in dem quadratischen Ausdruck ersetzt, der X mit Y bezieht:

(4 - 5a - 2)^2 + (6 - A - 3)^2 = (4 - 5a + 3)^2 + (6 - A - 2)^2

Es ist vereinfacht:

(2 - 5a)^2 + (3 -a)^2 = (7 - 5a)^2 + (4 - a)^2

Jetzt entwickelt sich:

4 + 25 a^2 - 20a + 9 + a^2 - 6a = 49 + 25 a^2 - 70a + 16 + a^2 - 8a

Es ist vereinfacht und storniert ähnliche Begriffe in beiden Mitgliedern:

4 - 20a + 9 - 6a = 49 - 70a + 16 - 8a

Parameter A:

52 a = 49 + 16 - 4 - 9 = 52, was ergibt, dass a = 1.

Das heißt, dass x = 4 - 5, y = 6 - 1, schließlich z = 1.

Schließlich erhalten wir die kartesischen Koordinaten des Mittelpunkts m des Segments [PQ]:

M: (-1, 5, 1).

Verweise

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