Binomialverteilungskonzept, Gleichung, Merkmale, Beispiele

Der binomiale Verteilung Es handelt sich um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, mit der die Wahrscheinlichkeit des Ereignisvorkommens berechnet wird, vorausgesetzt, sie treten unter zwei Modalitäten auf: Erfolg oder Misserfolg.

Diese Konfessionen (Erfolg oder Misserfolg) sind völlig willkürlich, da sie nicht unbedingt gute oder schlechte Dinge bedeuten. Während dieses Artikels geben wir die mathematische Form der Binomialverteilung an und dann wird die Bedeutung jedes Begriffs im Detail erläutert.

Abbildung 1. Der Start eines Würfels ist ein Phänomen, das durch Binomialverteilung modelliert werden kann. Quelle: Pixabay.

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Gleichung

 Die Gleichung ist wie folgt:

Mit x = 0, 1, 2, 3 .. .n, wo:

- P (x) ist die Wahrscheinlichkeit, genau zu haben X Erfolge zwischen N Versuche oder Prüfungen.

- X Es ist die Variable, die das interessierende Phänomen beschreibt, das der Anzahl der Erfolge entspricht.

- N Die Anzahl der Versuche

- P Es ist die Erfolgswahrscheinlichkeit in einem Versuch

- Q Es ist daher die Wahrscheinlichkeit eines Versagens in einem Versuch Q = 1 - p

Das Bewunderungssymbol "!Es wird für die faktorielle Notation verwendet, damit:

0! = 1

1! = 1

2! = 2.1 = 2

3! = 3.2.1 = 6

4! = 4.3.2.1 = 24

5! = 5.4.3.2.1 = 120

Usw.

Konzept

Die Binomialverteilung ist sehr geeignet, um Situationen zu beschreiben, in denen ein Ereignis auftritt oder nicht, oder nicht. Wenn es auftritt, ist es ein Erfolg und wenn nicht, dann ist es ein Fehler. Darüber hinaus muss die Erfolgswahrscheinlichkeit immer konstant sein.

Es gibt Phänomene, die diesen Bedingungen entsprechen, zum Beispiel die Einführung einer Währung. In diesem Fall können wir sagen, dass "Erfolg" ist, ein Gesicht zu bekommen. Die Wahrscheinlichkeit ist ½ und ändert sich nicht, egal wie oft die Währung gestartet wird.

Der Start eines ehrlichen Würfels ist ein weiteres gutes Beispiel, sondern kategorisieren in guten Stücken und fehlerhafte Stücke eine bestimmte Produktion und erhalten ein Rot anstelle eines Schwarzen.

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Eigenschaften

Wir können die Eigenschaften der Binomialverteilung wie folgt zusammenfassen:

- Jedes Ereignis oder Beobachtung wird aus einer unendlichen Population ohne Ersatz oder einer endlichen Bevölkerung mit Ersatz extrahiert.

- Es werden nur zwei Optionen berücksichtigt, die sich gegenseitig ausschließen: Erfolg oder Misserfolg, wie zu Beginn erläutert.

- Die Erfolgswahrscheinlichkeit muss in jeder Beobachtung konstant sein.

- Das Ergebnis eines Ereignisses ist unabhängig von jedem anderen Ereignis.

- Der Durchschnitt der Binomialverteilung ist N.P

- Die Standardabweichung ist:

Die vorherigen Beispiele erfüllen diese Bedingungen, obwohl bestimmte Beschränkungen zutreffen sind.

Anwendungsbeispiel

Nehmen wir ein einfaches Ereignis, das sein kann, um 2 Gesichter 5 zu erhalten, indem wir dreimal ehrliche Würfel auf den Markt bringen. Was sind die Wahrscheinlichkeiten, dass in 3 Starts 2 Gesichter von 5 5 Gesichtern erhalten werden??

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, dies zu erreichen, zum Beispiel:

- Die ersten beiden Veröffentlichungen sind 5 und die letzten nicht.

- Das erste und die letzten sind 5, aber nicht das des Mediums.

- Die letzten beiden Starts sind 5 und die ersten nicht.

Nehmen Sie als Beispiel die erste beschriebene Sequenz und berechnen Sie seine Auftretenwahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit, im ersten Start ein 5 Gesicht zu erhalten, beträgt 1/6 und auch im zweiten, da es sich.

Die Wahrscheinlichkeit, im letzten Start ein weiteres Gesicht von 5 zu erhalten, beträgt 1 - 1/6 = 5/6. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Sequenz herauskommt, das Produkt der Wahrscheinlichkeiten:

(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0.023

Was ist mit den beiden anderen Sequenzen?? Sie haben eine identische Wahrscheinlichkeit: 0.023.

Und da wir insgesamt 3 erfolgreiche Sequenzen haben, ist die Gesamtwahrscheinlichkeit:

P (2 Gesichter 5 in 3 Starts) = Anzahl der möglichen Sequenzen x Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Sequenz = 3 x 0.023 = 0.069.

Versuchen wir nun das Binomial, in dem es fertig ist:

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x = 2 (Get 2 Seiten von 5 in 3 Starts ist Erfolg)

n = 3

P = 1/6

Q = 5/6

Gelöste Übungen

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Binomialverteilungsübungen zu lösen. Wie wir gesehen haben, kann der einfachste gelöst werden, wie viele erfolgreiche Nachfolge existieren und dann mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten multiplizieren.

Wenn es jedoch viele Optionen gibt, werden die Zahlen größer und es ist vorzuziehen, die Formel zu verwenden.

Und wenn die Zahlen noch höher sind, gibt es Jungen der Binomialverteilung. Derzeit sind sie jedoch zugunsten der vielen Arten von Taschenrechnern veraltet, die die Berechnung erleichtern.

Übung 1

Ein Paar hat Kinder mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,25, Blut des Typs zu haben oder. Das Paar hat insgesamt 5 Kinder. Antwort: a) Passt diese Situation zu einer Binomialverteilung?, b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 von ihnen vom Typ sind oder?

Lösung

a) Die Binomialverteilung wird angepasst, da sie den in früheren Abschnitten festgelegten Bedingungen erfüllt. Es gibt zwei Optionen: Typ oder "Erfolg" Blut, ohne dass es "Misserfolg" ist, und alle Beobachtungen sind unabhängig.

b) Sie haben die Binomialverteilung:

In denen die folgenden Werte ersetzt werden:

x = 2 (erhalten 2 Kinder mit Blut vom Typ O)

n = 5

P = 0.25

Q = 0.75

= 0.2637

Beispiel 2

Eine Universität gibt an, dass 80% der Studenten, die zum Basketballteam der Universität gehören. Eine Untersuchung untersucht die akademische Aufzeichnung von 20 Studenten, die dem Basketballteam angehören, das vor langer Zeit an der Universität eingeschrieben ist.

Von diesen 20 Studenten beendete 11 das Rennen und 9 verließen das Studium.

Figur 2. Fast alle Studenten, die für das Universitätsteam spielen. Quelle: Pixabay.

Wenn die Aussage der Universität zutrifft, sollte die Anzahl der Studenten, die Basketball spielen und es schaffen, zwischen 20 zu machen, eine Binomialverteilung mit haben N = 20 Und P = 0,8. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 11 der 20 Spieler ihren Abschluss machen??

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Lösung

In der Binomialverteilung:

Die folgenden Werte müssen ersetzt werden:

x = 11

N = 20

P = 0.8

Q = 0.2

= 0.00739

Beispiel 3

Die Forscher führten eine Studie durch, um festzustellen, ob es signifikante Unterschiede in den Abschlussquoten bei Medizinstudenten gab, die durch spezielle Programme und Medizinstudenten zugelassen wurden, die durch die regulären Zulassungskriterien zugelassen wurden.

Es wurde festgestellt Zeitschrift der American Medical Association).

Wenn 10 der Schüler der Sonderprogramme zufällig ausgewählt werden, finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 9 von ihnen ihren Abschluss gemacht haben.

b) Wäre es ungewöhnlich zufällig 10 Studenten aus den speziellen Programmen aus und erhalten, dass nur 7 von ihnen ihren Abschluss gemacht haben?

Lösung

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Student durch ein spezielles Programmabsolventen zugelassen hat, beträgt 94/100 = 0.94. Sie werden ausgewählt N = 10 Schüler der besonderen Programme und Sie möchten herausfinden, wie wahrscheinlich mindestens 9 von ihnen abgeschlossen sind.

Die folgenden Werte werden in der Binomialverteilung ersetzt:

x = 9

N = 10

P = 0.94

Q = 0.06Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 9 ihren Abschluss machen, aber sie könnten auch genau 10 abschließen:

 P (mindestens 9 Absolventen) = P (9) + P (10) = 0.3439+0.5386 = 0.8825

B)
Ja, es ist ungewöhnlich, da die erhaltene Wahrscheinlichkeit ziemlich klein ist.

Verweise

1. Berenson, m. 1985. Statistiken für Verwaltung und Wirtschaftswissenschaften. Inter -American s.ZU.
2. Matheworks. Binomiale Verteilung. Geborgen von: ist.Matheworks.com
3. Mendenhall, w. 1981. Statistiken für Verwaltung und Wirtschaftswissenschaften. 3. Auflage. Iberoamerica Editorial Group.
4. Moore, d. 2005. Grundlegende Statistiken angewendet. 2. Auflage.
5. Triola, m. 2012. Elementarstatistik. 11. Ed. Pearson Ausbildung.
6. Wikipedia. Binomiale Verteilung. Geborgen von: ist.Wikipedia.Org