Poisson -Verteilungsformeln, Gleichungen, Modell, Eigenschaften

Der Poisson-Verteilung Es handelt sich um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, über die Sie die Wahrscheinlichkeit wissen können, dass innerhalb einer großen Stichprobe und während eines bestimmten Intervalls ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit klein ist.

Häufig kann die Verteilung von Poisson anstelle einer binomialen Verteilung verwendet werden, sofern die folgenden Bedingungen erfüllt sind: große Probe und kleine Wahrscheinlichkeit.

Abbildung 1. Poisson -Verteilungsdiagramm für verschiedene Parameter. Quelle: Wikimedia Commons.

Siméon-Denis Poisson (1781-1840) hat diese Verteilung erstellt, die seinen Namen trägt, sehr nützlich, wenn es um unvorhersehbare Ereignisse geht. Poisson veröffentlichte seine Ergebnisse im Jahr 1837, eine Forschungsarbeit über die Wahrscheinlichkeit des Auftretens fehlerhafter krimineller Strafen.

Anschließend passten andere Forscher die Verteilung in anderen Bereichen an, beispielsweise die Anzahl der Sterne, die sich in einem bestimmten Raumvolumen befinden könnten, oder die Wahrscheinlichkeit, dass ein Soldat wegen des Kus eines Pferdes sterben würde.

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Formel und Gleichungen

Die mathematische Form der Verteilung von Poisson lautet wie folgt:

 - Die zufällige Variable ist Und

- μ (manchmal auch als λ bezeichnet) Es ist der Durchschnitts- oder Verteilungsparameter

- Euler -Nummer: E = 2.71828

- Die Wahrscheinlichkeit, y = k zu erhalten, ist p

- k Es ist die Anzahl der Erfolge 0, 1,2,3 ..

- N Es ist die Anzahl der Tests oder Ereignisse (Stichprobengröße)

Die diskreten Zufallsvariablen, wie der Name impliziert, hängen vom Zufall ab und nehmen nur diskrete Werte an: 0, 1, 2, 3, 4 ..., K.

Der Durchschnitt der Verteilung ist gegeben durch:

Die σ ​​-Varianz, die die Dispersion der Daten misst, ist ein weiterer wichtiger Parameter. Für Poissons Verteilung ist es:

σ = μ

Poisson stellte fest, dass, wenn n → ∞ und p → 0, der durchschnittliche μ - -auch so genannte erwarteter Wert- Es tendiert zu einer Konstante:

μ → konstant

Wichtig: P Es ist die Wahrscheinlichkeit des Auftretens des Ereignisses unter Berücksichtigung der Gesamtbevölkerung, während P (y) Es ist Poissons Vorhersage über die Probe.

Modell und Eigenschaften

Die Verteilung von Poisson hat die folgenden Eigenschaften:

-Die Stichprobengröße ist groß: N → ∞.

-Die betrachteten Ereignisse oder Ereignisse sind unabhängig voneinander und treten zufällig auf.

-Wahrscheinlichkeit P Was für ein bestimmtes Ereignis Und Es tritt für einen bestimmten Zeitraum auf sehr klein: es ist sehr klein: P → 0.

-Die Wahrscheinlichkeit von mehr als einem Ereignis im Zeitintervall beträgt 0.

-Der Durchschnittswert liegt nahe an einer Konstante, die von: μ = n.P (n ist die Stichprobengröße)

-Da Dispersion σ gleich μ ist, da sie größere Werte annimmt, ist auch die Variabilität größer.

-Die Ereignisse müssen im verwendeten Zeitintervall gleichmäßig verteilt werden.

-Die Menge möglicher Ereigniswerte Und Es ist: 0,1,2,3,4 .. .

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-Die Summe von Yo Variablen, die einer Poisson -Verteilung folgen, ist auch eine weitere Poisson -Variable. Sein Durchschnittswert ist die Summe der Durchschnittswerte dieser Variablen.

Unterschiede bei der Binomialverteilung

Die Verteilung von Poisson unterscheidet sich von der Binomialverteilung in den folgenden wichtigen Aspekten:

-Die Binomialverteilung wird sowohl durch die Größe der S -Probe als auch von der Wahrscheinlichkeit beeinflusst P, Die Verteilung von Poisson wird jedoch nur durch den Durchschnitt beeinflusst μ.

-In einer Binomialverteilung die möglichen Werte der Zufallsvariablen Und Sie sind 0,1,2,… Stattdessen in der Verteilung von Poisson gibt es keine Obergrenze für diese Werte.

Beispiele

Poisson wandte zunächst seine berühmte Verteilung auf Rechtsfälle an, aber auf industrieller Ebene war einer seiner ersten Einsatz bei der Herstellung von Bier. In diesem Prozess werden Hefepflanzen zur Fermentation verwendet.

Die Hefe besteht aus lebenden Zellen, deren Population zeitlich variabel ist. Bei der Herstellung von Bier ist es erforderlich, die erforderliche Menge hinzuzufügen, sodass es erforderlich ist, die Anzahl der Zellen pro Volumeneinheit zu kennen.

Während des Zweiten Weltkriegs wurde Poissons Verteilung verwendet, um zu wissen. Dies war wichtig für die Alliierten, um festzustellen, wie gut die Technologie für die Nazis zur Verfügung stand.

Praktische Anwendungen

Die Verteilungsanwendungen von Poisson verweisen immer auf Zeitzählungen oder Raumzahlen. Und da die Wahrscheinlichkeit des Auftretens gering ist, ist es auch als "Gesetz seltener Ereignisse" bekannt.

Hier ist eine Liste von Ereignissen, die in eine dieser Kategorien fallen:

-Registrierung von Partikeln in einem radioaktiven Zerfall, der das Wachstum von Hefezellen wie eine exponentielle Funktion ist.

-Anzahl der Besuche auf einer bestimmten Website.

-Ankunft von Menschen in eine Reihe, um zu bezahlen oder zu besuchen (Theorie der Schwänze).

-Anzahl der Autos, die einen bestimmten Punkt auf einer Straße für ein bestimmtes Zeitintervall durchlaufen.

Figur 2. Die Anzahl der Autos, die einen Punkt durchlaufen, folgt ungefähr einer Poisson -Verteilung. Quelle: Pixabay.

-Mutationen in einer bestimmten DNA -Kette nach einer Strahlungsbelastung erlitten.

-Meteorenzahl von Durchmesser von mehr als 1 m in einem Jahr.

-Mängel pro Quadratmeter eines Stoffes.

-Menge an Blutzellen in 1 kubischem Zentimeter.

-Anrufe pro Minute zu einem Telefonaustausch.

-Schokoladenfunken in 1 kg Kuchenteig vorhanden.

-Anzahl der Bäume, die durch den Weg in 1 Hektar Wald infiziert sind.

Beachten Sie, dass diese zufälligen Variablen die Anzahl der Zeiten darstellen, die ein Ereignis für einen festen Zeitraum erfolgt (Anrufe pro Minute zum Telefonaustausch) oder eine bestimmte Region des Raums (Fehler eines Stoffes pro Quadratmeter).

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Diese Ereignisse sind, wie bereits festgelegt, unabhängig von der Zeit, die seit dem letzten Ereignis vergangen ist.

Annäherung an die Binomialverteilung mit der Verteilung von Poisson

Die Verteilung von Poisson ist ein guter Ansatz zur Binomialverteilung, solange:

-Die Stichprobengröße ist groß: n ≥ 100

-Wahrscheinlichkeit p ist klein: p ≤ 0,1

- μ in der Reihenfolge von: sein: NP ≤ 10

In solchen Fällen ist die Verteilung von Poisson ein hervorragendes Instrument, da die Binomialverteilung in diesen Fällen kompliziert werden kann.

Gelöste Übungen

Übung 1

Eine seismologische Studie ergab, dass es in den letzten 100 Jahren mindestens 6 93 große Erdbeben weltweit gab.0 auf der Richter -logarithmischen Skala-. Angenommen, die Verteilung von Poisson ist in diesem Fall ein angemessenes Modell. Finden:

a) Das durchschnittliche Auftreten großer Erdbeben pro Jahr.

b) Ja P (y) Es ist die Wahrscheinlichkeit, dass es geschieht Und Erdbeben für ein zufällig ausgewähltes Jahr finden Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

P(0), P(1), P (2), P (3), P (4), P (5), P (6) und P (7).

c) Die tatsächlichen Ergebnisse der Studie sind wie folgt:

- 47 Jahre (0 Erdbeben)

- 31 Jahre (1 Erdbeben)

- 13 Jahre (2 Erdbeben)

- 5 Jahre (3 Erdbeben)

- 2 Jahre (4 Erdbeben)

-  0 Jahre (5 Erdbeben)

- 1 Jahre (6 Erdbeben)

- 1 Jahre (7 Erdbeben)

Wie werden diese Ergebnisse mit denen in Unterabschnitt B erhalten?? Ist Poissons Verteilung eine gute Wahl, um diese Ereignisse zu modellieren?

Lösung für)

a) Erdbeben sind Ereignisse, deren Wahrscheinlichkeit P Er ist klein und wir erwägen einen eingeschränkten Zeitraum von einem Jahr. Die durchschnittlichen Erdbeben sind:

μ = 93 /100 Erdbeben / Jahr = 0.93 Erdbeben pro Jahr.

Lösung b)

b) Um die angeforderten Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, werden die Werte in der zu Beginn angegebenen Formel ersetzt:

Zum Beispiel zu finden P (2), Das wäre die Wahrscheinlichkeit, dass es 2 große Erdbeben pro Jahr geben wird:

y = 2

μ = 0.93

E = 2.71828

Und dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass es für ein Jahr 7 große Erdbeben gibt:

Es ist ziemlich weniger als P (2).

Die Ergebnisse sind unten aufgeführt:

P (0) = 0.395, p (1) = 0.367, p (2) = 0.171, p (3) = 0.0529, p (4) = 0.0123, p (5) = 0.00229, p (6) = 0.000355, p (7) = 0.0000471.

Zum Beispiel könnten wir sagen, dass es eine Wahrscheinlichkeit von 39 gibt.5 %, dass in einem bestimmten Jahr kein großes Erdbeben auftritt. Oder dass es 5,29 % gibt, dass in diesem Jahr 3 große Erdbeben auftreten.

Lösung c)

c) Die Frequenzen werden analysiert und sich mit n = 100 Jahren multiplizieren:

39.5; 36.7; 17.1; 5.29; 1.23; 0.229; 0.0355 und 0.00471.

Kann Ihnen dienen: Algebraische Derivate

Zum Beispiel:

- Eine Frequenz von 39.5 zeigt, dass in 39.5 von 100 Jahren oder große Erdbeben treten auf, wir könnten sagen, dass es dem echten 47 -jährigen Ergebnis ohne großes Erdbeben in der Nähe ist.

Vergleichen wir ein anderes Poisson -Ergebnis mit echten Ergebnissen:

- Der Wert von 36.7 bedeutet, dass in einer Zeit von 37 Jahren 1 großes Erdbeben vorhanden ist. Das eigentliche Ergebnis ist, dass es in 31 Jahren 1 großes Erdbeben gab, ein guter Zufall mit dem Modell.

- 17 werden erwartet.1 Jahre mit 2 großen Erdbeben und es ist bekannt, dass in 13 Jahren, was ein enger Wert ist, tatsächlich 2 große Erdbeben gab.

Daher ist das Poisson -Modell für diesen Fall akzeptabel.

Übung 2

Ein Unternehmen schätzt, dass die Anzahl der Komponenten, die vor Abschluss der 100 -Stunden -Betriebszeiten scheitern, einer Poisson -Verteilung folgt. Wenn die durchschnittliche Anzahl von Ausfällen zu diesem Zeitpunkt 8 beträgt, finden Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

a) dass eine Komponente in 25 Stunden fehlschlägt.

b) Ausfall weniger als zwei Komponenten in 50 Stunden.

c) dass mindestens drei Komponenten in 125 Stunden versagen.

Lösung für)

A) Es ist bekannt, dass der durchschnittliche Fehler in 100 Stunden 8 beträgt, daher wird der vierte Teil der Fehler erwartet, dh 2 Fehler. Dies wird der Parameter sein μ.

Die Wahrscheinlichkeit einer Ausfall 1 -Komponente wird angefordert, die Zufallsvariable ist „Komponenten, die vor 25 Stunden fehlschlagen“ und ihr Wert ist y = 1. Durch Ersetzen der Wahrscheinlichkeitsfunktion:

 b) Die zufällige Variable lautet "Komponenten, die vor 50 Stunden fehlschlagen". Der Parameter ist μ = 4, da der erwartete Wert der Fehler in 50 Stunden 4 beträgt.

Die Frage ist jedoch die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als zwei Komponenten in 50 Stunden versagen, nicht genau, dass 2 Komponenten in 50 Stunden ausfallen. Daher müssen wir die Wahrscheinlichkeiten hinzufügen, die:

-Keiner scheitert

-Versagen nur 1

P (weniger als 2 Komponenten) = P (0) + P (1)

P (weniger als 2 Komponenten) = 0.0183+0.0732 = 0.0915

c) dass mindestens 3 Komponenten in 125 versagen, was bedeutet, dass 3, 4, 5 oder mehr zu diesem Zeitpunkt fehlschlagen können.

Die Wahrscheinlichkeit, die mindestens eines von mehreren Ereignissen auftritt.

-Das angestrebte Ereignis besteht darin, in 125 Stunden 3 oder mehr Komponenten zu scheitern

-Dass das Ereignis nicht geschieht, bedeutet, dass weniger als 3 Komponenten scheitern, deren Wahrscheinlichkeit: P (0)+P (1)+P (2)

Der μ -Parameter der Verteilung in diesem Fall lautet:

 μ = 8 + 2 = 10 Fehler in 125 Stunden.

P (3 oder mehr Komponenten) = 1- P (0)- P (1)- P (2) =

= 1-0.0026786 = 0.9972

Verweise

1. Matheworks. Poisson-Verteilung. Geborgen von: ist.Matheworks.com
2. Mendenhall, w. 1981. Statistiken für Verwaltung und Wirtschaftswissenschaften. 3. Auflage. Iberoamerica Editorial Group.
3. Statistikwanderung. Bring dir Statistiken bei. Poisson-Verteilung. Erholt von: Statrek.com,
4. Triola, m. 2012. Elementarstatistik. 11. Ed. Pearson Ausbildung.
5. Wikipedia. Poisson-Verteilung. Abgerufen von: in.Wikipedia.Org