Allgemeine Kultur und Gesellschaft

Exponentialverteilung

Wir erklären, was exponentielle Verteilung, seine Merkmale, Formeln, Beispiele und Lösung von Übungen ist

Grafik der Dichtefunktion der Exponentialverteilung für drei Werte des Lambda -Parameters. Quelle: Wikimedia Commons.

Was ist exponentielle Verteilung?

Der Exponentialverteilung Es ist ein probabilistisches Modell für kontinuierliche Zufallsvariablen. Dies bedeutet, dass Sie dadurch die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines bestimmten Wertes der Variablen kennen, sodass es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist.

Um die Verteilung zu erhalten, beginnt sie von a Dichtefunktion, die eine exponentielle Form des Parameters λ> 0 hat:

$f(x)=\begincases \lambda e^-\lambda x& \text si x>0 \\ 0 & \ text Ja X \ Leq 0 \ End cases$

Die Dichtefunktion als solche erlaubt nicht die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, aber sobald F (x) festgelegt wird, wird die Verteilungsfunktion F (x), durch die die Wahrscheinlichkeiten erhalten werden, durch Integration von f (x) erhalten. Beispielsweise ist die Wahrscheinlichkeit p, dass die Zufallsvariable Werte zwischen 0 und x nimmt::

$F(x)=P[x\leq x]=\int_0^xf(x)dx$

Durch die Durchführung der Integration, die sehr einfach ist, da das Integral eines Exponentials das gleiche Exponential ist, wird es erhalten, mit Ausnahme der Konstanten, die das Argument begleiten, erhalten:

$F(x)=\int_0^x\lambda e^-\lambda xdx=\lambda \left (-\frac1\lambda \right )\left [ e^-\lambda x \right ]_0^x=-\left (e^-\lambda x-e^0 \right )=1-e^-\lambda x$

Die exponentielle Verteilung wird häufig verwendet, um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses nach einer bestimmten Wartezeit zu bestimmen, z.

Häufig beziehen sich Ereignisse auf den Ausfall oder die Aufschlüsselung elektrischer, elektronischer und anderer Typen. In diesem Fall hilft die exponentielle Verteilung, die Zeit zu schätzen, die eine Komponente scheitert, und auch die Zeit zwischen Reparaturen. Dies ist als Zuverlässigkeitstheorie bekannt.

Merkmale der exponentiellen Verteilung

Einige der herausragendsten Merkmale der Dichtefunktion F (x) der Exponentialverteilung sind die folgenden:

f (x) ist positiv.
Die Fläche unter der Kurve y = f (x) = λe^−λ^X Es ist immer gleich 1, da die Summe der Wahrscheinlichkeiten des Auftretens aller Werte der Variablen 1 sein muss. Dies ist eine Bedingung, die Dichtefunktionen erfüllen. Diese Fläche wird durch das Integral berechnet:

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$\int_-\infty ^\infty f(x)dx=\int_-\infty ^\infty \lambda e^-\lambda xdx=1$

Mangel an exponentiellem Verteilungsspeicher

Das herausragendste Merkmal der exponentiellen Verteilung ist der Mangel an Speicher. Nehmen wir beispielsweise an, dass die verstrichene Zeit mit dieser Verteilung modelliert wird, bis der Versagen eines Elements auftritt.

Nun, der Mangel an Gedächtnis bezieht sich darauf, zu wissen, dass das Element für eine Überlebenszeit „S“ funktioniert hat, die Wahrscheinlichkeit, dass das Element weiterhin bis zu einer bestimmten zusätzlichen Zeit „T“ läuft, weiter verändert.

Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass das Element von hier bis zu einer bestimmten Zeit (z.

Mathematisch wird es per Definition der Wahrscheinlichkeit unabhängiger Ereignisse berechnet:

$P[x\geq s+t/x\geq s]=\fracP[x\geq s+t]P[x\geq s]=\frac1-F(s+t)1-F(s)=\frac1- [1-e^-\lambda (s+t) ]1- [1-e^-\lambda s ]= \beginmatrix \\ \endmatrix$

$=e^-\lambda t$

Daher hängt die Wahrscheinlichkeit nicht von S oder Überlebenszeit ab.

Formeln

1.- Die Dichtefunktion der exponentiellen Verteilung lautet:

$f(x)=\begincases \lambda e^-\lambda x& \text si x>0 \\ 0 & \ text Ja X \ Leq 0 \ End cases$

Wobei λ der Verteilungsparameter ist.

2.- Wie oben beschrieben, wird die Verteilung der Wahrscheinlichkeiten selbst als F (x) bezeichnet und die unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten werden durch Integration der Dichtefunktion erhalten:

$F(x)=\begincases 0 & \text si x\leq 0 \\ 1-e^-\lambda x& \text si x>0 \ End cases$

3.- Aus dem obigen Punkt folgt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Variable Werte weniger als oder gleich „x“ nimmt^−λ^X.

4.- Die Fläche unter der Kurve y = f (x), die zwischen A und B enthalten ist, ermöglicht die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass sich die Variable im Intervall befindet [A, B]. Dieser Bereich ist:

P [a ≤ x ≤ b] = f (b) - f (a)

5.- Der Wert von p [x ≥ a] beträgt 1 - f (a) = 1 - (1 - e^−λ^X) = e^−λ^X

Erwarteter Wert der Exponentialverteilung

Die Hoffnung oder der erwartete Wert E (x) der Exponentialverteilung ist der Wert, der häufiger auftreten wird. Es wird aus dem Integral berechnet:

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$E(x)=\int_0^\infty xf(x)dx$ Dies kann durch die Integrationsmethode durch Teile leicht aufgelöst werden. Das Ergebnis ist:

E (x) = 1/λ

Varianz der Exponentialverteilung

Für die Berechnung der Varianz muss das Integral bestimmt werden:

$Var(x)=\int_0^\infty x^2f(x)dx$

Dies wird auch mit der Integrationsmethode durch Teile aufgelöst, um zu erhalten:

Var (x) = 1/λ²

Eine Besonderheit der Exponentialverteilung ist, dass die Standardabweichung S (x), die als quadratische Wurzel der Varianz definiert ist,:

S (x) = √var (x) = √ (1/λ²) = 1/λ

Das heißt, die Standardabweichung entspricht der Hoffnung auf Verteilung.

Beispiele für die Exponentialverteilung

Datenerstellung von Kohlenstoffproben 14

Die exponentielle Verteilung wird verwendet, um die Zeit zu bestimmen, die zum Auflösen eines radioaktiven Teilchens benötigt wird. Diese Zeiten werden bis zur Datum verwendet, die fossile Proben durch Radiokarbon datieren.

Es dauert die Zeit, um die Mail zu überprüfen

Sie können die Zeit modellieren, die Benutzer benötigen, um ihre E -Mails nach Eingang der Benachrichtigung durch eine exponentielle Verteilung zu überprüfen. Angenommen, der Verteilungsparameter ist λ = 0.2 Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person weniger als 1 Minute braucht, um seine E -Mail zu überprüfen,:

$P[x\leq 1]=\int_0^1f(x)dx=\int_0^10.2e^-0.2xdx$

Dieses Integral wurde am Anfang aufgelöst. Es bleibt nur noch, die numerischen Werte in der Lösung zu ersetzen und das Endergebnis zu berechnen:

P [x ≤ 1] = 1 -e^{- -}^0.2^×¹ = 1 - e^{- -}^0.2 = 1 - 0.819 = 0.181

Es kann auch direkt an der oben angegebenen F (x) -Funktion ersetzt werden, um F (1) zu erhalten.

Übungen

Übung 1

Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person später eine Stunde ihre E -Mail überprüft, wenn die Wahrscheinlichkeitsverteilung exponentiell ist, mit Parameter λ = 0.2.

Lösung

P [x ≥ 60] muss berechnet werden, da 1 Stunde 60 Minuten entspricht und die Wahrscheinlichkeit, dass die Person Ende 60 Minuten oder länger die Post angefordert wird. Die Wahrscheinlichkeit wird mit demselben zu Beginn dargestellten Integral berechnet, wobei nur die Integrationsgrenzen geändert wird:

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$P[x\geq 60]=\int_60^\infty 0.2e^-0.2xdx=-\left ( -e^-0.2\times 60 \right )=0.000006144$

Der erhaltene Wert ist gering, daher ist es sehr unwahrscheinlich, dass eine Person mehr als eine Stunde braucht, um ihre E -Mail zu überprüfen.

Übung 2

Die elektrischen Glühbirnen haben normalerweise eine begrenzte Dauer, mit Ausnahme der berühmten Glühbirne der Feuerwehr in Livermore, Kalifornien, die seit dem ersten Mal im Jahr 1901 nie gescheitert ist.

Angenommen, die Dauer einer aktuellen Glühbirne folgt einer Exponentialverteilung mit einem erwarteten Wert von 8 Monaten. Berechnung:

A) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Glühbirne zwischen 5 und 14 Monaten dauert?

b) Die Wahrscheinlichkeit, dass die Glühbirne mehr als 25 Monate dauern wird, da sie wusste, dass sie mehr als 11 Monate im Betrieb hat.

Lösung für

Das erste ist, den Wert von λ durch den erwarteten Wert der Verteilung e (x) = 8 Monate zu finden. Nach dem, was im vorhergehenden Abschnitt gesagt wurde, ist der erwartete Wert die Umkehrung des λ -Parameters daher:

E (x) = 1 /λ → λ = 1 /e (x) = 1/8 = 0.125

Anschließend wird die angeforderte Wahrscheinlichkeit anhand des zu Beginns angegebenen Integrals berechnet, die Integrationsgrenzen jedoch bequem ändert:

Dann wird es in der F (x) -Funktion im vorhergehenden Abschnitt ersetzt, wie folgt:

P [5 ≤ x ≤ 14] = f (14) - f (5) = [1 - e^{-(0.125 × 14)}] - [1 - e^{-(0.125 × 5)}] = 0.36

Lösung b

Um dieses Problem zu beantworten, wird die Eigenschaft des mangelnden Gedächtnisses verwendet, oben ausgegeben. Da bekannt ist, dass es bereits mehr als 11 Monate gedauert hat, dann:

S = 11 Monate

Die zusätzliche Zeit bis 25 Monate oder mehr beträgt:

T = 14 Monate

P [x ≥ s + t│t ≥ s] = p [x ≥ 11 + 14│t ≥ 11] = e^{–0.125 × 14}= 0.174