Normale Formelverteilung, Eigenschaften, Beispiel, Übung

Der Normalverteilung o Gaußsche Verteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung in einer kontinuierlichen Variablen, bei der die Funktion der Wahrscheinlichkeitsdichte durch eine exponentielle Funktion des quadratischen und negativen Arguments beschrieben wird, was zu einer abgebrochenen Form führt.

Der Normalverteilungsname ergibt sich aus der Tatsache, dass diese Verteilung diejenige ist, die auf die größte Anzahl von Situationen angewendet wird, in denen eine kontinuierliche Zufallsvariable an einer bestimmten Gruppe oder Bevölkerung beteiligt ist.

Abbildung 1. Normalverteilung N (x; μ, σ) und seine Wahrscheinlichkeitsdichte F (S; μ, σ). (Eigene Ausarbeitung)

Als Beispiele, bei denen eine Normalverteilung angewendet wird: die Höhe von Männern oder Frauen, Variationen im Ausmaß einer körperlichen Größe oder in messbaren psychologischen oder soziologischen Merkmalen wie dem intellektuellen Quotienten oder der Verbrauchsgewohnheiten eines bestimmten Produkts.

Andererseits heißt es Gaußsche Verteilung oder Gauß Bell, da es dieses deutsche mathematische Genie ist, dem seine Entdeckung für die Verwendung zugeschrieben wird, die er für die Beschreibung des statistischen Fehlers astronomischer Messungen im Jahr 1800 angegeben hat.

Es wird jedoch behauptet, dass diese statistische Verteilung zuvor von einem anderen großen Mathematiker französischer Herkunft veröffentlicht wurde, wie es Abraham de Moivre 1733 war.

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Formel

Zur Normalverteilungsfunktion in der kontinuierlichen Variablen X, Mit Parametern μ Und σ Es wird bezeichnet mit:

N (x; μ, σ)

Und explizit ist es so geschrieben:

N (x; μ, σ) = ∫_-∞^X f (s; μ, σ) ds

Wo f (u; μ, σ) Es ist die Funktion der Wahrscheinlichkeitsdichte:

f (s; μ, σ) = (1/(σ√ (2π)) exp ( - s²/(2σ²)

Die Konstante, die die exponentielle Funktion in der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion multipliziert, wird als Normalisierungskonstante bezeichnet und wurde so ausgewählt, dass:

N (+∞, μ, σ) = 1

Der vorherige Ausdruck stellt sicher, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die zufällige Variable X zwischen -∞ und +∞ entweder 1 sein, das ist 100% Wahrscheinlichkeit.

Der Parameter μ Es ist der arithmetische Mittelwert der kontinuierlichen Zufallsvariablen x und σ Die Standardabweichung oder Quadratwurzel der Varianz derselben Variablen. Für den Fall, dass μ = 0 Und σ = 1 Sie haben die normale Standard- oder Normalverteilungsverteilung typisch: 

N (x; μ = 0, σ = 1)

Normalverteilungseigenschaften

1- Wenn eine zufällige statistische Variable einer normalen Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung folgt f (s; μ, σ), Die meisten Daten drehen sich um den Durchschnittswert μ Und sie sind um sie herum verteilt, so dass knapp über den Daten zwischen den Daten liegen μ - σ Und μ + σ. 

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2- Die Standardabweichung σ Es ist immer positiv.

3- Die Form der Dichtefunktion F Es ähnelt der einer Glocke, daher wird diese Funktion oft als Gaußsche Bell oder Gaußsche Funktion bezeichnet. 

4- In einer Gaußschen Verteilung fällt der Durchschnitt, Median und Mode zusammen.

5- Die Wendepunkte der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion sind genau in gefunden μ - σ Und μ + σ.

6- Die F-Funktion ist in Bezug auf eine Achse symmetrisch, die durch ihren Durchschnittswert fließt μ Und Sie haben asymptotisch Null für x ⟶ +∞ und x ⟶ -∞.

7- ein höherer Wert von σ größere Dispersion, Rauschen oder Distanzdaten um den Durchschnittswert. Das heißt zu größerer σ Die Glockenform ist offener. Stattdessen σ Kleine zeigt an, dass die Würfel auf den Durchschnitt schwammen und die Form der Glocke geschlossen oder spitzer ist.

8- Die Verteilungsfunktion N (x; μ, σ) Gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsvariable kleiner als oder gleich ist X. Zum Beispiel in Abbildung 1 (oben) der Wahrscheinlichkeit p, dass die Variable X ist kleiner als oder gleich 1.5 beträgt 84% und entspricht der Fläche unter der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f (x; μ, σ) Von -∞ bis X.

Vertrauensintervalle

9- Wenn die Daten einer Normalverteilung folgen, dann liegen 68,26% davon zwischen μ - σ Und μ + σ.

10- 95,44% der Daten, die einer Normalverteilung folgen μ - 2σ Und μ + 2σ.

11-99.74% der Daten, die einer Normalverteilung folgen μ - 3σ Und μ + 3σ.

12- Wenn eine zufällige Variable X Folgen Sie einer Verteilung N (x; μ, σ), Dann die Variable

Z = (x - μ) / σ  Folgen Sie der Standardnormalverteilung  N (z; 0,1).

Die Änderung der Variablen X zum z Es wird als Standardisierung oder Typifizierung bezeichnet und ist zum Zeitpunkt der Anwendung der Standardverteilungstabellen auf Daten, die einer normalen nicht standardmäßigen Verteilung folgen, sehr nützlich.

Normalverteilungsanwendungen

Um die Normalverteilung anzuwenden. Zu diesem Zweck werden die Standard- oder typischen Werte Tabellen verwendet, was nichts weiter als die Normalverteilung im Fall ist μ = 0 und σ = 1.

Kann Ihnen dienen: kombinierte OperationenNormalverteilungstabelle Typifiziert (Teil 1/2) Normalverteilungstabelle Typifiziert (Teil 2/2)

Es ist zu beachten, dass diese Tabellen keine negativen Werte enthalten. Unter Verwendung der Symmetrieeigenschaften der Gaußschen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion können jedoch die entsprechenden Werte erhalten werden. In der unter der Verwendung der Tabelle gezeigten aufgelösten Übung ist in diesen Fällen angegeben.

Beispiel

Angenommen, Sie haben einen Zufallsdatensatz X, der einer normalen durchschnittlichen Verteilung von 10 und Standardabweichung 2 folgt. Es wird gebeten, die Wahrscheinlichkeit zu finden, dass:

a) Die Zufallsvariable x ist kleiner als oder gleich 8.

b) ist kleiner als oder gleich 10.

c) dass Variable x unter 12 liegt.

d) Die Wahrscheinlichkeit, dass ein X -Wert zwischen 8 und 12 liegt.

Lösung:

a) Um die erste Frage zu beantworten, müssen Sie nur berechnen:

N (x; μ, σ)

Mit x = 8, μ = 10 Und σ = 2. Wir erkennen, dass es ein Integral ist, das in Elementarfunktionen keine analytische Lösung hat, aber die Lösung wird gemäß der Fehlerfunktion ausgedrückt ERF (x).

Andererseits besteht die Möglichkeit, das Integral auf numerische Weise zu lösen, was viele Taschenrechner, Tabellenkalkulationen und Computerprogramme wie GeoGebra tun. Die folgende Abbildung zeigt die numerische Lösung, die dem ersten Fall entspricht:

Figur 2. Wahrscheinlichkeitsdichte F (x; μ, σ). Der schattierte Bereich repräsentiert P (x ≤ 8). (Eigene Ausarbeitung)

Und die Antwort ist, dass die Wahrscheinlichkeit, dass x unter 8 liegt, lautet:

P (x ≤ 8) = n (x = 8; μ = 10, σ = 2) = 0,1587

b) In diesem Fall geht es darum, die Wahrscheinlichkeit zu finden, dass die Zufallsvariable x unter dem Durchschnitt liegt, der in diesem Fall 10 wert ist. Die Antwort erfordert keine Berechnung, da wir wissen, dass die Hälfte der Daten unter dem Durchschnitt und der anderen Hälfte über dem Durchschnitt liegt. Daher lautet die Antwort:

P (x ≤ 10) = n (x = 10; μ = 10, σ = 2) = 0,5

c) um diese Frage zu beantworten, die Sie berechnen müssen N (x = 12; μ = 10, σ = 2), Dies kann mit einem Taschenrechner mit statistischen Funktionen oder von Software wie GeogeBra erfolgen:

Kann Ihnen dienen: Divisors von 8: Was sind und eine einfache ErklärungFigur 3. Wahrscheinlichkeitsdichte F (x; μ, σ). Der schattierte Bereich repräsentiert P (x ≤ 12). (Eigene Ausarbeitung)

Die Antwort auf Teil C ist in Abbildung 3 zu sehen und ist:

P (x ≤ 12) = n (x = 12; μ = 10, σ = 2) = 0,8413.

d) Um die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass die Zufallsvariable x zwischen 8 und 12 liegt, können wir die Ergebnisse der Teile A und C wie folgt verwenden:

P (8 ≤ x ≤ 12) = P (x ≤ 12) - P (x ≤ 8) = 0,8413 - 0,1587 = 0,6826 = 68,26.

Übung gelöst

Der Durchschnittspreis der Aktien eines Unternehmens beträgt 25 USD bei einer Standardabweichung von 4 USD. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass:

a) Eine Aktion hat einen Preis von weniger als 20 US -Dollar.

b) Das hat Kosten von mehr als 30 US -Dollar.

c) Der Preis liegt zwischen 20 und 30 US -Dollar.

Verwenden Sie die Normalverteilungstabellen, die typisch sind, um die Antworten zu finden.

Lösung:

Um die Tabellen zu nutzen, müssen sich die normalisierte oder typische Variable bewegen:

$ 20 in der standardisierten Variablen gleich z = (($ 20 - $ 25) / $ 4 = -5/4 = -1,25 und 

30 USD in der standardisierten Variablen gleich z = (($ 30 - $ 25) / $ 4 = +5/4 = +1,25.

a) $ 20 entspricht in der standardisierten Variablen -1,25, aber die Tabelle hat keine negativen Werte. Daher platzieren wir den Wert von +1,25, der den Wert von 0,894 zeigt.

Wenn dieser Wert 0,5 subtrahiert wird, ist das Ergebnis die Fläche zwischen 0 und 1,25, die übrigens (nach Symmetrie) für den Bereich zwischen -1 identisch ist.25 und 0. Das Subtraktionsergebnis beträgt 0,8944 - 0,5 = 0,3944, was die Fläche zwischen -1 ist.25 und 0.

Aber die Flächeninteressen von -∞ bis -1,25, die 0,5 -0,3944 = 0,1056 beträgt. Es wird daher der Schluss gezogen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Aktion unter 20 USD liegt, 10,56% beträgt.

b) 30 USD in der typischen Variablen z beträgt 1,25. Für diesen Wert erscheint in der Tabelle die Zahl 0,8944, die der Fläche von -∞ bis +1,25 entspricht. Der Bereich zwischen +1.25 y +∞ ist (1 - 0,8944) = 0,1056. Mit anderen Worten, die Wahrscheinlichkeit, dass eine Aktion mehr als 30 US -Dollar kostet, beträgt 10,56%.

c) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Aktion einen Preis zwischen 20 und 30 US -Dollar hat, wird wie folgt berechnet:

100% -10,56% - 10,56% = 78,88%

Verweise

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2. GeogeBra. Klassische Geogebra, Wahrscheinlichkeitsberechnung. Von GeogeBra geborgen.Org
3. Matheworks. Gaußverteilung. Geborgen von: ist.Matheworks.com
4. Mendenhall, w. 1981. Statistiken für Verwaltung und Wirtschaftswissenschaften. 3. Auflage. Iberoamerica Editorial Group.
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6. Triola, m. 2012. Elementarstatistik. 11. Ed. Pearson Ausbildung.
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8. Wikipedia. Normalverteilung. Geborgen von: ist.Wikipedia.Org