Einheitliche Verteilung setzt Merkmale, Beispiele, Anwendungen fort
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Eine zufällige Variable hat a Kontinuierliche einheitliche Verteilung Wenn die Wahrscheinlichkeit, innerhalb eines endlichen Intervalls [a, b] einen Wert zu nehmen.
Diese Verteilung ist analog zur diskreten gleichmäßigen Verteilung, die jedem Ergebnis des zufälligen Experiments die gleiche Wahrscheinlichkeit zugeordnet ist, aber in diesem Fall ist die zu berücksichtigende Variable kontinuierlich. Zum Beispiel folgt das Experiment, das aus der Auswahl einer zufälligen reellen Zahl zwischen den Werten A und B besteht. Hier haben Sie Ihre Grafik:
Abbildung 1. Grafik der Dichtefunktion der kontinuierlichen normalisierten gleichmäßigen Verteilung In der mathematischen Notation hat die kontinuierliche einheitliche Verteilung eine Dichtefunktion, die als Funktion für Stücke oder durch Abschnitte definiert ist, die als:
Die Grafik dieser Funktion, bekannt als Kurve oder Dichtefunktion, Es ist ein Rechteck, daher ist die kontinuierliche gleichmäßige Verteilung auch als bekannt als rechteckige Verteilung Und es ist das einfachste von kontinuierlichen Verteilungen.
Die Fläche unter der Grafik einer Wahrscheinlichkeitsverteilung entspricht 1 und nimmt immer positive Werte ein. Die einheitliche Verteilung erfüllt diese Kriterien. Es ist nicht erforderlich, sich direkt zu integrieren, um zu überprüfen, ob der Bereich 1 ist, da der Bereich des schattierten Rechtecks in Abbildung 1 mit der Formel berechnet werden kann:
Fläche = Basis x Höhe = (b - a) x [1/(b - a)] = 1
Es ist sehr wichtig, den Bereich unter der Dichtekurve zu kennen.
Kontinuierliche einheitliche Verteilungsmerkmale
Die kontinuierliche gleichmäßige Verteilung ist durch ihre:
Dichtefunktion
Sei X die kontinuierliche Zufallsvariable, die zum Intervall [a, b] gehört, dann:
Es kann Ihnen dienen: Lineare Transformationen: Eigenschaften, welche Verwendung, Typen, Beispiele=\frac1b-a)
Verteilungsfunktion
Mithilfe der Verteilungsfunktion wird die Wahrscheinlichkeit berechnet. Für eine kontinuierliche Verteilung wird es im Allgemeinen auf diese Weise berechnet:
=\int_a^xf(x)dx)
Bei der kontinuierlichen einheitlichen Verteilung entspricht die Wahrscheinlichkeit F (x) dem Rechteckbereich, dessen Basis (x-a) und seine Höhe (B-A) ist:
=\int_a^x\left&space;(\frac1b-a&space;\right&space;)dx=\fracx-ab-a)
Mathematisch, wenn f (x) = pr (x = x) die folgende Funktion gemäß dem vorherigen Ergebnis durch Teile festgelegt wird:
Auf diese Weise wurde bereits gesagt: Die Wahrscheinlichkeit hängt nur vom Wert von (x-a) und nicht von ihrem Standort im Intervall ab [A, B]. Die Grafik der Verteilungsfunktion lautet:
Figur 2. Grafik der Verteilungsfunktion f (x). Quelle: Wikimedia Commons. Erwarteter Wert, Varianz und Standardabweichung
Nach zahlreichen Experimenten mit der kontinuierlichen Zufallsvariablen wird ihr Durchschnittswert aufgerufen erwarteter Wert, Es wird als E (x) bezeichnet und wird durch das folgende Integral berechnet:
=\int_a^bxf(x)=\int_a^b\left&space;(\frac1b-a&space;\right&space;)xdx=\left&space;(\frac1b-a&space;\right&space;)\frac(b^2-a^2)2=\fraca+b2)
V (x) = e (x2) - EX)2
Deshalb:
=\left&space;[\int_a^bx^2f(x)dx&space;\right&space;]-\left&space;(\fraca+b2&space;\right&space;)^2=\left&space;[\int_a^bx^2\left&space;(\fracb-a2&space;\right&space;)&space;dx\right&space;]-\left&space;(\fraca+b2&space;\right&space;)^2)
=\frac(b-a)^212)
D (x) = √ V (x)
=\sqrt\frac(b-a)^212)
Median, Mode, Symmetrie und Curtosis
Es kann leicht überprüft werden, dass der Median, der der zentrale Wert der gleichmäßigen Verteilung ist, gleich dem Durchschnitt ist und da es keinen Wert gibt, der mehr als andere wiederholt wird, da alle im Intervall gleich wahrscheinlich sind [A, B ], Mode existiert nicht.
In Bezug auf die Symmetrie ist die gleichmäßige Verteilung symmetrisch und die Curtosi.
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Verschiedene Situationen können durch kontinuierliche Verteilung modelliert werden und somit ihr Verhalten vorhersagen. Hier sind einige Beispiele:
Beispiel 1
Ein Unternehmen, das einen elektrischen Service anbietet.0 V und 125.0 v. Dies bedeutet, dass es im häuslichen Schuss möglich ist, einen Spannungswert zu erhalten, der zu diesem Intervall gehört.
Wie oben gezeigt, ist das Diagramm der Dichtefunktion das rote Rechteck:
Figur 3. Dichtefunktion für die Spannung, die von einem Stromunternehmen geliefert wird. Quelle: f. Zapata. Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit einer Spannung innerhalb des angegebenen Intervalls ist sehr einfach, beispielsweise ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Unternehmen eine Spannung weniger als 123 sendet.5 v?
Diese Wahrscheinlichkeit entspricht dem Bereich des schattierten Rechtecks in Blau:
P (x<123.5) = (123.5 −123.0)x 0.5 = 0.25
Und wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gelieferte Spannung größer als 124 ist.0 v?
Da die Gesamtfläche von 1 entspricht, ist die nachgefragte Wahrscheinlichkeit:
P (x> 124.0 v) = 1 - (1 × 0).5) = 0.5
Macht Sinn, seit 124.0 ist genau der Wert in der Mitte des Intervalls.
Beispiel 2
Eine bestimmte Zufallsvariable X hat eine einheitliche Verteilung im Intervall [0,100]. Bestimmen:
a) Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert von x weniger als 22 beträgt.
b) Die Wahrscheinlichkeit, dass x Werte zwischen 20 und 35 nimmt.
c) den erwarteten Wert, die Varianz und die Standardabweichung dieser Verteilung.
Antwort auf
Es wird ähnlich wie das vorherige Beispiel festgelegt, aber zuerst müssen wir die Höhe des Rechtecks bestimmen und daran denken, dass die Gesamtfläche gleich 1 sein muss:
Fläche = 100 × Höhe = 1
Daher hat das Rechteck eine Höhe von 1/100 = 0.01
Kann Ihnen dienen: Decagon: regulär, unregelmäßig, Eigenschaften, BeispieleP (x<22) = 22×0.01 = 0.22
Antwort b
Die angeforderte Wahrscheinlichkeit entspricht dem Rechteckbereich, dessen Breite (35 - 20) und deren Höhe 0 ist.01:
P (22 Wenn Sie es vorziehen, direkt zur oben genannten Verteilungsfunktion zu gehen, müssen Sie nur die Werte ersetzen in: P (20 ≤ x ≤ 35) = F (35) -F (20) Mit f (x) gegeben durch: F (x) = (x-a) / (b-a) Die zu eingeführten Werte sind: A = 0 B = 100 F (35) = (35-0) / (100-0) = 0.35 F (20) = (20-0) / (100-0) = 0.zwanzig P (20 ≤ x ≤ 35) = 0.35-0.20 = 0.fünfzehn Der erwartete Wert ist: E (x) = (a+b)/2 = (100+0)/2 = 50 Die Varianz ist: V (x) = (b-a)2/12 = (100-0)2/12 = 833.33 Und die Standardabweichung ist: D (x) = √833.33 = 28.87 Diese Verteilung ist nützlich, wenn statistische Simulationsprozesse durchgeführt werden oder bei Ereignissen arbeiten, deren Erscheinungshäufigkeit regelmäßig ist. Einige Programmiersprachen erzeugen zufällige Zahlen zwischen 0 und 1, und wie aus den vorherigen Beispielen ersichtlich ist, ist die Verteilung der folgenden Wahrscheinlichkeiten einheitlich. In diesem Fall ist das zu berücksichtigende Intervall [0,1]. Wenn Sie ein Experiment haben, in dem die Ereignisse, wie oben erläutert, regelmäßig sind. In diesem Fall liefert das probabilistische Modell der einheitlichen Verteilung Informationen für die Analyse. Die gleichmäßige Verteilung wird auch bei der Abrundung der Unterschiede zwischen den beobachteten Werten und den realen Werten einer Variablen verwendet, wobei eine gleichmäßige Verteilung des Fehlers in einem bestimmten Intervall gemäß der Rundung, normalerweise von -0,5 bis +0.5.Antwort c
Anwendungen
Zufällige Zahlen
Willkürliche Verteilungsabtastung
Fehlerrundung
Verweise