Diskrete Verteilungen

Tabelle einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung. Quelle: f. Zapata

Was ist eine diskrete Verteilung?

A diskrete Verteilung der Wahrscheinlichkeiten ist eine Funktion f (x_Yo), das jedem Wert einer diskreten Variablen zuweist: x₁, X₂, X₃,... X_Yo, ein gewisses Auftreten von Vorkommen p (x = x_Yo). Diese Funktion ist auch als "Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion" bekannt.

Die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung kann in Form einer Tabelle oder Grafik angegeben werden. Eine Tabelle hat diese allgemeine Form, in der die Variable in einer Spalte und ihre jeweilige Wahrscheinlichkeit in der anderen erscheint:

Wahrscheinlichkeitsmassenfunktionen teilen die folgenden allgemeinen Merkmale:

• Die Wahrscheinlichkeit p_Yo eines beliebigen X -Ereignisses_Yo Es ist zwischen 0 und 1, da es sogar einige dieser Grenzwerte ist: 0 ≤ x ≤ 1.
• P (x = x_Yo) = p_Yo Nehmen Sie einfach positive Werte, deshalb: P (x = x_Yo) ≥ 0.
• Es ist wahr, dass ∑ p (x_Yo) = 1 für alle möglichen Werte von x.

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreibt das durch ihre Parameter beschriebene Verhalten einer Population: die durchschnittliche μ, die Varianz σ² und die Standardabweichung s = σ σ².

Als nächstes werden die bemerkenswertesten diskreten Verteilungen kurz beschrieben:

Einheitliche Verteilung

Es ist die einfachste diskrete Verteilung von allen. Darin kann die Variable "n" diskrete Werte annehmen: x₁, X₂, X₃,... X_Yo, Alle mit der gleichen Probbblaity. In diesem Fall wird die Verteilung gegeben durch:

Binomiale Verteilung

Es gilt für Erfahrungen mit nur zwei möglichen und sich gegenseitig ausschließlichen Ergebnissen, die normalerweise als "Erfolg" und "Misserfolg" bezeichnet werden, die als E bzw. F bezeichnet werden. Die Tatsache, dass ein Ereignis als "Erfolg" bezeichnet wird, bedeutet nicht unbedingt, dass es eine gute Sache ist, es ist eher eine willkürliche Bezeichnung.

Die Erfolgswahrscheinlichkeit P (e) in „n“ Proben wird als p bezeichnet, und die des Versagens P (f) wie q = 1 - p.

Wenn "x" eine bestimmte Anzahl von Erfolgen in den "N" -Forgendien darstellt, ist es wahr, dass: 0 ≤ x ≤ n. Und die Wahrscheinlichkeit des Auftretens p (x) des Ereignisses wird durch die folgende Formel berechnet:

Es kann Ihnen dienen: quadratische Zentimeter bis Quadratmeter (cm² bis m²)

Wobei x = 0, 1, 2, 3 ..., n und das Symbol (Symbol (!) bedeutet "faktorial":

X! = x ∙ (x - 1) ∙ (x - 2) ∙ (x - 3)… 1

0! = 1

Poisson-Verteilung

In dieser Verteilung gibt die Zufallsvariable X an, wie oft ein Ereignis in einem Intervall auftritt, was zeitlich, distanziert oder anderer sein kann. Das Ereignisvorkommen ist zufällig, unabhängig und wird während des betreffenden Intervalls gleichmäßig verteilt.

Sobald diese Bedingungen, werden die Wahrscheinlichkeit, die vom Durchschnitt von μ -Vorkommen und der Anzahl der Euler oder der Anzahl „E“ abhängt, berechnet durch:

Die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen mit dieser Verteilung ist gering, daher wird es als "Gesetz seltener Fälle" bezeichnet.

Binomialverteilungsansatz

Die Verteilung von Poisson dient als Ansatz zur Binomialverteilung, wenn n groß ist (n ≥ 100) und P klein (NP ≤ 10). In diesem Fall wird der durchschnittliche μ berechnet als:

μ = n ∙ p

Hypergeometrische Verteilung

Es wird verwendet, wenn die Wahrscheinlichkeiten nicht unabhängig sind, dh nach der Durchführung des Experiments sind die Bedingungen nicht wieder gleich. Dies geschieht beim Extrahieren von Proben ohne Ersatz aus einer Population, sodass die Binomialverteilung nicht mehr verwendet werden kann.

Wenn die Bevölkerung aus zwei Arten von Objekten besteht, die sich von und B und bei zufälligen Objekten und ohne Ersatz unterscheiden, sind die Wahrscheinlichkeit, X -Objekte vom Typ A zu erhalten,:

Wobei a und b die jeweiligen Mengen von Objekten jeder Art sind, die in der Bevölkerung vorhanden sind.

Wenn die Bevölkerung jedoch sehr groß ist, auch wenn es keinen Ersatz gibt, ist es schwierig, dass dasselbe Element mehr als einmal ausgewählt wird.

Kann Ihnen dienen: Cubes Differenz: Formeln, Gleichungen, Beispiele, Übungen

Beispiele

Münzen startet

Co -Launchs sind sehr veranschaulichende Beispiele:

-Der Start einer ehrlichen Währung und ein Gesicht bekommen. Es ist bekannt, dass 1 Gesicht eine halbe Wahrscheinlichkeit des Verlassens und das Kreuz (0 Gesicht) hat, das gleiche. Die Verteilung ist in dieser Tabelle angezeigt:

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungstabelle, die dem Start von 1 ehrlicher Währung folgt. Quelle: f. Zapata

-Der gleichzeitige Schuss von zwei ehrliche Münzen und mögliche Gesichterzahlen, die erhalten werden können.

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungstabelle, die dem Start zweier ehrlicher Währung folgt, um ein Gesicht zu erhalten oder nicht. Quelle: f. Zapata

Variablen mit gleichmäßiger Verteilung

-Die Auswahl einer Ganzzahlnummer, die gerade oder ungerade ist: Jede ist Wahrscheinlichkeit, dass sie in der Menge der ganzen Zahlen ausgewählt werden kann.

-Der Start eines ehrlichen Würfel. In diesem Fall gibt es 6 nummerierte Gesichter und jeder hat die gleiche Wahrscheinlichkeit zu verlassen: 1/6.

-Die Auswahl eines Thema.

Variablen mit Binomialverteilung

-Anzahl der Gesichter, die durch den Start einer ehrlichen Münze herauskommen.

-Von einer Bevölkerung von 250 Familien, die Zahl dieser, die 2 Kinder haben.

-Die Anzahl der Überlebungen, die überleben, nach einem Gärtner 20 Rosales in einem Garten.

-Einer Studie mit 50 Patienten, die Anzahl von ihnen, die eine negative Reaktion auf ein Medikament darstellte.

-Die Anzahl der Studierenden, die in einer Wahrscheinlichkeitsprüfung zugelassen sind, einer Gruppe, die aus 100 Studenten besteht.

Variablen mit Poisson -Verteilung

-Anzahl der Anrufe pro Minute an Call Center Einer Firma.

-Anzahl der großen Erdbeben pro Jahr für ein bestimmtes geografisches Gebiet.

-Die Anzahl der Tornados, die im letzten Jahr eine bestimmte Region betroffen haben.

-Anzahl der mit einem Pilz infizierten Bäume pro Quadrat Hektar Wald.

Variablen mit hypergeometrischer Verteilung

-Erfolge von Zahlen oder Gewinnkombinationen beim Glücksspiel.

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-Auswahl einer bestimmten Anzahl von Frauen oder Männern in einer Probe von N -Fischen eines Fischbogens.

Gelöste Übungen

Übung 1

Eine Studie ergab, dass durch zufällig ausgewählte Erwachsene mit Smartphones 54% von ihnen in Unterricht oder Besprechungen verwenden. Sie möchten die Wahrscheinlichkeit finden, dass genau 6 von ihnen, die zufällig 8 Personen mit Smartphone ausgewählt werden, in Unterricht oder Besprechungen verwenden.

Lösung

Dieses Experiment stimmt einem Binomial -Experiment überein, da das Ergebnis binär ist: Eine Person nimmt das Telefon in den Unterricht oder nimmt es nicht heraus. Die Tatsache, dass die Person das Telefon verwendet, das im Unterricht steht, kann als Erfolg bezeichnet werden, und ein Fehler, wenn dies nicht der Fall ist (bevor erklärt wurde, dass diese Wahl völlig willkürlich ist).

In diesem Fall: p = 0.54 und q = 1- 0.54 = 0.46.

Da 8 Personen zufällig ausgewählt werden, dann sind n = 8 und der Wert von x 6 beträgt. Daher sind die erforderlichen Werte verfügbar, um sie in der Binomialverteilungsformel zu ersetzen:

Übung 2

In einem letzten Jahr registrierte eine Klinik 4221 Geburten. Bestimmen Sie mit diesen einzigartigen Daten die Wahrscheinlichkeit, dass es in 1 Tag 15 Geburten gibt. Ist diese Veranstaltung selten??

Lösung

Die Poisson -Verteilung wird verwendet, da sie gebeten wird, die Wahrscheinlichkeit eines Auftretens eines Ereignisses zu bestimmen, das in einem Zeitintervall auftritt. In diesem Fall ist die Variable die Menge an Geburten und das Intervall beträgt 1 Tag.

Die Poisson -Verteilungsformel benötigt die durchschnittliche Geburt pro Tag, was leicht berechnet werden kann:

Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit von x = 15 Geburten/Tag:

Das Ergebnis kann in Prozentsatz für Klarheit ausgedrückt werden: 6.42% wahrscheinlich, dass an jedem Tag genau 15 Geburten auftreten. Das Ereignis ist unwahrscheinlich, wenn auch in keinem Fall unmöglich.