Synthetische Abteilung

Wir erklären, was synthetische Aufteilung ist, eine Methode, dies zu tun, Beispiele und Übungen aufgelöst.

Was ist synthetische Aufteilung?

Der Synthetische Abteilung Es ist eine einfache Möglichkeit, ein Polynom p (x) durch eine der Form d (x) = x - c - c zu teilen. Zum Beispiel Polynom p (x) = (x⁵+3x⁴-7x³+2x²-8x+1) kann als Multiplikation der beiden einfachsten Polynome (x+1) und (x⁴ + 2x³).

Es ist ein sehr nützliches Instrument, da es uns nicht nur ermöglicht, Polynome zu teilen, auch ein p (x) Polynom in einer beliebigen Zahl C bewerten, was uns wiederum genau angibt, wenn diese Zahl eine Null ist oder nicht der Polynom.

Dank des Division -Algorithmus wissen wir, dass, wenn wir zwei p (x) und d (x) Polynom (x) + r (x) haben, wobei R (x) Null ist oder kleiner als q (x) ist. Diese Polynome sind als Quotient und Rückstand oder Ruhe bekannt.

In den Gelegenheiten, in denen Polynom D (x) von der X - C -Form ist, gibt uns die synthetische Teilung eine kurze Möglichkeit, herauszufinden, wer Q (x) und R (x) sind.

Synthetische Divisionsmethode

Sei P (x) = a_NX^N+Zu_N-1X^N-1+… +A₁x+a₀ Das Polynom, das wir teilen wollen und d (x) = x-c den Divisor. Um durch die Methode der synthetischen Division zu teilen, gehen wir wie folgt vor:

1- Wir schreiben die Koeffizienten von P (x) in der ersten Reihe. Wenn keine X -Leistung auftritt, setzen wir Null als Koeffizient ein.

2- In der zweiten Reihe links von a_N Wir platzieren C und zeichnen Abteilungslinien, wie in der folgenden Abbildung gezeigt:

3- Wir senken den führenden Koeffizienten in die dritte Reihe.

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In diesem Ausdruck b_N-1= a_N

4- Wir multiplizieren C mit dem führenden Koeffizienten B B_N-1 Und wir schreiben das Ergebnis in der zweiten Zeile, aber eine Spalte rechts.

5- Wir fügen die Spalte hinzu, in der wir das vorherige Ergebnis schreiben, und das Ergebnis wird unter diese Summe platziert. Das heißt in derselben Spalte dritte Zeile.

Durch das Hinzufügen haben wir als Ergebnis_N-1+c*b_N-1, Für den Komfort werden wir B anrufen_N-2

6- Wir multiplizieren C mit dem vorherigen Ergebnis und schreiben das Ergebnis rechts in der zweiten Reihe.

7- Wir wiederholen Schritt 5 und 6, bis wir den Koeffizienten erreichen₀.

8- Wir schreiben die Antwort, dh den Quotienten und den Rückstand. Da wir die Aufteilung eines Polynoms zwischen einem Polynom der Klasse 1 der Grad N durchführen, haben wir, dass der Quotient N-1 sein würde.

Die Koeffizienten des Quotientenpolynoms sind die Anzahl der dritten Reihe, mit Ausnahme der letzten, die das Restpolynom oder der Rest der Division sein wird.

Gelöste Übungen

Beispiel 1

Machen Sie die folgende Aufteilung nach der Methode der synthetischen Division:

(X⁵+3x⁴-7x³+2x²-8x+1): (x+1).

Lösung

Zuerst schreiben wir die Dividendenkoeffizienten wie folgt:

Dann schreiben wir C auf der linken Seite in der zweiten Reihe zusammen mit den Divisionszeilen. In diesem Beispiel c = -1.

Wir senken den führenden Koeffizienten (in diesem Fall b_N-1 = 1) Und wir multiplizieren es mit -1:

Wir haben sein Ergebnis rechts in der zweiten Reihe geschrieben, wie unten gezeigt:

Wir fügen die Nummern der zweiten Spalte hinzu:

Wir multiplizieren 2 mit -1 und schreiben das Ergebnis in der dritten Spalte, zweite Zeile:

Wir fügen in der dritten Spalte hinzu:

Wir gehen analog vor, bis wir die letzte Spalte erreichen:

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Daher haben wir, dass die letzte erhaltene Zahl der Rest der Teilung ist, und die verbleibenden Zahlen sind die Koeffizienten des Quotientenpolynoms. Dies ist wie folgt geschrieben:

Wenn wir überprüfen möchten, ob das Ergebnis korrekt ist, reicht es aus, zu überprüfen, ob die folgende Gleichung erfüllt ist:

P (x) = q (x)*d (x) + r (x)

Somit können wir überprüfen, ob das erhaltene Ergebnis korrekt ist.

Beispiel 2

Führen Sie die folgende Polynomabteilung nach der synthetischen Teilungsmethode durch:

(7x³-x+2): (x+2)

Lösung

In diesem Fall haben wir das der Begriff x² Es erscheint nicht, also werden wir 0 als Koeffizient schreiben. Somit würde das Polynom als 7x bleiben³+0x²-x+2.

Wir schreiben Ihre Koeffizienten in einer Reihe, das heißt:

Wir schreiben in der zweiten Reihe den Wert von c = -2 zur linken Seite und zeichnen die Teilungslinien.

Wir senken den führenden Koeffizienten b_N-1 = 7 und wir multiplizieren es mit -2 und schreiben ihr Ergebnis in der zweiten Reihe nach rechts.

Wir fügen wie zuvor erläutert hinzu und gehen weiter, bis wir die letzte Amtszeit erreichen:

In diesem Fall ist der Rest r (x) = -52 und der erhaltene Quotient ist q (x) = 7x²-14x+27.

Beispiel 3

Eine andere Möglichkeit, die synthetische Teilung zu verwenden, ist wie folgt.

Für den Abteilungsalgorithmus können wir das P (x) -Polynom wie folgt schreiben:

In diesem Ausdruck sind q (x) und r (x) der Quotient bzw. der Rest. Wenn nun d (x) = x-c in C im Polynom bewertet wird, finden wir Folgendes:

Aus diesem Grund bleibt es nur noch, R (x) zu finden, und wir können dies dank der synthetischen Spaltung tun.

Zum Beispiel haben wir Polynom p (x) = x⁷-9x⁶+19x⁵+12x⁴-3x³+19x²-37x-37 und wir möchten wissen, wie hoch sein Wert ist, wenn es bei x = 5 bewertet wird. Zu diesem Zweck führen wir die Trennung zwischen P (x) und d (x) = x -5 durch die Methode der synthetischen Teilung durch:

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Sobald die Operationen durchgeführt wurden, wissen wir, dass wir P (x) wie folgt schreiben können:

P (x) = (x⁶-4x⁵ -X⁴+ 7x³ +32x² +179x + 858)*(x-5) + 4253

Bei der Bewertung müssen wir daher:

P (5) = (5-4 (5) -5 +7 (5) +32 (5) +179 (5) +858)*(5-5) +4253

P (5) = (5-4 (5) -5 +7 (5) +32 (5) +179 (5) +858)*(0) +4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Wie wir sehen können, ist es möglich, die synthetische Teilung zu verwenden, um den Wert eines Polynoms bei der Bewertung in C zu finden, anstatt einfach C durch x zu ersetzen. 

Wenn wir versuchen, P (5) auf traditionelle Weise zu bewerten, brauchen wir einige Berechnungen, die normalerweise mühsam werden.

Beispiel 4

Der Abteilungsalgorithmus für Polynome ist auch für Polynome mit komplexen Koeffizienten erfüllt, und infolge. Als nächstes werden wir ein Beispiel sehen.

Wir werden die synthetische Teilungsmethode verwenden, um zu zeigen, dass z = 1+ 2i eine Null des Polynoms p (x) = x ist³+ (1+i) x² -(1+2i) x+(15+5i). Das heißt, der Rest der Teilung P (x) zwischen d (x) = x - z ist gleich Null.

Wir gehen wie zuvor fort: In der ersten Reihe schreiben wir die Koeffizienten von P (x), dann schreiben wir in der zweiten Zeile Z und zeichnen die Teilungslinien.

Wir machen die Aufteilung wie zuvor, das heißt:

Wir können sehen, dass der Rückstand Null ist; Daher schließen wir, dass Z = 1+ 2i eine Null von P (x) ist.

Verweise

1. Baldor, Aurelio. Algebra. Patria Redaktionsgruppe.
2. Demana, Waits, Foley & Kennedy. Precáculo: grafisch, numerisch, algebraisch. Pearson Ausbildung.