Kontinuitätsgleichung

Wir erklären, wie die Kontinuitätsgleichung, ihre Formel, Anwendungen, Beispiele und Übungen zur Lösung vorgeschlagen werden

Was ist die Kontinuitätsgleichung??

Der Kontinuitätsgleichung, Für inkompressible Flüssigkeit legt sie fest, dass die Gesamtmasse einer Flüssigkeit, die durch ein Rohr ohne Verlust oder Gewinne zirkuliert, konstant bleibt. Mit anderen Worten, der Teig wird ohne Änderungen erhalten, wenn sich die Flüssigkeit bewegt.

Eine inkompressible Flüssigkeit ist die, deren Dichte während des Fließens ungefähr konstant bleibt. Zum Beispiel ist Wasser eine Flüssigkeit, die unter Standarddruck- und Temperaturbedingungen inkompressibel angesehen wird.

Es gibt eine mathematische Methode, um die Erhaltung der Masse in der Kontinuitätsgleichung auszudrücken, gegeben durch:

ZU₁∙ v₁ = A₂∙ v₂

Wo v₁ und v₂ Sie repräsentieren die Geschwindigkeit der Flüssigkeit in zwei Abschnitten eines Rohrs, während₁ bereits₂ Sie sind die jeweiligen Kreuzungsgebiete.

Das Produkt des Kreuzungsbereichs durch Geschwindigkeit wird genannt Fluss Und die Kontinuitätsgleichung impliziert, dass der Durchfluss im gesamten Rohr konstant ist. Der Fluss ist auch als bekannt als Volumenflussrate, Es wird verstanden, indem der vorherige Ausdruck sorgfältig beobachtet wird, dessen Dimensionen Volumen pro Zeiteinheit sind.

Formel

Die Kontinuitätsgleichung für den Flüssigkeitsfluss entlang eines Rohrs mit unterschiedlichen Durchmessern. Quelle: Wikimedia Commons/f. Zapata.

Im oberen Bild befindet sich ein Rohr mit zwei Abschnitten mit unterschiedlichem Durchmesser und in der gleichen Höhe, obwohl sie sich in verschiedenen Höhen haben könnten, ohne ein Problem darzustellen.

In Abschnitt 1, breiter, ist der Querschnittsbereich zu₁ und die Flüssigkeit bewegt sich mit Geschwindigkeit v₁, In Abschnitt 2, schmaler, ist der Kreuzungsbereich zu₂ und die Geschwindigkeit der Flüssigkeit ist V₂.

Ein Teiganteil ΔM₁ (grün) bewegt sich in einer Zeit Δt nach Abschnitt 1. In diesem Zeitraum der Teil ΔM₂ (Rot) Durch Abschnitt 2 reisen. Da die Flüssigkeit inkompressibel ist, ist ihre Dichte in allen Punkten gleich, sodass die Definition der Dichte beginnt:

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Hier ist ρ Dichte, M ist die Masse und das V -Volumen. Danach die Masse ΔM₁ ist gleich:

ΔM₁ = ρ ∙ v₁

Wo Band v₁ Es ist das Produkt zwischen dem Querschnitt und dem Abstand Δx₁:

ΔM₁ = ρ ∙ (a₁ ∙ Δx₁)

Aber seit:

Dann der Teiganteil ΔM₁ Sie können in Bezug auf Geschwindigkeit und Zeit δt als:

ΔM₁ = ρ ∙ a₁ ∙ Δx₁ = ρ ∙ a₁ ∙ (v₁ ∙ ΔT)

ANALOG Der Teil ΔM ist geschrieben₂ Das fließt gleichzeitig nach Abschnitt 2:

ΔM₂ = ρ ∙ a₂ ∙ Δx₂ = ρ ∙ a₂ ∙ (v₂ ∙ ΔT)

Durch Erhaltung der Masse:

ΔM₁ = Δm₂

UND:

ρ ∙ a₁ ∙ v₁ ∙ δt = ρ ∙ a₂ ∙ v₂ ∙ ΔT

Wenn ΔT und ρ aufgehoben werden, Ergebnisse:

ZU₁ ∙ v₁ = A₂ ∙ v₂

Der Fluss q

Das Produkt des Querschnitts A nach der Geschwindigkeit der Flüssigkeit V wird als Fluss bezeichnet und bezeichnet als q. Es entspricht dem Flüssigkeitsvolumen pro Zeiteinheit durch das Rohr oder der Volumenflussrate:

 V Volumen und Δt das Zeitintervall. Die Durchflussrate im internationalen Einheitensystem ist m³/s, obwohl Kubikfuß, Gallonen/min, Gallonen/s a Liter/s und Gallonen/s häufig sind. Einige der am häufigsten verwendeten Konvertierungsfaktoren sind die folgenden:

• 1 m³/S = 264.172 GAL/S
• 1 l/s = 0.001 m³/S
• 1 ft³/S = 0.0283168 m³/S
• 1 l/s = 0,264172 gal/s
• 1 m³/S = 15850,3 gal/min

Beachten Sie, dass durch Verringerung des Querschnitts des Rohrs die Geschwindigkeit der Flüssigkeit zunimmt und umgekehrt, wenn der Querschnitt zunimmt.

Anwendungen und Beispiele

Die Kontinuitätsgleichung wird bei der Analyse des Fluidflusss in Kombination mit der Bernoulli -Gleichung verwendet, in der die Variationen der Geschwindigkeit der Flüssigkeit in den verschiedenen Abschnitten berücksichtigt werden, sowie die Druckänderungen und die Auswirkung der Höhe.

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Beispiel 1

Im Familiengartenschlauch, wenn das Wasser normalerweise den Jet verlässt.

Hier wird die Kontinuitätsgleichung erfüllt, da durch Verringern der Fläche der Ausgangsdüse die Geschwindigkeit des Strahls so steigt, dass die Geschwindigkeitsfläche durch Geschwindigkeit konstant ist.

Beispiel 2

Der Wasserstrahl verengt sich, wenn er fällt, da seine Geschwindigkeit zunimmt. Auf diese Weise bleibt die Produktgeschwindigkeit pro Fläche konstant

Ein weiteres Beispiel, bei dem die Kontinuitätsgleichung hervorgehoben wird.

Auf diese Weise ist der Fluss konstant, während der Strahl weiter in einem laminaren Regime fließt, dh das Wasser fällt sanft ohne Turbulenzen oder Wirbel.

Gelöste Übungen

Übung 1

Wasser zirkuliert durch ein Rohr von 20 cm Durchmesser. Wenn Sie wissen, dass der Fluss 2000 l/s beträgt, finden Sie die Wassergeschwindigkeit im Rohr.

• Lösung

Es ist zweckmäßig, alles in Einheiten des internationalen Systems auszudrücken. Zunächst wird der Querschnittsabschnitt des Rohrs berechnet und erinnert sich daran, dass der Radius halb des Durchmessers beträgt:

A = π ∙ (d/2)²

D = 20 cm = 0.2 m

Daher ist der Bereich:

A = π ∙ (d/2)² = A = π ∙ (0).2 m /2)² = 0.0314 m².

Der Fluss wird in m ausgedrückt³/s Mit Hilfe des entsprechenden Konvertierungsfaktors:

Q = 2000 l/s = 2 m³/S

Aus der Formel q = A ∙ V Die Geschwindigkeit, mit der das Flüssigkeit durch das Rohr zirkuliert:

Übung 2

Sie haben ein variables Kreuzungsrohr, durch das Wasser fließt. An einem bestimmten Punkt beträgt der Querschnitt 0.070 m² Und die Wassergeschwindigkeit beträgt 3.50 m/s. Berechnung:

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a) Die Wassergeschwindigkeit an einem anderen Punkt in dem Rohr, dessen Querschnittsbereich 0 beträgt.105 m².

b) Das Wasservolumen, das in 1 Stunde durch ein offenes Ende entladen wird.

• Lösung für

Die Kontinuitätsgleichung wird verwendet, wobei der Fluss des ersten Punktes mit dem Fluss des zweiten entspricht. Der Fluss ist:

Q = a ∙ v

Für Kontinuität:

Q₁ = Q₂

ZU₁ ∙ v₁ = A₂ ∙ v₂

Jetzt ersetzen sie die Daten, die durch die Anweisung bereitgestellt wurden:

• ZU₁ = 0.070 m²
• v₁ = 3.50 m/s
• ZU₂ = 0.105 m²
• v₂ =?

Und löscht v₂:

Lösung b

Da der Fluss auch das Volumen pro Zeiteinheit ist, muss er:

Daher ist Volumen V:

V = q ∙ Δt = (a ∙ v) Δt

Der Fluss, der mit den Daten von Punkt 1 oder denen von Punkt 2 berechnet werden kann, da er an beiden Punkten gleich ist:

Q = a₁ ∙ v₁ = 0.070 m² ∙ 3.50 m/s = 0.245 m³ / S

Wenn Sie wissen, dass 1 Stunde = 3600 s, beträgt das Wasservolumen::

V = q ∙ δt = (0).245 m³ / s) × (3600 s) = 882 m³

In 1 Stunde werden 882 m heruntergeladen³ Wasser durch das Rohr.