Allgemeine Parabola -Gleichung (Beispiele und Übungen)

Der Parable General Gleichung enthält quadratische Begriffe in X und in Und, sowie lineare Begriffe in beiden Variablen plus einem unabhängigen Begriff. Die erste Symmetrieachse ist parallel zur vertikalen Achse und die der zweiten ist die horizontale Achse.

Im Allgemeinen die quadratische Gleichung, der der gekreuzte Begriff fehlt Xy Es ist geschrieben als:

Axt² + Cy² +Dx + ey + f = 0

Die Werte von A, C, D, E und F sind reelle Zahlen. Wenn Sie die Bedingungen bei ∙ c = 0 und a+c ≠ 0 auferlegen, ist die Kurve, die aus der Grafik der Punkte entsteht, die diese Gleichung erfüllen.

Fall 1

Für ein vertikales Gleichnis lautet seine allgemeine Gleichung:

Axt² + Dx + ey + f = 0

Wo a und e unterscheiden sich von 0. Mit anderen Worten, wenn ein Begriff mit x erscheint², Das Gleichnis ist vertikal.

Fall 2

Für das horizontale Gleichnis, das Sie haben, haben Sie:

Cy² + Dx + ey + f = 0

Hier unterscheiden sich C und D auch von 0, daher entspricht der quadratische Term und und².

In jedem Fall ist die allgemeine Gleichung des Gleichnisses in einer der Variablen quadratisch und in der anderen linear.

Parabelelemente

Figur 2. Parabelelemente. Die Entfernungen QF und QH sind gleich. Quelle: Wikimedia Commons.

Die Parabola, definiert als geometrischer Ort, besteht aus den Punkten einer Ebene, die von einem anderen Punkt aus gleichzusetzen genannt werden Fokus Und auch einer Linie, bekannt als als Gerade Richtlinie.

Aus der allgemeinen Gleichung ist es möglich, das Gleichnis zu untersuchen, indem ihre Elemente angegeben werden. Einschließlich des Fokus und der Richtlinie, diese Elemente, die kurz beschrieben wurden, sind:

-Achse, Dies kann auf die Symmetrieachse der Parabel bezieht, kann horizontal (parallel zur Achse der Abszisse) oder vertikal (parallel zur Achse der Ordinaten) sein.

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-Orientierung, was wiederum der Ausrichtung der Achse entspricht. Das Gleichnis ist vertikal, wenn ihre Symmetrieachse vertikal ist und horizontal ist, wenn die Achse auch ist.

-Scheitel, Es ist der Punkt, an dem die Achse das Gleichnis schneidet.

-Fokus, Punkt auf der Achse, innerhalb des Gleichnisses und in einiger Entfernung P des Scheitelpunkts. Alle Punkte des Parabola -Äquidisten im Fokus und auf die Richtung der Richtlinie.

-Parameter, Es ist die Entfernung P Zwischen dem Fokus und dem Scheitelpunkt.

-Gerade Richtlinie, das ist senkrecht zur y -Achse und auch eine Entfernung P des Scheitelpunkts des Gleichnisses, überschneidet ihn aber nicht, da es sich außen befindet.

-Gerade Seite, Es ist das Seil, das den Fokus durchläuft und das Gleichnis in zwei Punkten überschneidet, senkrecht zu seiner Achse.

-Exzentrizität, Das im Fall der Parabel ist immer 1 wert.

-Grafische Darstellung.

Informationen zur Bestimmung aller dieser Elemente sind in der allgemeinen Gleichung enthalten.

Die kanonische Form

Um die Elemente der Parabola zu bestimmen, ist es manchmal zweckmäßig, die allgemeine Form an die kanonische Form derselben zu übergeben, mittels der Methode, Quadrate in der quadratischen Variablen zu vervollständigen.

Diese kanonische Form lautet:

(X-h)² = 4p (y-k)

Wobei Punkt (h, k) der Scheitelpunkt V des Gleichnisses ist. Die kanonische Form der allgemeinen Gleichung kann ebenfalls werden, die bemerkenswerte Produkte entwickeln und die Begriffe neu anordnen.

Beispiele

Beispiel 1

Im Allgemeinen sind Parabola -Gleichungen:

A) 4x² + 5y - 3 = 0

b) 1 - 2y + 3x -und² = 0

In a) Die Koeffizienten werden identifiziert: a = 4, c = 0, d = 0, e = 5, f = -3. Es ist ein Gleichnis, dessen Symmetrieachse vertikal ist.

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Seinerseits in b) die allgemeine Gleichung bleibt:

- Und² + 3x - 2y + 1 = 0

Und die Koeffizienten sind: c = -1, d = 3, e = -2 und f = 1.

Beispiel 2

Das nächste Gleichnis ist in einer kanonischen Form:

(Y-1)² = 6 (x-3)

Um seine allgemeine Gleichung zu finden, wird das bemerkenswerte Produkt entwickelt und die Klammung rechts durchgeführt:

Und² -2y + 1 = 6x -18

Jetzt werden alle Bedingungen links übergeben und bequem gruppiert:

Und² -2y + 1- 6x +18 = 0 → und² - 6x -2y + 19 = 0

Wie der quadratische Begriff ist und² Es ist ein horizontales Gleichnis. Die Koeffizienten sind:

C = 1; D = -6; E = -2, f = 19.

Gelöste Übungen

Übung 1

Das nächste Gleichnis wird im Allgemeinen gegeben:

X² -10x -12y - 11 = 0

Es wird gebeten, es in die kanonische Form zu schreiben.

Lösung

Gehen Sie in die kanonische Form, die durch Fertigstellung von Quadraten in diesem Fall in Variable x erreicht wird. Die Begriffe in X beginnen in Klammern:

(X² -10x) -12y - 11 = 0

Sie müssen das, was in Klammern ist², Das muss natürlich abgezogen werden, da sonst der Ausdruck verändert wird. Es bleibt so:

(X² –10x+5²) –12y - 11–5²= 0

Die drei Begriffe in Klammern sind das perfekte quadratische Trinom (x-5)². Es kann überprüft werden, indem dieses bemerkenswerte Produkt zur Bestätigung entwickelt wird. Jetzt bleibt das Gleichnis:

(X-5)² -12y -36 = 0

Was folgt, bedeutet, die Begriffe außerhalb der Klammern zu berücksichtigen:

(X-5)² -12 (y +3) = 0

Das verwandelt sich schließlich in:

(X-5)² = 12 (y +3)

Beispiel 2

Finden Sie die Elemente des vorherigen Gleichnisses und erstellen Sie Ihre Grafik.

Lösung

Scheitel

Der Scheitelpunkt der Parabel hat Koordinaten V (5, -3)

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Achse

Die Zeile x = 5.

Parameter

Bezüglich des Parameterwerts P Das erscheint in der kanonischen Form: (x-H)² = 4p (y-k) vergleicht beide Gleichungen:

4p = 12

P = 12/4 = 3

Orientierung

Dieses Gleichnis ist vertikal und öffnet sich. Da sich der Scheitelpunkt bei x = 5, y = -3 befindet, ist die Symmetrieachse die vertikale Linie x = 5.

Fokus

Der Fokus liegt auf der Zeile x = 5, daher hat es auch eine Koordinate x = 5.

Die Koordinate Und des Fokus müssen P-Einheiten über k sein, dh p + k = 3 + (-3) = 0, dann liegt der Fokus am Punkt (5,0).

Gerade Richtlinie

Es ist senkrecht zur Achse, daher ist es von der Form y = c, jetzt, da ein Abstand p vom Scheitelpunkt weit davon entfernt ist, aber außerhalb des Gleichnisses bedeutet es, dass es in einem Abstand p unter k ist:

y = k -p = -3-3 = -6

Gerade Seite

Dieses Segment schneidet das Gleichnis ab, durchläuft den Fokus und ist parallel zur Richtlinie. Daher ist es in der Zeile y = 0 enthalten.

Grafische Darstellung

Es kann problemlos von kostenloser Online -Grafiksoftware wie Geogebra erhalten werden. In der Eingangsbox ist es wie folgt platziert:

Figur 3. Grafik des Gleichnisses x² -10x -12y - 11 = 0. Quelle: f. Zapata.

Verweise

1. Baldor. 1977. Elementaralgebra. Venezolanische Kulturausgaben.
2. Hoffman, J. Auswahl der Mathematikfragen. Band 2.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Stewart, J. 2006. Präzision: Mathematik zur Berechnung. 5. Auflage. Cengage Lernen.
5. Zill, d. 1984. Algebra und Trigonometrie. McGraw Hill.