Gleichungsformel der ersten Klasse, wie man sie lösen, Beispiele, Übungen

Der Erste Grad- oder lineare Gleichungen Mit einem Unbekannten sind diejenigen, die auf folgende Weise als Summe von zwei Begriffen ausgedrückt werden können:

ax + b = 0

Wo A und B, mit Zu ≠ 0, sind reelle Zahlen r oder auch Komplexe c. Um es zu lösen, werden Begriffe transponiert, was bedeutet, die Begriffe von einer Seite zur Gleichheit zu ändern.

Abbildung 1. Eine lineare Gleichung ist y = mx + c Form mit y = 0. Quelle: pxhere.

Um das Unbekannte zu löschen, wird der Begriff +B transponiert, der mit einem veränderten Zeichen auf die rechte Seite der Gleichheit gehen muss.

ax = -B

Dann wird der Wert von X auf diese Weise gelöscht:

x = - b/a

Als Beispiel werden wir die folgende Gleichung lösen:

6x - 5 = 4

Wir transponieren den Begriff -5 mit einem geänderten Zeichen auf die rechte Seite:

6x = 4 + 5

Dies entspricht dem Hinzufügen von 5 auf beiden Seiten der ursprünglichen Gleichung: 5:

6x - 5 + 5 = 4 + 5 → 6x = 9

Und jetzt klären wir das unbekannte "x":

x = 9/6 = 3/2

Das entspricht der Aufteilung beide Seiten der Gleichheit durch 6. So können wir Folgendes bewerten, um die Lösung zu erhalten:

-Die gleiche Menge kann bei einer Gleichung hinzugefügt oder beide Seiten der Gleichheit subtrahiert werden, ohne sie zu ändern.

-Sie können sich auch mit dem gleichen Betrag nach links und rechts von der Gleichung mit dem gleichen Betrag multiplizieren (dividieren).

-Und wenn beide Mitglieder einer Gleichung zu derselben Macht steigen, wird auch die Gleichheit nicht verändert.

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Wie man Gleichungen ersten Grades lösen

Die Lösung einer Gleichung ersten Grades ist auch als Wurzel derselben bekannt. Es ist der Wert von x, der den ursprünglichen Ausdruck in eine Gleichheit umwandelt. Zum Beispiel in:

5x = 8x - 15

Wenn wir x = 5 in dieser Gleichung ersetzen, wird es erhalten:

5 Plan

25 = 40 - 15

25 = 25

Da die linearen Gleichungen ersten Grades in vielerlei Hinsicht, die manchmal nicht erkennbar sind, gibt es eine Reihe allgemeiner Regeln, die mehrere algebraische Manipulationen umfassen, um den Wert des Unbekannten zu finden:

-Wenn Operationen angegeben sind, müssen diese erstens durchgeführt werden.

-Gruppierung von Symbolen wie Klammern, Quadratklammern und Schlüssel, wenn sie existieren, müssen durch Aufrechterhaltung der entsprechenden Zeichen unterdrückt werden.

-Die Begriffe werden verkehrt, um alle zu platzieren, die das Unbekannte einer einzelnen Seite der Gleichheit enthalten, und diejenigen, die es nicht an die anderen enthalten.

-Dann werden alle ähnlichen Begriffe reduziert, um die Form zu erreichen ax = -B.

-Und der letzte Schritt besteht darin, das Unbekannte zu löschen.

Grafische Interpretation

Die zu Beginn erhobene Gleichung ersten Grades kann aus der Gleichung der Linie y = mx+c abgeleitet werden, die y = 0 läuft. Der Wert von x, der die Ergebnisse entspricht, entspricht dem Schnittpunkt der Linie mit der horizontalen Achse.

In der folgenden Abbildung haben Sie drei Zeilen. Beginnend mit der grünen Linie, deren Gleichung lautet:

Kann Ihnen dienen: Faktorisierung

y = 2x - 6

Y = 0 in der Linie der Linie machen Die Gleichung ersten Grades wird erhalten:

2x - 6 = 0

Deren Lösung ist x = 6/2 = 3. Wenn wir nun das Diagramm beschreiben, ist es leicht zu erkennen, dass die Linie tatsächlich bei x = 3 zur horizontalen Achse schneidet.

Die blaue Linie schneidet die x -Achse bei x = 5, was die Lösung für die Gleichung -x + 5 = 0 ist. Schließlich ist die Linie, deren Gleichung y = 0 ist.5x + 2 Schnitt auf die x -Achse bei x = -4, was leicht vor der Gleichung ersten Grades gewarnt werden kann:

0.5 x + 2 = 0

x = 2/0.5 = 4

Figur 2. Drei Linien, deren Kreuzungen mit der horizontalen Achse linearen Gleichungen entsprechen. Quelle: Wikimedia Commons.

Beispiele für einfache lineare Gleichungen   

Ganze Gleichungen

Sie sind diejenigen, in deren Begriffe es keine Nenner gibt, zum Beispiel:

21 - 6x = 27 - 8x

Seine Lösung ist:

-6x + 8x = 27 - 21

2x = 6

x = 3

Bruchgleichungen

Diese Gleichungen enthalten mindestens einen anderen Nenner von 1. Um sie zu lösen, ist es ratsam.

Die folgende Gleichung ist ein Bruchtyp:

Die Nenner sind 6, 8 und 12 und ihr minimales gemeinsames Mehrfacher, bezeichnet als m.C.M (6, 8,12) ist die geringste der Zahlen, die diese Nenner enthalten.

Da diese Zahlen klein sind, ist es nicht schwer zu erkennen, dass m.C.M (6, 8,12) = 24. Dieses Ergebnis kann leicht erzielt werden, indem Zahlen als Produkt von Primzahlen oder ihren Kräften ausgedrückt werden, sehen wir:

6 = 3.2

8 = 2³

12 = 2²⋅3

Das minimale gemeinsame Vielfache wird durch Multiplizieren der gemeinsamen und nicht kommenden Faktoren von 6, 8 und 12 mit seinem größten Exponenten bestimmt:

MCM (6,8,12) = 2³ ⋅3 = 8 × 3 = 24

Da das minimale gemeinsame Multiple verfügbar ist, muss es mit jedem der Gleichungen multipliziert werden:

Auf diese Weise werden die Nenner unterdrückt und es gibt eine Gleichung mit Produkten, die leichter zu lösen sind:

4 (x+5) -3 (2x+3) = 2 (1-5x)

Wir nutzen Verteilungseigenschaften:

4x + 20 - 6x -9 = 2 - 10x

Alle Begriffe, die das unbekannte "x" enthalten, sind auf der linken Seite der Gleichheit gruppiert, sodass die unabhängigen oder numerischen Begriffe der rechten Seite bleiben:

4x - 6x + 10 x = 2 +9 - 20

8x = -9

x = - 9/8

Wörtliche Gleichungen

Sie sind lineare Gleichungen mit einem Unbekannten, die jedoch von buchstäblichen Koeffizienten (Buchstaben) begleitet werden. Diese Buchstaben werden so behandelt, wie es mit den Zahlen geschehen würde. Ein Beispiel für eine buchstäbliche erste Gradgleichung ist:

-3AX + 2a = 5x - B

Diese Gleichung wird auf die gleiche Weise gelöst, als ob die unabhängigen Begriffe und Koeffizienten numerisch wären:

-3AX - 5x = - B - 2a

Faktor des unbekannten "x":

x (-3a - 5) = - b - 2a

x = ( - b - 2a) / (-3a - 5) → x = (2a + b) / (3a + 5)

Gleichungssysteme ersten Grades 

Gleichungssysteme bestehen aus einer Reihe von Gleichungen mit zwei oder mehr Unbekannten. Die Systemlösung besteht aus Werten, die Gleichungen gleichzeitig erfüllen, und um sie eindeutig zu bestimmen, muss es für jede Unbekannte eine Gleichung geben.

Kann Ihnen dienen: Vektoralgebra

Die allgemeine Form eines Systems von M Lineare Gleichungen mit N Unbekannte ist:

Zu_elfX₁ + Zu₁₂X₂ +… Zu_1nX_N = b₁
Zu_{einundzwanzig}X₁ + Zu₂₂X₂ +… Zu_2nX_N = b₂
..
Zu_M1X₁ + Zu_M2X₂ +… Zu_mnX_N = b_M

Wenn das System eine Lösung hat, wird gesagt, dass es ist bestimmt kompatibel, Wenn es eine unendliche Menge von Werten gibt, die es befriedigen, ist es unbestimmt kompatibel, Und schließlich, wenn es keine Lösung hat, dann ist es es unvereinbar.

Bei der Auflösung der Systeme für lineare Gleichungen werden verschiedene Methoden verwendet: Reduktion, Ersatz, Ausgleich, Grafikmethoden, Gauß-Jordanische Eliminierung und die Verwendung von Determinanten gehören zu den am häufigsten verwendeten. Es gibt jedoch andere Algorithmen, die die Lösung erreichen, die für Systeme mit vielen Gleichungen und Unbekannten bequemer sind.

Ein Beispiel für ein System linearer Gleichungen mit zwei Unbekannten ist:

8x - 5 = 7y - 9
6x = 3y + 6

Die Lösung dieses Systems wird später in den Abschnitt mit gelösten Übungen eingereicht.

Lineare Gleichungen mit absolutem Wert

Der absolute Wert einer reellen Zahl ist der Abstand zwischen ihrer Position in der Zahlenlinie und der 0 derselben. Ein Abstand sein Wert ist immer positiv.

Der absolute Wert einer Zahl wird durch Modulbalken bezeichnet: │x│. Der absolute Wert einer positiven oder negativen Zahl ist beispielsweise immer positiv:

│+8│ = 8

│-3│ = 3

In einer Gleichung mit absolutem Wert liegt das Unbekannte zwischen Modulstangen. Betrachten Sie die folgende einfache Gleichung:

│x│ = 10

Es gibt zwei Möglichkeiten, die erste ist, dass X eine positive Zahl ist. In diesem Fall haben wir:

x = 10

Und die andere Möglichkeit ist, dass x in diesem Fall eine negative Zahl ist:

x = -10

Dies sind die Lösungen dieser Gleichung. Lassen Sie uns nun ein anderes Beispiel sehen:

│x+6│ = 11

Die Menge in den Balken kann dann positiv sein:

x+6 = 11

x = 11 -6 = 5

Oder kann negativ sein. In diesem Fall:

-(x+6) = 11

-x - 6 = 11 ⇒ -x = 11+6 = 17

Und der Wert des Unbekannten ist:

x = -17

Diese absolute Wertgleichung hat daher zwei Lösungen: x₁ = 5 und x₂ = -17. Wir können überprüfen, ob beide Lösungen zu Gleichheit in der ursprünglichen Gleichung führen:

│5+6│ = 11

│11│ = 11

UND

│-17+6│ = 11

│-11│ = 11

Einfache gelöste Übungen

- Übung 1

Lösen Sie das folgende System linearer Gleichungen mit zwei Unbekannten:

8x - 5 = 7y -9
6x = 3y + 6

Lösung

Während dieses Systems ist es für die Verwendung der Ersatzmethode geeignet, da in der zweiten Gleichung das Unbekannte X Es ist fast bereit für die Freigabe:

x = (3y + 6)/6

Kann Ihnen dienen: algebraisch

Und Sie können sofort die erste Gleichung ersetzen, die dann zu einer ersten Gradgleichung mit unbekanntem "Y" wird:

8 [(3y + 6)/6] - 5 = 7y - 9

Der Nenner kann unterdrückt werden, wenn jeder Begriff mit 6 multipliziert wird:

6 . 8offe [(3y + 6)/6] - 6.5 = 6 .7y- 6 . 9

800 (3y + 6) - 30 = 42y - 54

Anwendung von Verteilungseigenschaften im ersten Term nach dem Recht der Gleichstellung:

24y + 48 -30 = 42y - 54 ⇒ 24y + 18 = 42y - 54

Die Gleichung kann vereinfacht werden, da alle Koeffizienten ein Vielfaches von 6 sind:

4y + 3 = 7y - 9

-3y = -12

y = 4

Mit diesem Ergebnis gehen wir zur Freigabe von X:

x = (3y +6)/6 → x = (12 +6)/6 = 3

- Übung 2

Lösen Sie die folgende Gleichung:

Lösung

In dieser Gleichung werden Produkte erscheinen und die Anweisungen zu Beginn müssen zuerst entwickelt werden:

3x - 10x +14 = 5x + 36x + 12

Dann werden alle Begriffe, die die Unbekannten enthalten, auf der linken Seite der Gleichheit getragen, und auf der rechten Seite werden die unabhängigen Begriffe:

3x - 10x - 5x - 36x = 12 - 14

-48x = -2

x = 1/24

- Übung 3

Durch Hinzufügen der drei Innenwinkel eines Dreiecks wird 180º erhalten. Das größte übersteigt das Kind in 35 °, und dies wiederum überschreitet 20 ° den Unterschied zwischen dem größten und Medium. Was sind die Winkel?

Lösung

Wir werden "x" zum großen Winkel "y" zum Medium und "Z" zum Kind anrufen. Wenn die Erklärung besagt, dass die Summe von ihnen 180 ° beträgt, können Sie schreiben:

x + y + z = 180

Dann wissen wir, dass das älteste das Kind 35º überschreitet, wir können Folgendes schreiben:

X = z + 35

Schließlich überschreitet das Kind 20 º bis zur Differenz zwischen dem größten und Medium:

Z = x - y + 20

Wir haben ein System von 3 Gleichungen und 3 Unbekannten:

x + y + z = 180

X = z + 35

Z = x - y + 20

Durch die Löschen der ersten Gleichung haben Sie:

Z = 180 - x - y

Passen die dritte:

180 - x - y = x - y + 20

Die Unbekannten wie immer an die linke Seite weitergeben:

-x - y - x + y = 20 - 180

Das "y" wird abgesagt und bleibt bleibt:

-2x = - 160

x = 80º

Die zweite Gleichung ist der Wert von z:

Z = x - 35 = 80 - 35 = 45º

Und der Wert von und ist der erste oder dritte:

y = 180 - x - z = 180 - 80 - 45 = 55º

Verweise

1. Baldor. 1977. Elementaralgebra. Venezolanische Kulturausgaben.
2. Monterey Institute. Gleichungen, Ungleichheiten und absoluter Wert. Erholt von: Montereyinstitute.Org.
3. Online -Lehrer. Klassifizierung linearer oder erster Gradgleichungen. Erholt von: Professor Inline.Cl.
4. Hoffman, J. Auswahl der Mathematikfragen. Band 2.
5. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
6. Zill, d. 1984. Algebra und Trigonometrie. McGraw Hill.