Gleichungsformel zweiter Grades, wie man sie löst, Beispiele, Übungen

Der Zweite Grad- oder quadratische Gleichungen Und ein Unbekanntes hat die Form Axt² + BX + C = 0. Wobei a ≠ 0, da 0, die Gleichung in eine lineare Gleichung umgewandelt wird, und die Koeffizienten A, B und C reelle Zahlen sind.

Das Unbekannte, das bestimmt wird, ist der Wert von x. Zum Beispiel die 3x -Gleichung² - 5x + 2 = 0 ist eine vollständige Gleichung zweiten Grades.

Abbildung 1. Die Formel zur Lösung zweiter Grad- oder quadratischer Gleichungen eines Unbekannten

Es gibt auch Varianten, die als unvollständige zweite Gradgleichungen bezeichnet werden, denen eine der Begriffe fehlt, außer den von Axt². Hier sind einige Beispiele:

X² - 25 = 0

3x² - 5x = 0

Al Juarismi, der berühmte arabische Mathematiker der Antike, beschrieben in seinen Werken verschiedene Arten von Gleichungen in erster und zweiten Grades, jedoch nur mit positiven Koeffizienten. Es war jedoch die französische Mathematik Resolvent:

Dies ist eine allgemeine Formel, die es ermöglicht, eine quadratische Gleichung zu lösen und die Wurzeln oder Nullen derselben zu finden, auch wenn die Lösungen nicht real sind. Es gibt auch andere Möglichkeiten, sie zu lösen.

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So lösen Sie Gleichungen der zweiten Klasse?

Zweite Gradgleichungen können durch die oben angegebene Formel gelöst werden, und es gibt auch andere algebraische Verfahren, die in einigen Gleichungen funktionieren können.

Wir werden die vorgeschlagene Gleichung zu Beginn mit der Formel lösen, einer gültigen Methode für jede Gleichung zweiten Grades mit Unbekannten:

3x² - 5x + 2 = 0

Um die Formel zu verwenden, bemerken wir korrekt:

• Zu Es ist der Koeffizient des Begriffs mit x²
• B Es ist der Koeffizient des linearen Begriffs
• C ist der unabhängige Begriff.

Identifizieren wir sie aus derselben Gleichung:

A = 3

B = -5

C = 2

Beachten Sie, dass das Zeichen, das den Koeffizienten begleitet, berücksichtigt werden muss. Jetzt ersetzen wir diese Werte in der Formel:

Im Zähler ist das Symbol für „mehr - weniger“ ±, was darauf hinweist, dass die Menge mit Wurzel als positiv und auch als negativ angenommen werden kann. Eine Gleichung zweiten Grades hat maximal zwei reale Lösungen, und dieses Symbol berücksichtigt es.

Rufen wir x an₁ und x₂ Zu diesen beiden Lösungen dann:

X₁ = (5+1) / 6 = 1

X₂ = (5-1)/6 = 4/6 = 2/3

Auflösung durch Faktorisierung

Einige Gleichungen zweiten Grades bestehen aus Trinomen, die leicht faktorisch sind. Wenn ja, ist diese Methode viel schneller. Betrachten Sie die Gleichung:

X² + 7x - 18 = 0

Faktorisierung hat diese Form:

Kann Ihnen dienen: Kongruenz: Kongruent -Zahlen, Kriterien, Beispiele, Übungen

(x +) ≤ (x -)

Die leeren Räume sind mit zwei Zahlen gefüllt, die, wenn sie in 18 multipliziert werden, und wenn sie abgezogen werden, 7 sind 7. Die Zeichen in Klammern werden mit diesem Kriterium ausgewählt:

-In der ersten Klammer wird das Zeichen zwischen dem ersten und dem zweiten Term platziert.

-Und in der zweiten Klammern geht das Produkt der Zeichen, die gesehen werden.

Die Zahlen sind in diesem Fall leicht: Sie sind 9 und 2. Der älteste wird immer in der ersten Klammung wie folgt platziert:

X² + 7x - 18 = (x + 9). (x - 2)

Der Leser kann durch die Verteilungseigenschaft suchen, die bei der Entwicklung des Produkts der rechten Seite der Gleichheit das Trinom der linken erhalten wird. Jetzt wird die Gleichung umgeschrieben:

(x + 9) ≤ (x - 2) = 0

Damit die Gleichheit erfüllt wird, reicht es aus, dass einer der beiden Faktoren Null ist. In der ersten muss es also getan werden₁ = -9 oder es kann sein, dass der zweite Faktor in diesem Fall x abgebrochen wird₂ = 2. Dies sind die Gleichungslösungen.

Grafikmethode

Die Wurzeln oder Lösungen der Gleichung zweiten Grades entsprechen den Schnittpunkten des Gleichnisses y = = = Axt² + Bx + c Mit der horizontalen Achse oder X -Achse. Damit werden wir durch Grafik des entsprechenden Gleichnisses die Lösung der Gleichung zweiten Grades y = 0 finden.

Die Schnitte der Gleichnisse mit der horizontalen Achse repräsentieren die Lösungen der Gleichung Axt² + BX + C = 0. Ein Gleichnis, der die horizontale Achse an einem einzigen Punkt nur schneidet, hat eine einzelne Wurzel und dies wird immer der Scheitelpunkt der Parabel sein.

Und schließlich, wenn ein Gleichnis nicht zur horizontalen Achse geschnitten wird, die entsprechende Gleichung Axt² + BX + C = 0 Es fehlen echte Lösungen.

Das Erstellen einer Handgrafik kann mühsam sein, aber mit der Verwendung von Programmen, die online drapiert werden, ist es sehr einfach.

Figur 2. Grafische Darstellung von drei Arten von Gleichnissen mit zwei, einer und ohne Kreuzung mit der horizontalen Achse. Quelle: Wikimedia Commons.

Auflösung mit wissenschaftlichem Rechner

Viele Modelle wissenschaftlicher Taschenrechner haben die Möglichkeit, Gleichungen zweiten Grades zu lösen (und auch andere Arten von Gleichungen). Um es zu wissen, müssen Sie das Menü überprüfen.

Sobald die Option quadratischer Gleichung eines Unbekannten ausgewählt ist. Es gibt auch Modelle wissenschaftlicher Taschenrechner, die mit komplexen Zahlen arbeiten und diese Lösungen anbieten.

Kann Ihnen dienen: Vielfache von 2: Was sind und Erklärung

Diskriminierung von einer Gleichung zweiten Grades

Um zu wissen, ob die Gleichung echte Lösungen hat oder nicht, und wie viele sind, ohne dass die Diskriminante zuerst gelöst werden müssen, ist definiert als der Betrag unter der Quadratwurzel:

Δ = b² - 4AC

Nach dem Diskriminanzzeichen ist bekannt, wie viele Lösungen die Gleichung gemäß diesem Kriterium hat:

-Zwei reale Lösungen: Δ> 0

-Eine reale Lösung (oder zwei identische Lösungen): δ = 0

-Keine wirkliche Lösung: Δ  < 0

Wie viele Lösungen hat beispielsweise die Gleichung zweiten Grades -7x² +12x + 64 = 0? Wir identifizieren die Koeffizienten:

A = -7

B = 12

C = 64

Δ = b² - 4AC = 12² - 4x (-7) x 64 = 144 + 1792 = 1936> 0

Die Gleichung hat zwei Lösungen. Jetzt sehen wir uns das an:

X² - 6x + 9 = 0

A = 1

B = -6

C = 9

Δ = (-6)² - 4 x 1 x 9 = 36 - 36 = 0

Dies ist eine Gleichung mit einer einzigartigen Lösung oder zwei gleichen Lösungen.

Beispiele für einfache Gleichungen zweiten Grades

Zu Beginn sagten wir, dass die Gleichungen zweiter Grad. Lassen Sie uns nun einige bestimmte Typen sehen:

X Formgleichung² + mx + n = 0

In diesem Fall wird a = 1 und die Formel wird reduziert auf:

Für diese Art von Gleichung und immer abhängig von den verbleibenden Koeffizienten kann die Faktorisierungsmethode gut funktionieren, wie wir im vorhergehenden Abschnitt gesehen haben.

Unvollständige Gleichung der AX -Form² + C = 0

Die Lösung, wenn sie existiert, ist die Form:

Es gibt eine echte Lösung, wenn ein O C ein negatives Vorzeichen hat, aber wenn die beiden Begriffe dasselbe Vorzeichen haben, ist die Lösung imaginär.

Unvollständige Gleichung der AX -Form² + BX = 0

Diese Gleichung wird durch die Verwendung der Faktorisierung schnell aufgelöst, da das X in beiden Begriffen ein häufiger Faktor ist. Eine der Lösungen ist immer x = 0, die andere ist wie folgt:

Axt² + BX = 0

x (ax + b) = 0

ax + b = 0 → x = -b/a

Schauen wir uns dann ein Beispiel an. Lösen:

X² - 5x = 0

x (x - 5) = 0

Deshalb x₁ = 0 und x₂ = 5

Gleichungen mit Nenner

Es gibt mehrere rationale Gleichungen, in denen das Unbekannte sowohl im Zähler als auch im Nenner oder sogar im letzteren vorhanden sein kann und dass durch algebraische Manipulationen auf quadratische Gleichungen reduziert werden.

Der Weg, sie zu lösen.C.m der Nenner und dann die Begriffe neu ordnen. Zum Beispiel:

Kann Ihnen dienen: Wie viele Durchmesser hat einen Umfang??

Gleichungen höherer Ordnung, die in quadratisch umgewandelt werden

Es gibt Gleichungen höherer Ordnung, die durch eine variable Änderung aufgelöst werden können, als ob sie quadratisch wäre, beispielsweise diese Gleichung Bicadrada:

X⁴ - 10x² + 9 = 0

Lass x² = U, dann wird die Gleichung in:

oder² - 10U + 9 = 0

Diese Gleichung wird durch Faktorisierung schnell aufgelöst und zwei Zahlen gefunden, die sich in 9 multiplizierten und 10 hinzugefügt wurden. Diese Zahlen sind 9 und 1:

(U - 9).(U - 1) = 0

Daher sind die Lösungen dieser Gleichung u₁ = 9 und u₂ = 1. Jetzt geben wir die Änderung zurück:

X² = 9 → x₁ = 3 und x₂ = -3

X² = 1 → x₁ = 1 und x₂ = -1

Die ursprüngliche Gleichung ist von Ordnung 4, daher hat sie mindestens 4 Wurzeln. Das Beispiel ist -3, -1, 1 und 3.

Einfache gelöste Übungen

- Übung 1

Lösen Sie die folgende quadratische Gleichung mit dem Unbekannten im Nenner:

Das minimale gemeinsame Multiple ist X (x+2) und muss sich mit allen Begriffen multiplizieren:

Der äquivalente Ausdruck bleibt:

5x (x+2) - x = x (x+2)

Wir entwickeln:

5x² + 10x - x = x² + 2x

Alle Begriffe werden links von der Gleichheit und nach rechts transponiert

5x² + 10x - x - x² - 2x = 0

4x² - 7x = 0

Wir berücksichtigen, da es sich um eine unvollständige Gleichung handelt:

x (4x - 7) = 0

Eine der Lösungen ist x = 0, die andere ist:

4x = 7

x = 7/4

- Übung 2

Finden Sie die Lösung der Gleichungen zweiten Grades:

a) -7x² +12x + 64 = 0

b) x² - 6x + 9 = 0

Lösung für

Aus dieser Gleichung kennen wir die δ -Determinante, da sie zuvor als Beispiel berechnet wurde, sodass wir sie ausnutzen und die Lösungsmittelformel wie folgt ausdrücken:

X₁ = (-12+44)/ - 14 = - (32/14) = - (16/7)

X₂ = (-12 -44) / -14 = 4

Lösung b

Das quadratische Trinomial x² - 6x + 9 ist faktorisierbar, da es ein perfekter quadratischer Trinom ist:

X² - 6x + 9 = (x-3)² = 0

Die Lösung dieser Gleichung ist x = 3.

- Übung 3

Was ist die Gleichung, deren Lösungen 3 und 4 sind?

Lösung

Der faktorisierte Ausdruck ist:

(x - 3) ≤ (x - 4) = 0

Anwendung von Verteilungseigenschaften:

X² - 4x -3x + 12 = 0

Die beiden zentralen Begriffe sind ähnlich und können reduziert werden, da: Verlassen:

X² - 7x + 12 = 0

Verweise

1. Baldor. 1977. Elementaralgebra. Venezolanische Kulturausgaben.
2. Hoffman, J. Auswahl der Mathematikfragen. Band 2.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Stewart, J. 2006. Präzision: Mathematik zur Berechnung. 5. Auflage. Cengage Lernen.
5. Zapata, f. 4 Möglichkeiten zur Lösung einer Gleichung zweiten Grades. Erholt von: FrancePhysics.Blogspot.com.
6. Zill, d. 1984. Algebra und Trigonometrie. McGraw Hill.