Bruchgleichungen

Zu den fraktionalen Gleichungen gehören numerische und/oder algebraische Brüche, und das Unbekannte kann sowohl im Zähler als auch im Nenner oder beides sein

Was sind fraktionale Gleichungen?

Der Bruchgleichungen sind diejenigen, die Brüche in einem oder mehreren ihrer Begriffe enthalten. Solche Brüche können numerisch oder algebraisch sein, wo das Unbekannte im Zähler und/oder im Nenner eines beliebigen Begriffs zu finden ist.

Dann einige Beispiele für fraktionale Gleichungen mit einem einzigen Unbekannten:

Das erste Beispiel ist eine lineare Gleichung mit fraktionalen Koeffizienten; Im zweiten Beispiel befindet sich das Unbekannte im Nenner jeder der Begriffe, und im letzten ist das Unbekannte sowohl der Zähler als auch im Nenner.

Um sie zu lösen, ist es notwendig, einige algebraische Transformationen durchzuführen und somit eine äquivalente Gleichung zu erhalten, in der das Unbekannte nicht im Nenner erscheint. Sobald dieses Verfahren durchgeführt wurde, wird die Lösung anhand der entsprechenden Techniken gefunden.

Die Lösung besteht aus dem Satz „X“ -Werte, die die Gleichheit erfüllen. Es kann ein einzigartiger Wert oder mehrere sein, aber in jedem Fall ist es sehr wichtig zu berücksichtigen, dass nicht alle Lösungen in der äquivalenten Gleichung für die ursprüngliche Gleichung akzeptabel sind.

Wenn es sich um eine Gleichung handelt, deren Unbekannter im Nenner liegt. Dies liegt daran, dass die Trennung zwischen 0 nicht definiert ist.

Wenn die äquivalente Gleichung eine einzigartige Lösung hat und sich herausstellt.

Wie man eine fraktionale Gleichung lösen

Die Operationen, die zur Lösung von nicht -fraktionalen Gleichungen durchgeführt werden, sind gültig, vorausgesetzt, die Gleichstellung wird beibehalten. Auf diese Weise können Sie in einer fraktionalen Gleichung die gleiche Menge zu beiden Seiten der Gleichheit hinzufügen oder subtrahieren, alle Begriffe mit demselben Betrag multiplizieren oder jeden Term um denselben Betrag teilen (anders als 0).

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Da die fraktionelle Gleichung jedoch erforderlich ist, um sich in ein anderes Äquivalent ohne Nenner zu verwandeln, werden auch die folgenden allgemeinen Indikationen eingehalten:

1. Finden Sie das minimale gemeinsame Vielfache von Nennern (M. M.C.M).
2. Multiplizieren Sie jeden Begriff mit dem m.C.M., Um Nenner zu beseitigen.
3. Lösen Sie die erhaltene äquivalente Gleichung.
4. Stellen Sie sicher, dass die Lösungen die ursprüngliche Gleichheit erfüllen.

Arten von äquivalenten Gleichungen

Die äquivalenten Gleichungen, die nach dem angegebenen Verfahren erhalten wurden, können:

• Linearer oder erster Grad
• Quadratisch
• Von höherer Ordnung

Beispiele gelöst

Beispiel 1

Lösen Sie die folgende Gleichung:

Es wird angemerkt, dass die Gleichung in "x" erstmals Grad ist, da "x" bei 1 hoch ist. Die Koeffizienten der Gleichung sind Brüche und eine Möglichkeit, sie zu beseitigen, um mit ganzen Zahlen zu arbeiten. Es multipliziert alle Begriffe mit dem minimalen Vielfachen von Nennern (m.C.M.).

M.C.M. (2,3,6) = 6

So:

3x - 2x = 1

x = 1

Der Leser kann die Gültigkeit dieser Lösung überprüfen, x = 1 in der ursprünglichen Gleichung ersetzen und überprüfen, ob eine Gleichheit erhalten wird.

Beispiel 2

Bestimmen Sie die "X" -Werte, die erfüllen:

Im Gegensatz zum vorherigen Beispiel wird das Unbekannte im Nenner gefunden. Beachten Sie, dass die Nenner für die Werte x = 2 und x = −1 annulliert sind, ein Detail, das bequem berücksichtigt werden kann, da wir sie, wenn die äquivalente Gleichung diese Lösungen zulässt, sie verwerfen müssen, da sie nicht zulässig sind in der ursprünglichen Gleichung.

Jetzt müssen wir die Gleichung in einen anderen ohne Nenner verwandeln. Der erste Schritt besteht darin, die Summe der Begriffe links von der Gleichheit zu machen:

Da die Nenner gleich sind, so dass Gleichheit erfüllt ist, ist es notwendig, dass auch die Zahlen:

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4 (x+1) - 3 (x -2) = 8

Es reicht aus, diese Gleichung zu lösen, die sich als erste Klasse herausstellt:

4x + 4 - 3x + 6 = 8

x = 8 - 6 - 4 = - 2

x = - 2

Da sich dieser Wert von den verbotenen Werten unterscheidet, wird er als Lösung der ursprünglichen Gleichung zugelassen.

Beispiel 3

Finden Sie die Lösung von:

In dieser Gleichung wird der Wert x = 4 die Nenner abgebaut, daher wird er aus dem Lösungssatz der transformierten Gleichung ausgeschlossen, wenn sie erschien.

Die transformierte Gleichung ist leicht zu finden. Sie reicht aus, um alle Begriffe mit dem Faktor (X-4) zu multiplizieren:

Bleiben:

2x - 4 = 4

2x = 8

x = 4

Beispiel 4

Löse die Gleichung:

In diesem Fall haben Nenner quadratische Begriffe, daher ist es bequem, sie zuerst zu berücksichtigen:

• X² + 8x + 7 = (x + 7) (x + 1)
• X² - 49 = (x + 7) (x - 7)
• X² - 6x - 7 = (x - 7) (x + 1)

Die Gleichung ist so:

Die Werte von x, die einen der Nenner abbrechen, sind: x = −7, x = 7, x = −1. Selbst wenn diese Werte Teil des Lösungssatzes der modifizierten Gleichung sind, können sie daher keine Lösung der ursprünglichen Gleichung sein.

Jetzt kommt der Prozess der Transformation der Gleichung. Der erste Schritt besteht darin, das minimale gemeinsame Vielfache von Nennern zu finden:

M.C.M. = (x + 7) (x - 7) (x + 1)

Durch Multiplizieren auf beiden Seiten der Gleichheit mit m.C.M. bleibt übrig:

Resultierend:

(x --7) (x - 2) = (x + 1) (2x - 5) - (x + 7) (x - 2)

Durch Verteilungseigenschaften werden die Produkte entwickelt:

X² - 9x +14 = 2x² - 3x - 5 - (x² + 5x - 14)

Reduzierung ähnlicher Begriffe auf der rechten Seite:

X² - 9x + 14 = x² - 8x + 9

Die quadratischen Begriffe werden abgebrochen, indem das gleiche Zeichen auf verschiedenen Seiten der Gleichheit getroffen wird:

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- 9x + 14 = - 8x + 9

-x = -5 ⇒ x = 5

Dieses Ergebnis wird als Lösung zugelassen, da es sich nicht um eine der verbotenen Werte handelt.

Anwendungsübung von Bruchgleichungen

Der Nenner eines Bruchs übersteigt vier Einheiten an den Zähler. Wenn der Zähler auch vom Zähler und dem Nenner abgezogen wird, beträgt der resultierende Bruch 3/5. Bestimmen Sie die ursprüngliche Fraktion.

Lösung

Sei x der Wert des Zählers.

Da der Fraktionsnenner vier Einheiten in den Zähler überschreitet, lautet der ursprüngliche Bruch:

Jetzt müssen Sie 5 Einheiten sowohl an den Zähler als auch an den Nenner abziehen:

Da der von der Durchführung des vorherige Verfahrens entstehende Fraktion gleich 3/5 ist, werden sie ausgeglichen:

Beispiel für ein fraktionales Gleichung. Quelle: f. Zapata.

Dies ist eine fraktionale Gleichung mit dem Unbekannten in Zähler und Nenner, das bei x = 1 aufgehoben wird. Daher muss dieser Wert ausgeschlossen werden, wenn er zu den Lösungen der transformierten Gleichung gehörte.

Dann multipliziert es beide Seiten mit dem minimalen gemeinsamen Multipler, das 5 (x - 1) beträgt:

Was zu der folgenden äquivalenten Gleichung führt:

5 (x - 5) = 3 (x - 1)

Anwendung von Verteilungseigenschaften:

5x -25 = 3x - 3 ⇒ 2x = 22

x = 11

Die ursprüngliche Fraktion ersetzt x = 11 im Ausdruck:

Was zu Bruch 11/15 führt. Dies ist die Antwort auf das aufgeworfene Problem.

Verweise

1. Bruchgleichungen. Erholt von: MathePower.com
2. Mathematikportal. Bruchgleichungen. Problemlösung. Erholt von: Silvioduarte.com.
3. Stewart, J. (2007). Präzision: Mathematik zur Berechnung. 5. Auflage. Cengage Lernen.
4. Sullivan, m. (1997). Vorkalkulation. 4. Auflage. Pearson Ausbildung.
5. Zill, d. (2008). Präzision mit Berechnungsvorschriften. 4. Auflage. McGraw Hill.