Polynomische Gleichungen

Was sind Polynomgleichungen?

Der Polynomische Gleichungen Sie sind eine Aussage, die die Gleichheit von zwei Ausdrücken oder Mitgliedern erhöht, bei denen mindestens einer der Begriffe, aus denen jede Seite der Gleichheit besteht, Polynome P (x) sind. Diese Gleichungen werden nach dem Grad ihrer Variablen benannt.

Im Allgemeinen ist eine Gleichung eine Aussage, die die Gleichheit zweier Ausdrücke festlegt, bei denen in mindestens einer davon unbekannte Beträge, die als Variablen oder Unbekannte bezeichnet werden. Obwohl es viele Arten von Gleichungen gibt, werden diese im Allgemeinen in zwei Arten eingeteilt: algebraisch und transzendent.

Polynomische Gleichungen enthalten nur algebraische Ausdrücke, die einen oder mehrere Unbekannte haben können, die in die Gleichung eingreifen. Gemäß dem Exponent (Note) können sie als: Erste Klasse (linear), zweite Klasse (quadratisch), dritte Klasse (Kubik), vierte Klasse (Quantik), von Grad größer oder gleich fünf und gleich und gleich) klassifiziert werden irrational.

Merkmale von Polynomgleichungen

Polynomische Gleichungen sind Ausdrücke, die durch eine Gleichheit zwischen zwei Polynomen gebildet werden; Das heißt, für die endlichen Summen von Multiplikationen zwischen unbekannten Werten (Variablen) und festen Zahlen (Koeffizienten), bei denen die Variablen Exponenten haben können und ihr Wert eine positive Ganzzahl sein kann, einschließlich Null.

Exponenten bestimmen den Grad oder die Art der Gleichung. Dieser Begriff des Ausdrucks, der den größten Exponenten aufweist.

Polynomische Gleichungen werden auch als algebraisch bezeichnet, ihre Koeffizienten können reale oder komplexe Zahlen sein und die Variablen sind unbekannte Zahlen, die durch einen Buchstaben dargestellt werden, wie z.

Wenn durch Ersetzen eines Wertes durch die Variable "x" in P (x) das Ergebnis gleich Null (0) ist, wird gesagt, dass dieser Wert die Gleichung erfüllt (es ist eine Lösung) und allgemein als Polynomwurzel bezeichnet wird.

Wenn eine Polynomgleichung entwickelt wird, wollen alle Wurzeln oder Lösungen gefunden werden.

Arten von Polynomgleichungen

Es gibt verschiedene Arten von Polynomgleichungen, die je nach Anzahl der Variablen und auch nach ihrem Exponentengrad unterschieden werden.

Somit ist die Polynomgleichungen -wo sein erster Term ein Polynom ist, das nur ein Unbekanntes hat, wenn man bedenkt, dass sein Grad eine natürliche Zahl (n) sein kann und der zweite Term null ist -kann wie folgt ausgedrückt werden:

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Zu_{N *} X^N + Zu_{N-1 *} X^N-1 +… + A_{1 *} X¹ + Zu_{0 *} X₀ = 0

Wo:

• Zu_N, Zu_N-1 bereits₀, Sie sind echte Koeffizienten (Zahlen).
• Zu_N unterscheidet sich von Null.
• Exponent N ist eine positive Ganzzahl, die den Grad der Gleichung darstellt.
• x ist die Variable oder Unbekannte, die gesucht werden muss.

Der absolute oder größere Grad einer Polynomgleichung ist der Exponent eines höheren Werts bei allen, die Polynom bilden; Auf diese Weise werden Gleichungen als:

Erste Klasse

Die Polynomgleichungen ersten Grades, auch als lineare Gleichungen bezeichnet, sind diejenigen, in denen der Grad (der größte Exponent) gleich 1 ist, das Polynom ist von der Form P (x) = 0; Und es besteht aus einem linearen und einem unabhängigen Begriff. Es ist wie folgt geschrieben:

ax + b = 0.

Wo:

• A und B sind reelle Zahlen und a ≠ 0.
• Ax ist der lineare Begriff.
• B ist der unabhängige Begriff.

Zum Beispiel Gleichung 13x - 18 = 4x.

Um lineare Gleichungen zu lösen, müssen alle Begriffe, die das unbekannte X enthalten, an die Seite der Gleichheit übergeben werden, und diejenigen, die sich nicht auf der anderen Seite bewegen, um sie zu löschen und eine Lösung zu erhalten:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2.

Auf diese Weise hat die angegebene Gleichung nur eine Lösung oder Wurzel, die x = 2 ist.

Zweite Klasse

Die Polynomgleichungen zweiten Grades, auch als quadratische Gleichungen bekannt, sind solche, in denen der Grad (der größte Exponent) gleich 2 ist, das Polynom ist von der Form P (x) = 0 und besteht aus einem quadratischen Term a linear und unabhängig. Es wird wie folgt ausgedrückt:

Axt² + BX + C = 0.

Wo:

• A, B und C sind reelle Zahlen und A ≠ 0.
• Axt² Es ist der quadratische Begriff und "A" ist der Koeffizient des quadratischen Begriffs.
• BX ist der lineare Begriff und „B“ der Koeffizient des linearen Begriffs.
• C ist der unabhängige Begriff.

Resolvent

Im Allgemeinen wird die Lösung für diese Art von Gleichungen angegeben, wenn x der Gleichung gelöscht wird, und bleibt wie folgt, was als Resolvent bezeichnet wird:

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Dort (b)² - 4AC) wird als Diskriminierung der Gleichung bezeichnet und dieser Ausdruck bestimmt die Anzahl der Lösungen, die die Gleichung haben kann:

• Ja b² - 4AC) = 0, die Gleichung hat eine einzige Lösung, die doppelt ist; Das heißt, es wird zwei gleiche Lösungen haben.
• Ja b² - 4AC)> 0 hat die Gleichung zwei verschiedene reale Lösungen.
• Ja b² - 4AC) < 0, la ecuación no tiene solución (tendrá dos soluciones complejas distintas).

Zum Beispiel haben Sie die 4x -Gleichung² + 10x - 6 = 0, um es zuerst zu lösen, werden die Begriffe A, B und C identifiziert und dann in der Formel ersetzt:

A = 4

B = 10

C = -6.

Es gibt Fälle, in denen die zweiten Polynomgleichungen nicht die drei Begriffe haben, und deshalb werden sie unterschiedlich gelöst:

• Für den Fall, dass quadratische Gleichungen nicht den linearen Term (dh B = 0) haben, wird die Gleichung als AX ausgedrückt² + C = 0. Um es zu lösen, wird X gelöscht² Und die Quadratwurzeln werden in jedem Mitglied angewendet, um sich daran zu erinnern, dass die beiden möglichen Anzeichen, die das Unbekannte haben, möglicherweise haben:

Axt² + C = 0.

X² = - c ÷ a

Zum Beispiel 5 x² - 20 = 0.

5 x² = 20

X² = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

X₁ = 2.

X₂ = -2.

• Wenn die quadratische Gleichung keinen unabhängigen Term hat (dh c = 0), wird die Gleichung als AX ausgedrückt² + BX = 0. Um es zu lösen, muss der gemeinsame Faktor des unbekannten X im ersten Mitglied aufgenommen werden. Da die Gleichung auf Null abgestimmt ist, wird erfüllt, dass mindestens einer der Faktoren 0 entspricht:

Axt² + BX = 0.

x (ax + b) = 0.

Auf diese Weise müssen Sie:

x = 0.

x = -b ÷ a.

Zum Beispiel: Sie haben Gleichung 5x² + 30x = 0. Erstens ist es Faktor:

5x² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Es werden zwei Faktoren erzeugt, die x y sind (5x + 30). Eine davon wird als Null betrachtet und der andere erhält eine Lösung:

X₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

X₂ = -6.

Höchste Klasse

Die Polynomgleichungen für den Grad sind diejenigen, die ab der dritten Klasse reichen, die mit der allgemeinen Polynomgleichung für jeden Grad ausgedrückt oder gelöst werden können:

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Zu_{N *} X^N + Zu_{N-1 *} X^N-1 +… + A_{1 *} X¹ + Zu_{0 *} X₀ = 0

Dies wird verwendet, weil eine Gleichung mit einem Grad größer als zwei das Ergebnis der Faktorisierung eines Polynoms ist; Das heißt, es wird als Multiplikation von Grad- oder größeren Polynomen ausgedrückt, jedoch ohne wirkliche Wurzeln.

Die Lösung dieser Art von Gleichungen ist direkt, da die Multiplikation von zwei Faktoren gleich Null ist, wenn einer der Faktoren null ist (0); Daher muss jede der gefundenen Polynomgleichungen aufgelöst werden, wobei jeder seiner Faktoren auf Null entspricht.

Zum Beispiel haben Sie die Gleichung dritten Grades (kubisch) x³ + X² +4x + 4 = 0. Um es zu lösen, müssen Sie die folgenden Schritte ausführen:

• Die Begriffe werden gruppiert:

X³ + X² +4x + 4 = 0

(X³ + X² ) + (4x + 4) = 0.

• Mitglieder brechen zusammen, um den gemeinsamen Faktor des Unbekannten zu erhalten:

X² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(X² + 4)_*(x + 1) = 0.

• Auf diese Weise werden zwei Faktoren erhalten, die gleich Null sein müssen:

(X² + 4) = 0

(x + 1) = 0.

• Es ist ersichtlich, dass der Faktor (x² + 4) = 0 hat keine reale Lösung, während der Faktor (x + 1) = 0 Ja. Daher ist die Lösung:

(x + 1) = 0

x = -1.

Gelöste Übungen

Lösen Sie die folgenden Gleichungen:

Erste Übung

(2x² + 5)_*(X - 3)_*(1 + x) = 0.

Lösung

In diesem Fall wird die Gleichung als Multiplikation von Polynomen ausgedrückt; das heißt, es wird faktorisiert. Um es zu lösen, muss jeder Faktor gleich Null sein:

2x² + 5 = 0, hat keine Lösung.

x - 3 = 0

x = 3.

1 + x = 0

x = - 1.

Auf diese Weise hat die angegebene Gleichung zwei Lösungen: x = 3 und x = -1.

Zweite Übung

X⁴ - 36 = 0.

Lösung

Es wurde ein Polynom angegeben, das als Unterschied in den Quadraten zurückgesetzt werden kann, um eine schnellere Lösung zu erreichen. Somit bleibt die Gleichung:

(X² + 6)_*(X² - 6) = 0.

Um die Lösung der Gleichungen zu finden, sind beide Faktoren gleich Null:

(X² + 6) = 0, hat keine Lösung.

(X² - 6) = 0

X² = 6

x = ± √6.

Somit hat die anfängliche Gleichung zwei Lösungen:

x = √6.

x = - √6.