Aufgelöste Faktorisierungsübungen

Der Factoring Es ist das algebraische Verfahren, durch das ein algebraischer Ausdruck zu Produkten einfacherer Begriffe wird. Auf diese Weise sind viele Berechnungen vereinfacht.

Faktorisierungsübungen helfen, diese Technik zu verstehen, die in der Mathematik häufig verwendet wird und im Prozess des Schreibens einer Summe als Produkt bestimmter Begriffe besteht.

Abbildung 1.- Durch Berücksichtigung eines algebraischen Ausdrucks wird erweitert in ein Produkt von Faktoren umgewandelt, mit denen es bequem zu arbeiten ist. Quelle: f. Zapata.

Um angemessen zu berücksichtigen, müssen Sie zunächst sehen, ob für jeden Begriff Buchstaben und Zahlen gemeinsam sind. Zum Beispiel der Ausdruck 5x⁴ -10x³ + 25x², Was drei Begriffe enthält, kann ein Faktor sein, der feststellt. Was die numerischen Koeffizienten betrifft, sind alle mehrfach 5 5.

Der gemeinsame Faktor besteht also aus:

-Das Produkt zwischen dem maximalen gemeinsamen Divisor der Koeffizienten und

-Die geringste Kraft der Buchstaben, die erscheinen.

Im Beispiel ist der gemeinsame Faktor:

5x²

Und der Ausdruck bleibt so:

5x⁴ - 10x³ + 25x² = 5x² ≤ (x² - 2x + 5)

Der Leser kann durch die Anwendung von Verteilungseigenschaften nachsehen, dass beide Ausdrücke gleichwertig sind.

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Faktorisierungsmethoden: quadratischer Unterschied

Nicht alle algebraischen Ausdrücke sind wie dies gerade getan. Deshalb werden wir hier zeigen.

Mit ein wenig Übung lernt der Leser, die bequemste Methode in Fällen wie:

-Binomial- und Trinomfaktorisierung.

-Polynomfaktorisierung.

-Polynomwurzelberechnung.

Das Bild von Abbildung 1 ist sehr hilfreich, wenn sich die Frage stellt: Welche Art von Faktorisierung für eine Übung verwendet?

Wir werden mit einem Unterschied der Quadrate beginnen, für die Formel 1 der Tabelle angewendet wird.

- Übung gelöst 1

Faktor das 16 -fache Binomial² - 49

Lösung

In diesem Beispiel wird die Kraft nicht wiederholt und die numerischen Koeffizienten sind keine Cousins ​​miteinander, wie im Beispiel des Prinzips. Wenn jedoch überprüft wird, dass der gegebene Ausdruck a ist Differenz der Quadrate, Die Formel 1 kann angewendet werden.

Alles, was benötigt wird, ist, die Begriffe zu identifizieren Zu Und B:

Zu² = 16x² → a = √ (16x²) = 4x
B² = 49 → B = 49 = 7

Ersetzen Sie die Formel, sobald die Identifizierung identifiziert wurde:

16x² - 49 = (4x + 7) (4x - 7)

Kann Ihnen dienen: Reduzierung ähnlicher Begriffe

Und der Ausdruck bleibt als die beiden Faktorenprodukte.

In diesem und in allen Fällen, in denen er folgt, kann der Leser bestätigen, dass der ursprüngliche algebraische Ausdruck zurückgewonnen wird, wenn er das Ergebnis mit der Verteilungseigenschaft entwickelt.

Perfekte quadratische Trinomfaktorisierung

Diese Fälle entsprechen den Formeln 2 und 3 von Abbildung 1. Vor der Anwendung muss jedoch überprüft werden, ob der Ausdruck erfüllt ist:

-Zwei Begriffe sind die perfekten Quadrate von Zu Und B.

-Der verbleibende Begriff ist das Doppelprodukt von A und B, dh: 2AB.

Wenn das obige wahr ist, ist es ein perfektes quadratisches Trinom und die Formeln werden direkt angewendet.

- Übung gelöst 2

Faktor Trinomial: x² + 12x + 36

Lösung

Dieser Ausdruck scheint angemessen zu sein, um die Formel 2 in der Box anzuwenden, aber zuerst müssen wir überprüfen, ob es sich um ein perfektes quadratisches Trinom handelt. Zunächst wird beobachtet, dass sowohl der erste als auch der dritte Begriff perfekte Quadrate sind:

• X² Es ist das perfekte Quadrat von X, da (x)² = x²
• 36 ist das perfekte Quadrat von 6, seit 6² = 36

So:

a = x
B = 6

Und schließlich muss überprüft werden, dass der verbleibende Begriff 2AB und tatsächlich:

12x = 2º. X 25

Es subtrahiert nur die Factoring nach der Formel:

X² + 12x + 36 = (x + 6)²

- Übung gelöst 3

Schreiben Sie den Ausdruck 4x² -20x + 25 in faktorisierter Form.

Lösung

Da ein negativer Vorzeichen die Formel 3 in der Box dienen kann, muss jedoch überprüft werden, ob es sich um eine perfekte quadratische Trinomie handelt:

• 4x² Es ist das 2x Quadrat, da (2x)² = 4x², Daher a = 2x
• 25 gleich 5², dann b = 5
• Der Begriff 20X entspricht 2 24 x 5 = 20x

Die Faktorisierung bleibt so:

4x² -20x + 25 = (2x - 5)²

Summe und Differenz der Würfel

Wenn Sie Summen oder Unterschiede von Würfeln haben, gelten die Formeln 4 oder 5 je nach Fall.

- Übung gelöst 4

Faktorisieren Sie 8x³ - 27

Lösung

Wir haben hier einen Unterschied in den Würfeln und extrahieren also die Kubikwurzel jedes Begriffs:

Dann a = 2x und b = 3.

Die Formel 4 wird befolgt, was für den Differenz der Würfel geeignet ist:

8x³ - 27 = (2x-3) ≤ [(2x)² + 2x·3 + 3²] = (2x-3) ≤ (4x² + 6x + 9)

Faktorisierung durch Gruppierung von Begriffen

Im folgenden Bild gibt es ein Polynom mit vier Begriffen, die faktorisiert werden müssen. Die ersten drei Begriffe haben "x" gemeinsam, aber die letzte nicht. Wir können auch nicht sagen, dass numerische Koeffizienten vielfältige desselben Faktors sind.

Kann Ihnen dienen: konvexes Polygon: Definition, Elemente, Eigenschaften, Beispiele

Wir werden jedoch versuchen, die Begriffe in zwei Teilen mit Klammern zu gruppieren, die mit dem gelben Pfeil angezeigt werden: Die ersten beiden Begriffe haben gemeinsam das "X", während die letzten beiden gemeinsam sind, dass die Koeffizienten mehrfach von 5 sind.

Wir berücksichtigen diese beiden Gruppen (Blue Arrow). Jetzt muss der Leser beobachten, dass bei Factoring ein neuer gemeinsamer Faktor herauskommt: die Klammern (3x+2).

Berührungsfaktor für das zweite Mal (rosa Pfeil), da (3x+2) ein häufiger Faktor von x und 5 ist.

Figur 2. Ein Beispiel dafür, wie man Begriffe faktorisiert. Quelle: f. Zapata.

Die Wurzeln eines Polynoms

Sind die Werte der Variablen, die das Polynom abbrechen. Wenn es sich um ein Polynom handelt, dessen Variable "x" ist, wie wir gesehen haben, weil es darum geht, die Werte von X so zu finden, dass beim Ersetzen der erhaltene numerische Wert 0 ist.

Die Faktorisierung ist eine Methode, um Nullen in einigen Polynomen zu finden. Schauen wir uns ein Beispiel an:

- Übung gelöst 5

Finden Sie die Nullen von Trinomial x² -2x - 3

Lösung

Wir berücksichtigen das Trinom, aber dies ist keine perfekte quadratische Trinomie. Wir können jedoch ein Verfahren von Tanteo durchführen. Wir haben das Trinom als Produkt zweier Faktoren wie folgt geschrieben:

X² -2x - 3 = (x) . (X)

In der ersten Klammer wird das erste Trinomzeichen platziert, von links nach rechts gesehen. Dies ist ein Zeichen (-). In der zweiten Klammern das Produkt der beiden Zeichen, die nach dem Begriff mit x erscheinen²:

(-) x (-) = +

Auf diese Weise wird die Faktorisierung gesehen:

X² -2x - 3 = (x -) . (x +)

Jetzt müssen Sie nach zwei Nummern A und B suchen, die in die leeren Räume gestellt werden. Bei der Multiplizierung sollte 3 sein:

• A x b = 3

Und sie müssen auch der Tatsache einhalten, dass es 2 ist, da es 2 ist, da die Zeichen von Klammern unterschiedlich sind.

(Wenn sie gleiche Zeichen gewesen wären, sollten zwei Zahlen A und B gesucht werden, dass sie beim hinzugefügten Koeffizienten den Begriff mit "x" gaben.). So:

• A - B = 2

Die Zahlen, die beide Bedingungen erfüllen, betragen 3 und 1, da:

3 x 1 = 3

3 - 1 = 2

Die höchste Anzahl wird in die Klammern der linken und die Faktorisierung wie folgt geblieben:

X² - 2x - 3 = (x - 3) . (x + 1)

Die Nullen des Polynoms sind die Werte von x, die jeden Faktor abbrechen:

Kann Ihnen dienen: sogar Zahlen

x - 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 1 = 0 ⇒ x = -1

Der Leser kann überprüfen.

Andere Übungen

- Übung gelöst 6

Faktor das folgende Polynom: p (x) = x²-1.

Lösung

Es ist nicht immer notwendig, das Lösungsmittel zu verwenden. In diesem Beispiel kann ein bemerkenswertes Produkt verwendet werden.

Schreiben Sie das Polynom wie folgt neu.

Unter Verwendung des bemerkenswerten Produkts 1 kann das Polynom P (x) wie folgt berücksichtigt werden: P (x) = (x+1) (x-1).

Dies zeigt auch, dass die Wurzeln von P (x) x1 = -1 und x2 = 1 sind.

- Übung gelöst 7

Tatsache das folgende Polynom: q (x) = x³ - 8.

Lösung

Es gibt ein bemerkenswertes Produkt, das Folgendes besagt: a³-b³ = (a-b) (a²+ab+b²).

Wenn Sie dies wissen, können Sie das Polynom q (x) wie folgt umschreiben: q (x) = x³ -8 = x³ - 2³.

Mit dem beschriebenen bemerkenswerten Produkt beträgt die Faktorisierung des Polynoms q (x) 4).

Fehlende Faktor des quadratischen Polynoms, das im vorherigen Schritt entstanden ist. Wenn dies jedoch beobachtet wird, kann die bemerkenswerte Produktnummer 2 helfen; Daher wird die endgültige Faktorisierung von q (x) durch q (x) = (x-2) (x+2) ² gegeben.

Dies besagt, dass eine Wurzel von Q (x) x1 = 2 ist und dass x2 = x3 = 2 die andere Wurzel von Q (x) ist, was wiederholt wird.

- Übung gelöst 8

Faktorisieren Sie r (x) = x² - x - 6.

Lösung

Wenn ein bemerkenswertes Produkt nicht erkannt werden kann oder die notwendige Erfahrung zur Manipulation des Ausdrucks nicht verfügbar ist, wird die Verwendung des Resolvents fortgesetzt. Die Werte sind die folgenden a = 1, b = -1 und c = -6.

Wenn Sie sie in der Formel ersetzen ± 5)/2.

Ab hier sind zwei Lösungen, die die folgenden sind:

x1 = (-1+5)/2 = 2

x2 = (-1-5)/2 = -3.

Daher kann Polynom r (x) als r (x) = (x-2) (x-(-3)) = (x-2) (x+3) berücksichtigt werden.

- Übung gelöst 9

Faktor H (x) = x³ - x² - 2x.

Lösung

In dieser Übung können Sie zunächst den gemeinsamen Faktor x herausnehmen, und es wird erhalten, dass h (x) = x (x²-x-2).

Daher bleibt es nur noch, das quadratische Polynom zu berücksichtigen. Mit dem Lösungsmittel müssen die Wurzeln wiederum sein:

x = (-1 ± √ ((-1) ²-4*1*(-2)))/2*1 = (-1 ± √9)/2 = (-1 ± 3)/2.

Daher sind die Wurzeln des quadratischen Polynoms x1 = 1 und x2 = -2.

Zusammenfassend ist die Faktorisierung des Polynoms h (x) durch H (x) = x (x-1) (x+2) gegeben.

Verweise

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3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Stewart, J. 2006. Präzision: Mathematik zur Berechnung. 5. Auflage. Cengage Lernen.
5. Zill, d. 1984. Algebra und Trigonometrie. McGraw Hill.