Mathematik

Ellipse

Ellipse
Abbildung 1. Gärtnermethode zum Zeichnen einer Ellipse. Die Summe der Abstände zwischen einem Punkt P der Ellipse (in Rot) und den Scheinwerfern (in Schwarz) bleibt konstant. Quelle: Ag2Gaeh, CC BY-SA 4.0, über Wikimedia Commons.

Was ist eine Ellipse?

Eine Ellipse ist eine Reihe von Koordinatenpunkten (x, y), für die die Summe der Entfernungen zu zwei Fixpunkten genannt wird Focos, Es ist konstant. Die Scheinwerfer sind wiederum von einem Abstand von 2C voneinander getrennt.

Die Ellipsen sind in der Natur gefunden. Zum Beispiel ist es in der Erdbewegung um die Sonne, da der deutsche Astronom demonstriert ist.

Darüber hinaus findet sich die elliptische Form in der Gestaltung von architektonischen Konstruktionen, ist Teil einer medizinischen Behandlung zur Zerstörung von Nierenberechnungen und dient dazu, verschiedene Objekte wie Tanks und andere Behälter zu formen.

In der oberen Abbildung wird eine Ellipse mit ihren beiden Scheinwerfern gezeigt, die äquidistisch aus der Mitte der Figur und auf der längsten Achse liegen. Die Bedingung, dass sich ein Punkt p treffen muss, um zur Ellipse zu gehören, ist, dass die Summe der Entfernungen zu jedem Fokus festgelegt ist:

D1 + D2 = konstant.

Daher, wenn ein Gärtner will. Dann nehmen. Dies ist das Gärtnermethode Ellipsen zeichnen.

Elipse Elemente

Hauptelemente einer Ellipse

Dies sind die Hauptelemente der Ellipse:

  1. Focos, Fixpunkte auf der längsten Achse der Ellipse.
  2. Scheitelpunkte, Sie sind die beiden Punkte der Ellipse, durch die die Linie passt, die sich den Scheinwerfern verbinden.
  3. Hauptachse, Es ist das Seil, das sich den Eckpunkten verbindet und auch die Scheinwerfer enthält.
  4. Center, Mittelpunkt der Hauptachse, die dem Koordinatenpunkt entspricht (h, k). Jeder Fokus stammt aus dem Zentrum und in einiger Entfernung aus C vom selben.
  5. Kleinere Achse, Es ist das Seil, das durch das Zentrum fließt und senkrecht zur Hauptachse ist.
  6. Vektorradios, Segmente, die jeden Fokus mit einem P der Ellipse vereinen.
  7. Brennachse, geradeaus, auf welche Scheinwerfer sind.
  8. Brennweite, Es ist der Abstand zwischen den Scheinwerfern, der als 2C bezeichnet wird.
  9. Sekundärachse, Achse senkrecht zur Hauptachse, die gleichzeitig Meditrix des Segments ist, das an die Scheinwerfer bindet.
  10. Symmetriezentrum, Punkt fällt mit der Mitte der Ellipse zusammen, wo die Symmetrieachsen derselben gekreuzt werden.
  11. Symmetrieachsen, Linien mit den größten und kleineren Achsen der Ellipse.
Kann Ihnen dienen: Besteuerung

Arten von Ellipse

Es gibt zwei Arten von Ellipse:

  • Diejenigen, die die Hauptachse horizontal haben.
  • Diejenigen, die die größte vertikale Achse haben.

Dann werden sie mathematisch beschrieben:

Ellipse mit der Haupthorizontalachse

Zeigen Sie die Koordinaten (H, k) auf die Mitte der Ellipse, die Länge der Hauptachse 2a und die Länge der kleineren Achse mit 2B mit a> B beträgt.

Die Gleichung dieser Ellipse ist:

Ellipse mit der wichtigsten vertikalen Achse

Mit den gleichen Parametern der Ellipse mit einer horizontalen Achse ist die Ellipse mit der Haupttechnik -Achse als:

In beiden Fällen der Abstand vom Fokus auf das Zentrum C Es hängt mit den Sedimenten -Major und minderjährig zusammen:

C2 = a2 - B2

Beispiele für Ellipsen

Horizontale Ellipse

Das folgende Bild zeigt eine Ellipse, deren Hauptachse horizontal ist. Das Zentrum befindet sich an Punkt (0,0) und den Scheinwerfern in (-3,0) bzw. (3,0). Punkt P (0, -4), das hervorgehoben wird, gehört zur Ellipse.

Figur 2.- Ellipse, deren Hauptachse horizontal ist. Quelle: f. Zapata durch GeoGebra.

Die Gleichung dieser Ellipse ist:

16x2 + 25 und2 = 400

Es ist nicht schwierig, diese Gleichung in der kanonischen Form auszudrücken. Es reicht aus, alle Begriffe zwischen 400 zu teilen und bequem zu vereinfachen (siehe die Übung, die später gelöst wurde).

Vertikale Ellipse

Das Folgende ist eine vertikale Ellipse, deren Hauptachse mit der Achse zusammenfällt und. Es konzentriert sich auf den Punkt (0,0) und seine Gleichung lautet:

36x2 + 9y2 = 324

Figur 3.- Eine Ellipse mit der Hauptträgerachse. Quelle: f. Zapata durch GeoGebra.

Reflexionseigenschaft

Es besteht aus Folgendes: Wenn ein Reflektor oder eine Schallquelle in einem der Ellipse -Scheinwerfer platziert wird, spiegeln sich die emittierten Wellen gegenüber dem anderen Fokus wider. Es ist eine gute Möglichkeit, die Wellen umzuleiten, wo Ihre Energie benötigt wird.

Kann Ihnen dienen: Endecagon

Deshalb hört ein Hörer, der sich in dem anderen Fokus befindet.

Und in der Medizin wird diese Reflexionseigenschaft verwendet, um Nierensteine ​​zu zerstören, indem der Patient in einen der Scheinwerfer einer elliptischen Wanne voller Wasser versetzt wird, während der Ultraschallwellengenerator in den anderen Fokus gestellt wird. Die Wellen spiegeln sich in den Berechnungen wider und fragmentieren sie in kleineren Partikeln, die dann durch den Urin ausgeschlossen werden.

Das Ska -Radio

Dieses Radio -Teleskop ist das größte in seiner Art und wird voraussichtlich im Jahr 2021 arbeiten. Seine Oberfläche ist 1 km Quadrat und deshalb wird sie als Ska bezeichnet (in Englisch sind sie das Akronym für Quadratkilometer -Array).

Die Struktur besteht aus der Reflexionseigenschaft der Ellipsen und besteht aus einer Anordnung von 3000 Antennen mit elliptischer Form von etwa 15 m breit, die zwischen Australien und Südafrika verteilt ist. Mit diesem Instrument wird erwartet, dass es einen 50 -mal sensibleren als diejenigen, die derzeit verwendet werden, einen Blick auf das Universum werfen, wenn es noch viel jünger war: etwa eine Milliarde Jahre kaum.

Figur 4.- Künstlerische Interpretation der Ska -Radio -SKA. Quelle: Wikimedia Commons.

Übung gelöst

Finden Sie die kanonischen Gleichungen der in den Abbildungen 2 und 3 gezeigten Ellipsen und bestimmen jeweils die Längen der Sinne, die größer und kleiner sind, sowie fokale Abstände.

Lösung

Für die horizontale Ellipse, deren Gleichung 16x ist2 + 25 und2 = 400, alle Begriffe zwischen 400 sind geteilt, was ergibt:

Kann Ihnen dienen: Kotangent abgeleitet: Berechnung, Demonstration, Übungen

 Was vereinfacht wird:

Die Semi -Achse „A“ misst 5 und die geringsten „B“ -Messungen 4, was auch gewarnt wird, indem das Bild sorgfältig beobachtet wird. Was die Brennweite betrifft, müssen Sie:

C2 = a2 - B2

C2 = 25 - 16 = 9 ⇒ c = √9 = 3

Daher ist C = 3 der Abstand zwischen der Mitte und einem der Scheinwerfer. Beide Herde sind eine Entfernung 2C = 6.

Wie für die vertikale Ellipse 36x2 + 9y2 = 324 Sie haben:

Durch Vereinfachung:

C2 = 36 - 9 = 27

C = √27 ≅ 5.2

Daher beträgt der Abstand zwischen den Scheinwerfern 10.4 Einheiten.

Verweise

  1. Hoffman, J. Auswahl der Mathematikfragen. Band 3.
  2. Stewart, J. 2006. Präzision: Mathematik zur Berechnung. 5. Auflage. Cengage Lernen.
  3. Universumformeln. Die Ellipse. Erholt von: Universoumulas.com.
  4. Wikipedia. Quadratkilometer -Array. Geborgen von: ist.Wikipedia.Org.
  5. Zill, d. 1984. Algebra und Trigonometrie. McGraw Hill.