Ellipsoideigenschaften und Beispiele

Er Ellipsoid Es ist eine Oberfläche in dem Raum, der zur Gruppe der quadrischen Oberflächen gehört und deren allgemeine Gleichung die Form hat:

Axt² + Von² + CZ² + Dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j = 0

Es ist das dreidimensionale Äquivalent einer Ellipse, die durch elliptische und kreisförmige Spuren in einigen besonderen Fällen gekennzeichnet ist. Die Spuren sind die Kurven, die beim Überschneiden der Ellipsoid mit einer Ebene erhalten werden.

Abbildung 1. Drei verschiedene Ellipsoide: über einer Kugel, in der die drei halben Semi gleich sind, links ein Sphäroid, mit zwei gleichen halben -und einer Halb -Achse und schließlich nach rechts, ein dreifacher Sphäroid, mit drei Achsen, mit drei Achsen unterschiedlicher Länge. Quelle: Wikimedia Commons. AG2GAEH/CC BY-S (https: // creativecommons.Org/lizenzen/by-sa/4.0)

Zusätzlich zum Ellipsoid gibt es fünf weitere Quadrik. Seine Spuren sind auch konisch.

Die Ellipsoid kann auch durch die Standardgleichung in kartesischen Koordinaten ausgedrückt werden. Ein Ellipsoid, der sich auf den Ursprung (0,0,0) konzentriert und auf diese Weise ausgedrückt wird, erinnert die Ellipse, jedoch mit einem zusätzlichen Begriff:

Die Werte von Zu, B Und C Sie sind reelle Zahlen größer als 0 und repräsentieren die drei Ellipsoid -Hälfte.

[TOC]

Ellipsoid -Eigenschaften

- Standardgleichung 

Die Standardgleichung in kartesischen Koordinaten für die Ellipse konzentrierte sich auf den Punkt (H, k, m) Ist:

- Ellipsoide parametrische Gleichungen

In sphärischen Koordinaten kann die Ellipsoid wie folgt beschrieben werden:

x = eine sin θ. cos φ

y = b sin θ. Sünde φ

Z = c cos θ

Das ellipsoide Semi -out sind immer noch A, B und C, während die Parameter die Winkel θ und φ der folgenden Abbildung sind:

Figur 2. Das kugelförmige Koordinatensystem. Die Ellipsoid kann unter Verwendung der abgebildeten Winkel theta und PHI als Parameter parametrisiert werden. Quelle: Wikimedia Commons. Andeggs / Pub -Domäne.

- Ellipsoid -Spuren

Die allgemeine Gleichung einer Oberfläche im Raum ist f (x, y, z) = 0 und die Spuren der Oberfläche sind die Kurven:

Kann Ihnen dienen: Vektorgröße

- x = c; F (c, y, z) = 0

- y = c; F (x, c, z) = 0

- Z = c; F (x, y, c) = 0

Im Falle eines Ellipsoids sind solche Kurven Ellipsen und manchmal Umfang.

- Volumen

Das Volumen V des Ellipsoids erfolgt durch (4/3) π mal das Produkt seiner drei halben Semi:

V = (4/3) π. ABC

Spezielle Ellipsoidfälle

-Ein Ellipsoid wird zu einer Kugel, wenn alle halbgröße die gleiche Größe haben: a = b = c ≠ 0. Dies ist sinnvoll, weil die Ellipsoid wie eine Kugel ist, auf die sie in jeder Achse anders gestreckt wurde.

-Der Sphäroid ist ein Ellipsoid, in dem zwei der Semijes identisch sind und der dritte unterschiedlich ist, zum Beispiel könnte es a = b ≠ C sein.

Der Sphäroid wird auch als Revolution Ellipsoid bezeichnet, da er durch Drehen von Ellipsen um eine Achse erzeugt werden kann.

Wenn die Drehachse mit der Hauptachse zusammenfällt, ist der Sphäroid Prolition, Aber wenn es mit der kleinen Achse zusammenfällt, ist es so Oblate:

Figur 3. Sphäroid links links und Sphäroid -Prolition nach rechts. Quelle: Wikimedia Commons.

Das Maß für die Abflachung des Sphäroids (Elliptizität) wird durch die Längedifferenz zwischen den beiden Semi -Seiten angegeben, die in einer fraktionalen Form ausgedrückt werden, dh die Einheit Flachung gegeben durch:

F = (a - b) / a

In dieser Gleichung repräsentiert A die Semi -Senije und B der kleinen Semi -Achse. Denken Sie daran, dass die dritte Achse für einen Sphäroid gleichermaßen entspricht. Der Wert von F liegt zwischen 0 und 1 und für ein Sphäroid muss er größer als 0 sein (wenn es gleich 0 wäre, hätten wir einfach eine Kugel).

Kann Ihnen dienen: Bethelgeuse

Die Referenz ellipsoid

Die Planeten und im Allgemeinen sind die Sterne normalerweise keine perfekten Kugeln, da die Rotationsbewegung um ihre Achsen den Körper in den Polen und Bassinalen in Ecuador fasst.

Deshalb stellt sich heraus.

Eine realistischere Methode, um die Planeten zu repräsentieren.

Sorgfältige Maßnahmen auf dem Globus dürfen das bauen dürfen Referenz ellipsoid der Erde als genaueste Form, um mathematisch zu arbeiten.

Die Sterne haben auch Rotationsbewegungen, die ihnen mehr oder weniger abgeflachte Formen verleihen. Der schnelle Aternar -Stern, der acht hellste Stern am Nachthimmel, in der südlichen Konstellation von Eridanus ist bemerkenswert elliptisch, wenn er ihn mit der Mehrheit vergleicht. Es sind 144 Lichtjahre von uns.

Vor ein paar Jahren gaben die Wissenschaftler vor einigen Jahren das bisherige kugelförmigste Objekt: Der Kepler 11145123 -Stern, 5000 Lichtjahre, mit einer doppelt so doppelt so groß. Wie erwartet wird es auch langsamer.

Was die Erde betrifft, ist es aufgrund ihrer rauen Oberfläche und der lokalen Schwerkraft keine perfekten Sphäroid. Aus diesem Grund gibt es mehr als einen verfügbaren Referenz -Sphäroid und an jedem Standort sind die lokalen Geographie am besten geeignet.

Es kann Ihnen dienen: Was ist das Tal in der Physik?? (Mit Beispielen)

Die Hilfe der Satelliten ist von unschätzbarem Wert, um zunehmend präzisere Modelle der Erde zu erzeugen.

Figur 4. Haumea, der transneptunische Zwergplanet hat eine ellipsoidische Form. Quelle: Wikimedia Commons.

Numerisches Beispiel

Aufgrund der Rotation der Erde wird eine zentrifugale Kraft erzeugt, die ihr die Form einer länglichen Ellipsoid anstelle einer Kugel verleiht. Es ist bekannt, dass das äquatoriale Radio der Erde 3963 Meilen beträgt und der polare Radius 3942 Meilen beträgt.

Finden Sie die Gleichung der äquatorialen Spur, die dieses Ellipsoids und das Maß der Abflachung. Vergleiche auch mit den folgenden Daten von Saturns Elliptizität:

-Saturn Äquatorialradio: 60268 km

-Saturn Polar Radio: 54364 km

Lösung

Ein Koordinatensystem ist erforderlich, von dem wir annehmen, dass wir uns auf den Ursprung konzentrieren (Mittelpunkt der Erde). Wir gehen davon aus.

In der Äquatorialebene sind die Semi -A und B gleich, daher a = b = 3963 Meilen, während c = 3942 Meilen. Dies ist ein Sonderfall: ein Sphäroid, das sich auf den Punkt (0,0,0) konzentriert, wie oben angegeben.

Die äquatoriale Spur ist ein Radiuskreis r = 3963 Meilen, der sich auf den Ursprung konzentriert. Es wird berechnet, indem z = 0 in der Standardgleichung durchgeführt wird:

Und die Standardgleichung der Ellipsoid der Erde lautet:

Schließlich wird das Anpassungsmaß (elliptisch) in der Gleichung bewertet:

F _Land = (a - b) / a = (3963-3942) Meilen / 3963 Meilen = 0.0053

F _Saturn = (60268-54363) km/60268 km = 0.0980

Beachten Sie, dass elliptische F eine dimensionslose Menge ist.

Verweise

1. Arcgis für Desktop. Sphäroid und Kugeln. Wiederhergestellt von: Desktop.Arcgis.com.
2. BBC -Welt. Das Geheimnis des sphärischsten Objekts, das jemals im Universum entdeckt wurde. Abgerufen von: BBC.com.
3. Larson, r. Berechnung und analytische Geometrie. Sechste Ausgabe. Band 2. McGraw Hill.
4. Wikipedia. Ellipsooid. Abgerufen von: in.Wikipedia.Org.
5. Wikipedia. Siperoid. Abgerufen von: in.Wikipedia.Org.