In welchen Situationen lineare und quadratische Funktionen sind?

Links eine lineare Funktion, deren Diagramm eine gerade Linie ist, und rechts eine quadratische Funktion, deren Diagramm eine Parabola ist. Quelle: f. Zapata

Was sind lineare und quadratische Funktionen?

Lineare Funktionen und quadratische Funktionen sind Funktionen, die zur Gruppe der polynomischen Funktionen gehören. Sie werden verwendet, um verschiedene Situationen wie die Abhängigkeit zwischen Volumen und Gewicht eines Körpers, die Menge und die Kosten eines Produkts, die Position und die Zeit und mehr.

Im Allgemeinen ist eine Funktion eine Beziehung, die zwei Variablen verknüpft und verwendet werden kann, um die reale Welt zu modellieren. Polynomische Funktionen werden, wie der Name schon sagt, durch ein Polynom ausgedrückt, dessen allgemeine Form lautet:

f (x) = a_NX^N + Zu _N-1X ^N-1 + Zu_X-2X^N-2 +… Zu_entweder

Wo n eine natürliche Zahl ist, die Zahlen zu₀, Zu₁, Zu₂,… Zu_N Sie sind real, um₀ Es ist der unabhängige Begriff und zu_N, Es ist der Koeffizient, der die höchste Leistung begleitet. Der Wert von n gibt den Funktionstyp an, für n = 1 ist die Funktion linear, während für n = 2 die Funktion quadratisch ist.

In der ersten dieser Fälle wird der allgemeine Ausdruck auf:

f (x) = a₁x + a_entweder

Und im zweiten Fall bleibt es so:

f (x) = a₂X² + Zu₁x + a_entweder ;   (Zu₂≠ 0)

Die Diagramme der Polynomfunktionen sind kontinuierlich, dh keine abrupten Sprünge oder Rutschen, wodurch ein weiches Verhalten ohne Unregelmäßigkeiten auftreten. Daher werden sie bei der Modellierung vieler Situationen der Wissenschaft, Wirtschaft und anderer Bereiche des menschlichen Wissens beobachtet.

Als nächstes werden interessante Anwendungen voneinander genauer beschrieben.

Situationen, in denen lineare Funktionen erscheinen

Die lineare Funktion wird algebraisch dargestellt durch:

f (x) = a₁x + a_entweder

Oder gleichwertig:

f (x) = mx + b

Sein charakteristisches Merkmal ist, dass seine Grafik eine gerade Linie ist. Der Wert M, Welches ist der Koeffizient der X, repräsentiert die Ohrring dieser Linie und gibt ein Maß dafür, wie geneigt sie ist.

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Die Steigung kann positiv, negativ oder Null sein, aber sie ist immer konstant, dh, ihr Wechselkurs bleibt unverändert.

Eine Steigungslinie 0 ist vollständig horizontal, die der positiven Steigung zeigt eine Höhe oder Erhöhung an (wenn eine der Variablen zunimmt, die andere auch immer mit der gleichen Geschwindigkeit) und schließlich die negative Steigung abnimmt (als eine der Variablen Erhöht sich, der andere nimmt ab).

Der Wert von B, Für seinen Teil repräsentiert es den Schnitt oder Schnittpunkt der Linie mit der vertikalen Achse. Ja B = 0, Die Linie durchläuft den Ursprung des Koordinatensystems.

Modellierungsbeispiele mit linearen Funktionen

1. Die gleichmäßige geradlinige Bewegung

Die Gleichung, die die X -Position und die Zeit t eines Mobiles in der gleichmäßigen geradlinigen Bewegung verbindet, ist linear:

x (t) = vút + x_entweder

Wo V, die Steigung der Linie, ist die Geschwindigkeit des Mobiltelefons, die während der gesamten Bewegung konstant bleibt, und x_entweder ist die Anfangsposition.

2. Dichte

Dichte eines Objekts oder einer Substanz, die die Beziehung zwischen Masse und Volumen darstellt. Rufen Sie ρ zur Dichte (es heißt "rho"), m zum Teig und V zum Volumen, Sie haben:

Das Löschen des Teigs in Bezug auf das Volumen wird er erhalten:

M = ρv

Beim Diagramm des Teigs je nach Volumen wird eine gerade Linie erhalten, deren Steigung die Dichte des Objekts oder der Substanz ist.

3. Länge eines Umfangs

Die Kontur eines Kreises oder seiner Länge ist proportional zu seinem Radius. Dies bedeutet, dass je größer der Radius ist, desto größer die Kontur der Umfang gemäß der Gleichung:

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C = 2πr

Wenn C die Kontur oder Länge ist, ist R das Radio und π (liest „pi“) eine Konstante, deren ungefährer Wert πamp3 ist.14 ..

4. Kosten für das Senden eines Pakets

Wie es leicht zu schließen ist, ist es ein teureres Paket, je schwerer oder sperriger es ist, es zu transportieren. Unternehmen, die sich dem Frachttransport widmen, modellieren ihre Preise nach bestimmten Regeln, zum Beispiel:

C (x) = 2.75x

In dieser Gleichung ist C (x) die Dollarkosten für das Senden eines Pakets, dessen Gewicht x Pfund beträgt. Der konstante Wert 2.75 haben Einheiten von Dollar/Pfund (Einheitenkosten).

Situationen, in denen quadratische Funktionen erscheinen

Algebraisch wird eine quadratische Funktion dargestellt durch:

f (x) = a₂ X² + Zu₁ x + a_entweder

Mit der Bedingung, dass der Koeffizient zu₂ Sich von 0 unterscheiden. Es ist durch seine Parabola -veränderte Grafik gekennzeichnet, deren axiale Achse oder Symmetrieachse vertikal ist (parallel zur y -Achse)).

Der Schnittpunkt zwischen dem Gleichnis und der Achse ist ein Punkt namens Vertex. Wenn sich das Gleichnis öffnet (a₂ > 0), der Scheitelpunkt ist sein Mindestpunkt und wenn er sich öffnet (a₂ < 0), es el máximo.

Auf der Symmetrieachse steht der Schwerpunkt, ein besonderer Punkt, der die Krümmung der Parabel bestimmt. Wenn Sonnenlicht von einem parabolischen Spiegel beeinflusst wird, werden die Strahlen auf der Oberfläche reflektiert, die in dem Fokus zusammenfallen, was sofort erhitzt wird.

Modellierungsbeispiele mit quadratischen Funktionen

1. Höhe eines Projektils, das vertikal gestartet wurde

Ein Projektil ist jedes Objekt, dem eine anfängliche Geschwindigkeit zur Verfügung gestellt und dann unter der Schwerkraft freigesetzt wird. Wenn die Anfangsgeschwindigkeit vertikal ist, Größe V₀ und richtete sich auf eine maximale Höhe und steigt dann ab.

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Die Gleichung der Höhe h als Funktion der Zeit t ist:

H (t) = –4.9 t²+v₀ T

Wo der vertikale Sinn als positiv und der vertikale Abwärts negativ angesehen wird.

2. Die Flugbahn eines horizontalen oder schrägen Projektils

Wenn einem Projektil eine horizontale oder schräge Anfangsgeschwindigkeit zur Verfügung gestellt wird, beschreibt sie eine parabolische Flugbahn, die wie zuvor beschrieben durch eine quadratische Funktion dargestellt werden kann.

Der Ball des Korbs beschreibt eine parabolische Flugbahn, die in den Korb geworfen werden soll. Quelle: Wikimedia Commons

Zum Beispiel ein Ball, der aus einer Höhe geworfen wird und₀, Formwinkel θ₀ In Bezug auf die Horizontale hat es eine Flugbahn, die von:

Mit G als Beschleunigung der Schwerkraft, die 10 m/s annähern kann². Zum Beispiel ein Fußball -Ball -Tritt vom Boden (und₀ = 0) mit anfänglicher Geschwindigkeit von 6 m/s und einem Winkel von 45 ° in Bezug auf die Horizontale hat eine durch das folgende Gleichnis verabreichte Flugbahn:

3. Der Bereich eines Kreises

Je höher der Radius des Kreises, desto größer wird sein Bereich sein. In der Tat ist die Kreisfläche proportional zum Quadrat des Radius R, wobei die Konstante der Verhältnismäßigkeit die Zahl π ist:

A = πr²

4. Wirksamkeit einer Werbung

Je mehr sie es sehen, desto effektiver eine kommerzielle Anzeige. Effektivität E, auf einer Skala von 0 bis 10, kann von einer Mitteilung gemäß der folgenden quadratischen Funktion modelliert werden:

Verweise 

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2. Larson, r. (2012). Vorkalkulation. 8. Auflage. Cengage Lernen.
3. Miller, c. (2013). Mathematik: Argumentation und Anwendungen. 12. Auflage. Pearson Ausbildung.
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