Hendecagon

Was ist ein Endecagon?

Er Hendecagon, auch genannt Undecágono, Es ist eine flache geometrische Figur mit 11 Seiten, die zur Familie der Polygone gehört.

Diese werden nach der Menge an Seiten ernannt, die sie haben, und im Fall des Endecagon stammt ihr Name aus den griechischen Wörtern "Hendeka" und "Gona": elf bzw. Vertex, je nach Tatsache, dass das Ende des Endes 11 hat 11 Eckpunkte oder Tipps.

Abbildung 1. Ein reguläres Ende und seine Elemente. Quelle: f. Modifizierter Wikimedia Commons Schuh.

Regelmäßige Polygone teilen eine Reihe von besonderen Merkmalen, insbesondere. Abbildung 1 zeigt ein reguläres Ende und seine wichtigsten Eigenschaften:

• Seiten, Insgesamt 11.
• Scheitelpunkte, Es gibt auch 11 Punkte, die zwei aufeinanderfolgende Seiten beitreten (in der vorherigen Abbildung sind die blauen Punkte und in Abbildung 3 werden sie auch mit Großbuchstaben benannt).
• Center, äquidistierender Punkt sowohl der Eckpunkte als auch der Seiten.
• Diagonale, Zeilen, die sich einem Scheitelpunkt mit einem anderen nicht aufeinanderfolgenden Scheitelpunkt inbetrieblich von 44 anschließen.
• Innere Winkel, Diejenigen, die zwischen zwei benachbarten Seiten auf der inneren Seite des EndEcagon gebildet werden. Wenn das Endecagon regelmäßig ist, messen alle internen Winkel 147 ^3/11 º.
• Externe Winkel, Sie werden zwischen einer Seite und der Verlängerung einer der aufeinanderfolgenden Seiten gebildet.
• Radio, Entfernung vom Zentrum zu einem Scheitelpunkt.
• Zentralwinkel, das im Fall von regulärem Ende misst 32 ^11/11 º, dessen Seiten zwei benachbarte Segmente sind, und der Scheitelpunkt des Winkels fällt mit der Mitte zusammen.
• Apothema, Senkrechter Segment, das mit der Mitte der Figur in die Mitte einer Seite verbindet.

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Wie man ein reguläres Ende erstellt?

Um ein reguläres Ende zu zeichnen, dessen Seiten dasselbe messen, benötigen Sie Regel und Kompass. Eine Möglichkeit, das Layout zu erstellen, besteht darin, die folgenden Schritte zu folgen:

1.- Zeichnen Sie einen Umfang und zwei Durchmesser davon, einen vertikalen und einen anderen horizontalen. Die durch diese Durchmesser bestimmten Punkte des Umfangs werden benannt und B (horizontaler Durchmesser) und C und D (vertikaler Durchmesser).

2.- Öffnen Sie den Kompass mit dem Maß des Kreisradius, stützen Sie die Spitze am Punkt D des CD -Durchmessers und zeichnen Sie einen ersten Bogen, der den Umfang an Punkt E schneidet.

3.- Mit derselben Maßnahme die Spitze des Kompasss an Punkt A unterstützen und einen zweiten Bogen zeichnen.

4.- Öffnen Sie den Takt mit der von E und zu Punkt F.

5.- Öffnen Sie nun den Kompass zwischen den Punkten f und g. Dies wird das Maß für die Endecagon -Seite sein. Die Spitze des Kompasss wird in F unterstützt und zeichnet einen vierten Bogen, der den Umfang an Punkt H schneidet. Die FH -Seite gehört bereits zum Ende und wird durch Verbinden der Punkte mit Hilfe der Regel gezeichnet.

6.- Die Spitze des Kompasses ruht nacheinander an Punkt H und wird sorgfältig erstellt, wobei die Punkte, die durch Segmente bestimmt werden, bis zu den elf Seiten des Polygons bestimmt werden.

Beispiele für Endcágonos

Es gibt verschiedene Arten von Endkargonen gemäß dem Maß ihrer Seiten und der ihrer inneren Winkel unter einigen Beispielen:

Reguläre und unregelmäßige Endkonferern

-Regulär, Wenn alle Seiten und inneren Winkel dasselbe messen.

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-Irregulär, Wenn ihre Seiten unterschiedliche Maßnahmen haben.

Die folgende Abbildung zeigt ein reguläres Ende in der internen Kontur eines US -Dollars mit der Figur von Susan B. Anthony (1820-1906), eine Aktivistin der in Massachusetts, USA, geborenen Frauenrechte. Der Endecagon wurde auch als Teil des Designs anderer Münzen auf der ganzen Welt verwendet.

Figur 2. Ein regelmäßiger Ende des Dollars, der Teil des Dollars Susan B Design ist. Anthony, zwischen 1979 und 1981 geprägt und später 1999 erneut eingeführt. Quelle: Wikimedia Commons.

Konvexe und konkave Endkargone

Endkargone unterscheiden sich je nach innerem Blickwinkel, zum Beispiel können sie:

-Konvex, Wenn die inneren Winkel weniger als 180 ° betragen.

-Konkav, Wenn es interne Winkel von mehr als 180 ° gibt.

Der Ende, der den Dollar Susan B dekoriert. Anthony ist konvex, da das Maß eines seiner inneren Winkel weniger als 180 ° beträgt. Sein Wert wird durch eine Formel berechnet, die von der Anzahl der Seiten der Abbildung abhängt (siehe folgenden Abschnitt).

Figur 3. Links ein konvexes Endecagon und nach rechts ein konkaves Ende. Quelle: f. Zapata durch GeoGebra.

Formeln für das Endecagon

Formel für innere Winkel

Um das Maß I in Grad der inneren Winkel eines normalen Polygons von zu bestimmen N Seiten, die folgende Formel wird verwendet:

 Das Ersetzen der Anzahl der Seiten des EndEcagon n = 11 in der Formel wird erhalten:

 Und da die inneren Winkel des regulären Endecagon weniger als 180 ° betragen, ist diese Zahl ein konvexes Polygon.

Die Summe der inneren Winkel eines regulären Polygons wird von dieser Formel gefunden, die für das gesamte und mehr als 2 gültig ist:

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S = (n - 2) x 180º

Ersetzen von n = 11 Ergebnissen:

S = (11 - 2) x 180º = 1620º

Externe Winkel

Um das Maß für innere Winkel zu kennen, wird angewendet, dass die Summe eines Innen- und Außenwinkels gleich 180 ° ist:

180 º - 147 ^3/11º = 32 ^11/11º.

Umfang

Der Umkreis ist die Summe der Seiten des Endecagon, ob regelmäßig oder nicht. Im Fall von regulärem Ende, wenn ℓ Es ist die Länge einer Seite, der Umfang multipliziert sich mit N, Die Seitenmenge.

Daher ist der Umfang P des regulären Endecagon:

P = 11 ℓ

Bereich

Wenn Sie die Seite kennen, kann der Bereich mit der Formel berechnet werden:

Das ist ungefähr:

A = 9.3656 ∙ ℓ²

Eine andere Möglichkeit, den Bereich zu finden, vorausgesetzt, dass das Ende regelmäßig es ist_ZU.

Die Fläche jedes Dreiecks wird berechnet durch:

Fläche = Basis x Höhe /2

Das abhängig vom Apothem ist auch als:

Bereich = ℓ. L_ZU /2

Und die Gesamtfläche des EndEcagon multipliziert den Dreieckbereich mit 11:

A = 11ℓ. L_ZU /2

In Bezug auf den Umkreis lautet der reguläre Endecagon -Bereich:

A = p. L_ZU /2

Diagonale

Die Anzahl der Diagonalen wird in der folgenden Formel berechnet, indem n = 11 durchgeführt wird:

 D = [11 x (11-3)]/2 = 44 Diagonale.

Übung gelöst

Berechnen Sie den Umfang und die Fläche eines regulären Endecagon von 20 cm Seite.

Lösung

Der Umfang ist:

P = 11 ℓ =11 × 20 cm = 220 cm.

Und seine Fläche ist:

A = 9.3656 ∙ ℓ²= 9.3656 × (20 cm)²= 3746.2 cm²

Verweise

1. Alexander, d. 2013. Geometrie. 5. Auflage. Cengage Lernen.
2. Drawing Professor. Endecágono in einem Umfang (11 Seiten Polygon) eingeschrieben. Erholt von: YouTube.com.
3. Probleme und Gleichungen. Bereichs- und Umfangsrechner des regulären Endecagon. Abgerufen von: Probleme Syuses.com.
4. Sangaku -Mathematik. Elemente eines Polygons und seiner Klassifizierung. Erholt von: Sangakoo.com.
5. Automatische Geometrieproblemlösung. Das Ende. Erholt von: Scuolaetrica.Artikel.
6. Wolfram Mathworld. Hendecagon. Erholt von: Mathworld.Wolfram.com.