Engon -Eigenschaften, wie man einen Engon macht, Beispiele

A Enegon Es ist ein Polygon von neun Seiten und neun Eckpunkten, die regelmäßig sein können oder nicht. Die Engon -Konfession kommt aus dem Griechischen und besteht aus den griechischen Worten Fett (neun und Gonon (Winkel).

Ein alternativer Name für das neun -seitende Polygon ist ein nicht -Wort -Wort, das aus dem Latein stammt Non -us (neun und Gonon (Scheitel). Andererseits gibt es dann a unregelmäßiger Engon. Im Gegenteil, die neun Seiten und die neun Winkel der Engon sind gleich, dann ist es a Normaler Engon.

Abbildung 1. Regulärer Engon und unregelmäßiger Engon. (Eigene Ausarbeitung)

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Engon -Eigenschaften

Für ein Polygon von n Seiten ist die Summe seiner inneren Winkel:

(N - 2) * 180º

Im Engon wäre es n = 9, also ist die Summe seiner inneren Winkel:

Sa = (9 - 2) * 180º = 7 * 180º = 1260º

In jedem Polygon lautet die Anzahl der Diagonalen:

D = n (n - 3) / 2 und im Fall von Engon als n = 9 müssen Sie d = 27.

Normaler Engon

Im Engon oder regulären Nichtkonagon.

Es ist dann erforderlich, die inneren Winkel eines Engons zu messen, beträgt 1260º / 9 = 140 °.

Figur 2. Apothem, Radio, Seiten, Winkel und Scheitelpunkte einer regulären Engon. (Eigene Ausarbeitung)

Die Formel des Bereichs eines regulären Engons an der Seite abzuleiten D Es ist bequem, einige Hilfskonstruktionen vorzunehmen, wie in Abbildung 2 gezeigt.

Das Zentrum ist ENTWEDER Zeichnen der Medien von zwei benachbarten Seiten. Center ENTWEDER Äquidista der Eckpunkte.

Ein Radius der Länge R Es ist das Segment, das aus der Mitte geht ENTWEDER An einem Scheitelpunkt des Engons. Radios sind in Abbildung 2 dargestellt Od Und Oe von Länge R.

Kann Ihnen dienen: Symmetrie

Das Apothem ist das Segment, das von der Mitte zum Mittelpunkt auf einer Seite des Engons führt. Zum Beispiel Oj Es ist ein Apothem, dessen Länge ist Zu.

Bereich einer engon bekannten Seite und Apothe

Wir betrachten das Dreieck ODE Aus Abbildung 2. Der Bereich dieses Dreiecks ist das Produkt seiner Basis VON durch Höhe Oj geteilt durch 2:

Bereich ODE = (Von * oj) / 2 = (D * a) / 2

Da es im Engon 9 Dreiecke desselben Gebiets gibt, wird dann abgeschlossen, dass der Bereich desselben lautet:

Engon -Gebiet = (9/2) (d * a)

Gebiet eines bekannten Engons

Wenn nur die Länge des Engon bekannt ist, ist es erforderlich, die Apotheme -Länge zu finden, um die Formel des vorherigen Abschnitts anzuwenden.

Wir betrachten das Dreieck Oje Rechteck in J (Siehe Abbildung 2). Wenn das trigonometrische Drehmomentverhältnis angewendet wird, wird es erhalten:

So(∡Oej) = Oj / Z.B.

Der Winkel ∡oej = 140º / 2 = 70º, zum Sein Eo Halbierung des Innenwinkels des Engons.

Neben, Oj Es ist das Apothem der Länge Zu.

Dann als J Es ist ein Mittelpunkt von Ed Es folgt dem Ex = d/2.

Das Ersetzen der obigen Werte in der Beziehung der Tangente ist:

Tan (70º) = A / (d / 2).

Jetzt löschen wir die Apothemlänge:

A = (d/2) Bräune (70º).

Das vorherige Ergebnis wird in der Formel des Bereichs ersetzt, um zu erhalten:

Engon -Gebiet = (9/2) (d * a) = (9/2)( D * (d/2) Tan (70º))

Schließlich gibt es die Formel, die es ermöglicht, den regulären Engonbereich zu erhalten, wenn nur die Länge bekannt ist D seiner Seiten:

Engon -Gebiet = (9/4) D² Tan (70º) = 6.1818 d²

Umfang der regulären Engon kannte seine Seite

Der Umfang eines Polygons ist die Summe seiner Seiten. Im Falle des Engons misst es wie jede einzelne Seiten eine Länge D, Sein Umfang wird die Summe von neunmal sein D, das heißt:

Kann Ihnen dienen: Polynomgleichungen

Umfang = 9 d

Umfang des Engon, der sein Radio bekannt war

Angesichts des Dreiecks Oje Rechteck in J (Siehe Abbildung 2), der trigonometrische Grund Cosen wird angewendet:

cos (∡Oej) = Z.B / Oe = (d / 2) / r

Wo werden Sie erhalten:

D = 2R cos (70º)

Durch das Ersetzen dieses Ergebnisses wird die Perimeterformel als Funktion des Engon -Radius erhalten:

Umfang = 9 d = 18 r cos (70º) = 6,1564 r

Wie man einen regulären Engon macht

1- Um einen regulären Engon mit Regel und Kompass zu erstellen, basiert es auf dem Umfang C Das beschreibt dem Engon. (Siehe Abbildung 3)

2- Zwei senkrechte Linien werden durch die Mitte oder den Umfang gezogen. Dann sind die Kreuzungen A und B einer der Linien mit dem Umfang gekennzeichnet.

3- Mit dem Kompass, das Zentrum im Abfangen b und das Öffnen gleich dem Radius Bo.

Figur 3. Schritte zum Bau eines regulären Engon. (Eigene Ausarbeitung)

4- Der vorherige Schritt wird wiederholt, aber ein Zentrum in A und Radio AO A Bogen wird gezeichnet, der den Umfang C an Punkt E abnimmt.

5- Mit der AC-Öffnung und im Zentrum in einem Umfangsbogen wird gezeichnet. Ähnlich mit der Öffnung BE und in der Mitte B wird ein anderer Bogen gezeichnet. Der Schnittpunkt dieser beiden Bögen ist als g markiert.

6- Machen Sie die Mitte in G und mit der Öffnung eines ARC. Der Schnittpunkt der Sekundärachse ist mit dem ursprünglichen Umfang C als ich gekennzeichnet.

7- Die Länge des IH-Segments entspricht der Länge D auf der Seite des Engons.

8- Mit einer Kompasseröffnung IH = D Die Mittelbögen sind nacheinander zu Radio AJ, Centro J Radio AK, KL Radio KL und Centro L Radio LP gezogen.

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9- In ähnlicher Weise werden Radio-Arcos IH = D von A und auf der rechten Seite auf den ursprünglichen Umfang C Punkte M, N, C und Q gezeichnet.

10- Schließlich werden die Segmente AJ, JK, KL, LP, AM, MN, NC, CQ und schließlich PB gezeichnet.

Es ist zu beachten, dass die Baumethode nicht genau genau ist, da überprüft werden kann, dass die letzte PB -Seite 0,7% länger ist als die anderen Seiten. Bisher ist eine Bau- und Kompassbaumethode nicht bekannt, dass dies zu 100% präzise ist.

Beispiele

Einige behobene Beispiele werden nachstehend behandelt.

Beispiel 1

Sie möchten einen regulären Engon bauen, dessen Seiten 2 cm messen. In welchem ​​Radio sollte der Umfang, der es umschreibt??

Lösung:

In einem früheren Abschnitt wurde die Formel, die den Radius r des umschriebenen Umfangs mit dem regulären Dégon bezieht, abgeleitet:

D = 2R cos (70º)

Entfernen von R aus dem vorherigen Ausdruck, den wir haben:

R = d / (2 cos (70º)) = 1.4619 * D

Das Ersetzen des Wertes d = 2 cm in der vorherigen Formel A 2,92 cm wird erhalten.

Beispiel 2

Wie viel kostet der Bereich eines regulären 2 -cm -Enegon -Enegon?

Lösung:

Um diese Frage zu beantworten, müssen Sie sich auf die zuvor demonstrierte Formel beziehen, mit der Sie den Bereich eines Engon finden können, der die Länge D auf seiner Seite bekannt ist:

Engon -Gebiet = (9/4) D² Tan (70º) = 6.1818 d²

Das Ersetzen von D für seinen Wert von 2 cm in der vorderen Formel wird erhalten:

Engon -Gebiet = 24,72 cm

Verweise

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2. Campos, f., Cerecedo, f. J. (2014). Mathematik 2. Patria Redaktionsgruppe.
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7. Miller, Heeren & Hornsby. (2006). Mathematik: Argumentation und Anwendungen (Zehnte Ausgabe). Pearson Ausbildung.
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