Formel der mathematischen Hoffnung, Eigenschaften, Beispiele, Übung

Der Mathematische Hoffnung oder den erwarteten Wert der zufällige Variable X, es wird als e (x) bezeichnet und als die Summe des Produkts zwischen der Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses und dem Wert des Ereignisses definiert.

In mathematischer Form wird es wie folgt ausgedrückt:

μ = e (x) = ∑ x_Yo. P (x_Yo) = x₁.P (x₁) + x₂.P (x₂) + x₃.P (x₃) +..

Abbildung 1. Die mathematische Hoffnung wird in der Börse- und Versicherungsgebiet häufig verwendet. Quelle: Pixabay.

Wo x_Yo Es ist der Wert des Ereignisses und P (x_Yo) seine Auftretenwahrscheinlichkeit. Die Summe erstreckt sich auf alle zugelassenen Werte x. Und wenn diese endlich sind, konvergiert die angegebene Zusammenfassung in den Wert E (x). Wenn die Summe jedoch nicht konvergiert, fehlt einfach der Variablen den erwarteten Wert.

Wenn es um eine kontinuierliche Variable geht X, Die Variable kann unendliche Werte haben und die Integrale ersetzen die Zusammenfassungen:

Hier repräsentiert f (x) die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.

Im Allgemeinen ist die mathematische Hoffnung (was ein gewichteter Durchschnitt ist) nicht gleich dem arithmetischen oder durchschnittlichen Durchschnitt, es sei denn. Also und nur dann:

μ = e (x) = (1/n) ∑ x_Yo

Wobei n die Anzahl der möglichen Werte ist.

Das Konzept ist sehr nützlich in Finanzmärkten und Versicherungsunternehmen.

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Eigenschaften der mathematischen Hoffnung

Zu den wichtigsten Eigenschaften der mathematischen Hoffnung gehören Folgendes:

- Zeichen: Wenn x positiv ist, dann wird E (x) auch sein.

- Erwarteter Wert einer Konstante: Der erwartete Wert einer echten Konstanten k Es ist die Konstante.

E (k) = k

- Linearität in der Summe: Die Hoffnung einer zufälligen Variablen, die wiederum die Summe von zwei Variablen x y y ist, ist die Summe von Hoffnungen.

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E (x + y) = e (x) + e (y)

- Multiplikation durch eine Konstante: Wenn die Zufallsvariable Form ist kx, Wo k Es ist eine Konstante (eine reelle Zahl), es geht aus dem erwarteten Wert aus.

E (kx) = k e (x)

- Erwarteter Wert des Produkts und der Unabhängigkeit zwischen Variablen: Wenn eine Zufallsvariable das Produkt der zufälligen Variablen x y y ist, die unabhängig sind, ist der erwartete Wert des Produkts das Produkt der erwarteten Werte.

EX.Y) = e (x).HEY)

- Zufällige Variable Y = ax + b: Die vorherigen Eigenschaften werden angewendet.

E (ax + b) = ae (x) + e (b) = ae (x) + b

Im Allgemeinen ja Y = g (x):

E (y) = e [g (x)] = ∑ g (x_Yo). P [g (x_Yo)]

- Bestellung im erwarteten Wert: Ja x ≤ y, dann:

E (x) ≤ e (y)

Da gibt es die erwarteten Werte von jedem von ihnen.

Mathematische Hoffnung in Wetten

Als der berühmte Astronomer Christian Huygens (1629-1695) den Himmel nicht beobachtete, widmete er sich unter anderem der Wahrscheinlichkeit, dass das Glücksspielwahrscheinlichkeit studiert. Er stellte das Konzept der mathematischen Hoffnung in seiner Arbeit von 1656 mit dem Titel: Argumentation über Glücksspiel.

Figur 2. Christiaan Huygens (1629-1625) war ein brillanter und vielseitiger Wissenschaftler, dem wir das erwartete Wertkonzept schulden.

Huygens stellte fest, dass Wetten nach dem erwarteten Wert auf drei Arten eingestuft werden konnten:

-Spiele mit Vorteil: E (x)> 0

-Faire Wetten: e (x) = 0

-Nachteilsspiel: E (x) < 0

Das Problem ist, dass in einem Spiel zufälliger mathematischer Hoffnung nicht immer einfach zu berechnen ist. Und wenn Sie das Ergebnis können, ist es manchmal enttäuschend für diejenigen, die fragen, ob es wetten oder nicht,.

Machen wir einen Versuch mit einer einfachen Wette: Gesicht oder Kreuz und den Verlust zahlt einen Kaffee von 1 $ aus. Was ist der erwartete Wert dieser Wette??

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Nun, die Wahrscheinlichkeit, teuer zu sein. Die zufällige Variable besteht darin, 1 US -Dollar zu gewinnen oder 1 US -Dollar zu verlieren. Der Gewinn wird mit Sign + und dem Verlust mit Zeichen bezeichnet -.

Wir organisieren die Informationen in einer Tabelle:

Wir multiplizieren die Werte der Spalten: 1. ½ = ½ y (-1). ½ = -½ und schließlich werden die Ergebnisse hinzugefügt. Die Summe beträgt 0 und es ist ein faires Spiel, bei dem von den Teilnehmern erwartet wird, dass sie gewinnen oder verlieren.

Französische Roulette und Lotterie sind Spiele mit einem Nachteil, bei dem die meisten Traigatoren verlieren. Später gibt es eine etwas komplexere Wette in den Abschnitt mit gelösten Übungen.

Beispiele 

Hier sind einige einfache Beispiele, bei denen das Konzept der mathematischen Hoffnung intuitiv ist und das Konzept verdeutlicht:

Beispiel 1

Wir werden zunächst einen ehrlichen Würfel auf den Markt bringen. Was ist der erwartete Startwert?? Nun, wenn der Würfel ehrlich ist und 6 Gesichter hat, die Wahrscheinlichkeit, dass jeder Wert (x = 1, 2, 3 ... 6) 1/6 wie folgt verlässt:

E (x) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5.(1/6) + 6. (1/6) = 21/6 = 3.5

Figur 3. Bei der Einführung eines ehrlichen Würfels ist der erwartete Wert kein möglicher Wert. Quelle: Pixabay.

Der erwartete Wert in diesem Fall entspricht dem Durchschnitt, da jedes Gesicht die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, herauszukommen. Aber E (x) ist kein möglicher Wert, da kein Gesicht 3 wert ist.5. Dies ist in einigen Verteilungen durchaus möglich, obwohl in diesem Fall das Ergebnis dem Wetten nicht viel hilft.

Schauen wir uns ein weiteres Beispiel mit dem Start von zwei Münzen an.

Beispiel 2

Zwei ehrliche Münzen werden in die Luft geworfen und definieren die Zufallsvariable x als die Anzahl der erhaltenen Gesichter. Die Ereignisse, die auftreten können, sind die folgenden:

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-Es kommt kein Gesicht heraus: 0 Gesichter, die 2 Kreuzen entsprechen.

-1 Gesicht und 1 Siegel oder Kreuz kommt heraus.

-2 Gesichter kommen heraus.

Sei C ein Gesicht und ein Siegel, der Probenraum, der diese Ereignisse beschreibt, lautet wie folgt:

S_M = Seal-iso; SEAL-CARA; Gesicht yel; Cara-cara = tt, tc, ct, cc

Die Chancen von Ereignissen sind:

P (x = 0) = P (t).P (t) = ½ . ½ = ¼

P (x = 1) = p (tc) + p (ct) = p (t).P (c) + p (c).P (t) = ¼ +¼ = ½

P (x = 2) = P (c).P (c) = ½ . ½ = ¼

Die Tabelle wird mit den erhaltenen Werten erstellt:

Nach der am Anfang angegebenen Definition wird die mathematische Hoffnung berechnet als:

μ = e (x) = ∑ x_Yo. P (x_Yo) = x₁.P (x₁) + x₂.P (x₂) + x₃.P (x₃) +..

Werte ersetzen:

E (x) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Dieses Ergebnis wird wie folgt interpretiert: Wenn eine Person genügend Zeit hat, um eine große Anzahl von Experimenten durchzuführen, die die beiden Münzen starten.

Wir wissen jedoch, dass die Veröffentlichungen, in denen 2 Briefmarken herauskommen.

Übung gelöst

Bei der Einführung von zwei ehrlichen Währungen wird die folgende Wette gemacht: Wenn 2 Gesichter herauskommen, verdienen sie 3 US -Dollar, wenn 1 Gesicht gewonnen wird, aber wenn zwei Briefmarken herauskommen, müssen Sie 5 US -Dollar bezahlen. Berechnen Sie den erwarteten Gewinn der Wette.

Figur 4. Nach der Wette ändert sich die mathematische Hoffnung, indem zwei ehrliche Münzen gestartet werden. Quelle: Pixabay.

Lösung

Die zufällige Variable X sind die Werte, die das Geld in der Wette nimmt und die Wahrscheinlichkeiten im vorherigen Beispiel berechnet wurden. Daher lautet die Tabelle der Wette:

E (x) = 3 . ¼ + 1. ½ + (-5) . ¼ = 0

Da der erwartete Wert 0 ist, ist es ein faires Spiel. Hier wird erwartet, dass der Bettor nicht gewinnt und nicht verliert. Wettenmengen können jedoch geändert werden, um die Wette mit einem Vorteil oder einem Spiel mit einem Nachteil in ein Spiel zu verwandeln.

Verweise

1. Brase, c. 2009. Untergrabene Statistiken. Hougton Mifflin.
2. Olmedo, f. Einführung in das Konzept des erwarteten Wertes oder der mathematischen Hoffnung einer zufälligen Variablen. Erholt von: persönlich.uns.Ist.
3. Statistik librettexts. Erwarteter Wert diskreter Zufallsvariablen. Abgerufen von: Statistiken.Librettexts.Org.
4. Triola, m. 2010. Elementarstatistik. 11. Ed. Addison Wesley.
5. Walpole, r. 2007. Wahrscheinlichkeit und Statistik für Wissenschaft und Ingenieurwesen. 8. Auflage. Pearson Ausbildung.