Pünktliche Schätzung

Wir erklären, was die Punktschätzung, seine Eigenschaften, Methoden ist. Außerdem geben wir ein Beispiel und lösten Übungen

Was ist die pünktliche Schätzung??

Der Pünktliche Schätzung Von den statistischen Parametern einiger Populationsmerkmale wird es eines aus einer oder mehreren Stichproben dieser Merkmale, die als zufällige Variable dargestellt wird.

Die Populationen können vielfältig sein: Die Frauen einer Stadt, die Patienten eines Krankenhauses, die von einer bestimmten Branche in einem Monat hergestellten Schrauben und viele andere.

In der Bevölkerung von Frauen in einer Stadt kann sich eine statistische Studie auf verschiedene Merkmale dieser Bevölkerung konzentrieren: zum Beispiel die Größe von Schuhen, Größe, Taille, Haarfarbe, Anzahl der Kinder, Alter und unzählige andere Merkmale.

Sobald die Bevölkerung und das Merkmal, die sich einer statistischen Studie unterziehen möchten N, das ist normalerweise ziemlich kleiner als die Größe N der Gesamtbevölkerung.

Eigenschaften der pünktlichen Einschätzung

Bekannte die Daten einer Stichprobe, die durch eine zufällige Variable dargestellt werden X, Diese werden durch einen Satz von dargestellt N Reelle Zahlen: (x₁, X₂,.. ., X_N).

Mit diesen Daten können einige Statistiken der Stichprobe berechnet werden:

• Probenmittelwert: = (x₁+X₂,.. ., +X_N)/N.
• Beispielvarianz: S² = [x_{1 ~} )² +.. . +(X_{N ‾} )²]/N.
• Quasi-Variza-Probe: SC² = [x_{1 ~} )² +.. . +(X_{N ‾})²]/(N _‾ 1).

Normalverteilung einer Population mit zentralem Wert μ und Sigmaabweichung σ

Andererseits die Bevölkerungsbedeutung μ und das Populationsvarianz σ² Sie würden Kenntnisse aller Daten der Gesamtbevölkerung erfordern, die eine Größe hat N >> n. Folglich ist es oft nicht durch die Bevölkerungsparameter zu wissen.

In Anbetracht dessen nähern sich die Bevölkerungswerte normalerweise durch Stichprobenwerte, Annäherung bekannt als Pünktliche Schätzung. SEs wird gut oder schlecht sein, abhängig von der Datenmenge und der Qualität der Stichprobe. Die Probe ist als die bekannt Schätzer.

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Ein guter Schätzer muss einige wünschenswerte Eigenschaften oder Eigenschaften haben:

• Kohärenz
• Mindestvariation 
• Effizienz.

1.- Kohärenz

Eine Probe muss eine ausreichende Anzahl von Daten aufweisen, damit die Schätzung der Parameter konsistent ist. Wenn beispielsweise drei oder mehr Stichproben entnommen werden und die Stichprobenstatistiken einander sehr unähnlich sind, wäre es nicht angebracht, eine dieser Ergebnisse als spezifische Schätzung zu nehmen. 

In den meisten Fällen reicht es aus, Stichproben mit einer größeren Anzahl von Daten zu entnehmen, damit die von ihnen erhaltenen statistischen Parameter immer mit etwas Toleranz Konvergenz oder Zufall zeigen. Falls es keine Konvergenz gibt, sollte ihre Qualität trotz der Erhöhung der Daten überprüft werden, da sie eine Vorurteile haben könnten oder einfach schlecht genommen wurden.

2.- Mindestvariabilität

Wenn mehrere Schätzer verfügbar sind, deren Durchschnittswerte mit einer gewissen Toleranz übereinstimmen, werden diejenigen mit der geringsten Stichprobenvarianz gewählt.

3.- Effizienz

Ein N -Schätzer ist von dem Moment an effizient, in dem die Stichprobenvarianzen der Strümpfe tendieren. Ist das, was genannt wird Asymptotische Effizienz des Schätzers.

Methoden

Im Folgenden finden Sie einige Praktiken oder Methoden, mit denen eine erfolgreiche pünktliche Schätzung der Populationsparameter aus einer Stichprobe erfolgreich erfolgt.

1.-Zufällige Partition

Die zufällige Partition einer Probe zur Überprüfung der Konsistenz wird verwendet. Diese Methode besteht darin, eine Stichprobe von n Größe zu nutzen und sie zufällig in zwei Proben zu unterteilen, die jeweils eine N/2 -Größe haben.

Wenn der Stichprobenmittelwert und die Stichprobenvarianz mit einer bestimmten Anzahl von signifikanten Figuren, normalerweise 2 oder 3 Figuren, übereinstimmen, kann gesagt werden.

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Wenn andererseits auf der Ebene der signifikanten Zahlen zwischen den statistischen Parametern, berechnet mit der ursprünglichen N -Größe Probe, und den beiden Teilsamen besteht, gibt es auch Konvergenz, und es kann bestätigt werden, dass die Stichprobengröße ausreichend ist. Andernfalls wäre es notwendig, zusätzliche Daten einzunehmen, um die Menge der Stichprobendaten zu erhöhen.

2.- Modemethode

Diese Methode soll den Momenten einer zufälligen Stichprobe der N -Größe entsprechen, wobei die aus dem Probenverteilungskandidaten erhalten wurden. Wenn die Kandidatenverteilung M -Parameter enthält, müssen Sie M -Momente entsprechen.

3.- Maximale Glaubwürdigkeitsmethode

Er wurde vor ungefähr hundert Jahren von Fisher, einem der Eltern der statistischen Wissenschaft, vorgeschlagen. Es besteht darin, die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines bestimmten Satzes von Probenwerten zu optimieren oder zu maximieren.

Beispiel

Angenommen, das Verhalten einer bestimmten Populationsvariablen folgt einer exponentiellen Verteilung, deren Wahrscheinlichkeitsdichte angegeben ist durch:

 f (x; λ) = λ ≤ exp (−λances x)

Es ist eindeutig eine einzelne Parameterverteilung λ.

Um eine Schätzung des Populationsparameters vorzunehmen, kann eine Zufallsstichprobe der N -Größe verwendet werden, deren Ergebnisse wie folgt sind: (x₁, X₂,.. ., X_N)

Der erste Moment der Stichprobe wird erhalten, was der Durchschnittswert ist, bis:

= (x₁ + X₂ +… + X_N) / N

Es kann gezeigt werden, dass das erste Moment der Exponentialverteilung das Integral von 0 bis unendlich der xoffe -Funktion (x; λ) ist und sein Ergebnis 1/λ ist.

Aus dem Stichprobenmoment mit dem der Bevölkerungsverteilung wird der Schluss gezogen, dass die spezifische Schätzung von λ 1/ beträgt.

Gelöste Übungen

Übung 1

In einer mit 100 Daten durchgeführten Studie wurde festgestellt, dass die durchschnittliche Zeit, die eine Person zur Visualisierung eines YouTube -Videos benötigt, nach Eingang der Benachrichtigung 3 Minuten beträgt. Suchen Sie die Zeitwahrscheinlichkeitsverteilung, die zum Sehen des Videos verwendet wird, sobald die Benachrichtigung eingegangen ist.

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Lösung

Es wird angenommen, dass die maximale Wahrscheinlichkeit, dass eine Person ein Video überprüft.

Dies ist das typische Verhalten einer exponentiellen Verteilung. Daher kann das Bevölkerungsverhalten durch die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung für Zeit t (in Minuten) modelliert werden, gemessen aus der Benachrichtigung:

 f (t; λ) = λ · exp (−λanc) t)

In dieser Art der Verteilung beträgt die Hoffnung oder der Durchschnitt = 1/λ, wie im vorherigen Abschnitt erläutert. Dann können Sie aus den Beispielinformationen λ approximieren:

λ ≈ ⅓.

Übung 2

Eine Umfrage erfolgt mit einer einzelnen Frage, deren mögliche Antworten: Ja (1) oder nicht (0). Die Ergebnisse der Umfrage, in der alle antworteten, waren: 26 Ja und 14 Nein.

Unter der Annahme, dass die Antwort zufällig ist, ist die Verteilung dieser Ergebnisse a binomiale Verteilung deren Wahrscheinlichkeit ist:

P = p²⁶ · (1 -P)¹⁴

Es kann gezeigt werden, dass das Maximum dieser Funktion auftritt, wenn P den Wert 26/40 nimmt, und dies ist der Wert, der die erhaltenen Stichprobenwerte ermöglicht.