Bewertung von Funktionen

Um eine Funktion zu bewerten, für die das Diagramm für einen bestimmten Wert oder Element des Startsatzes bekannt ist, reicht es aus, das entsprechende Element im Ankunftssatz zu beobachten. Quelle: f. Zapata.

Was ist die Bewertung von Funktionen??

Der Bewertung von Funktionen Es besteht darin, das Bild eines bestimmten Domänenwerts zu bestimmen. Mit anderen Worten, für einen bestimmten Wert des Startsatzes müssen Sie seine entsprechend im Ankunftssatz finden.

Eine Funktion kann auf verschiedene Arten dargestellt werden. Wenn beispielsweise das Venn -Diagramm verfügbar ist, ist die Bewertung sehr einfach, reicht es aus, das Element des Start- oder Domänensatzes auszuwählen, und sehen Sie sich das Element an, das dem Ankunftssatz entspricht.

In dem „…… IS Capital Diagramm…“ ist es bei der Bewertung dieser Funktion im Element „Kanada“ das "Ottawa" -Element, bei dem dies mit "Mexiko" ist, es ist "Mexiko -Stadt" und ist es bald.

Wenn die Funktion in Form von ordentlichen Paaren angegeben ist, ist die Bewertung auch einfach: Das zweite Mitglied des ordnungsgemäßen Drehmoments ist das Bild des ersten Mitglieds. Zum Beispiel mit der Funktion f (x) beschrieben von:

f (x) = (0,0); (1.2); (2,4); (3,6); (4.8); (5.10); (6,12)

Bei der Bewertung der Funktion für Wert 3 beträgt das Ergebnis 6; Bei der Bewertung von 5 ist es 10 und so weiter.

Ebenso kann eine Funktion bewertet werden, wenn das Diagramm verfügbar ist, vorausgesetzt, der Wert, den Sie bewerten möchten, erscheint darin.

Grafik, um eine Funktion zu bewerten

Um beispielsweise die oben gezeigte Funktion bei x = 2 zu bewerten, ist das erste, was in Diagramm a x = 2 (gelber Pfeil) lokalisiert wird, das erste, was in Diagramm ein lokalisiert ist (gelber Pfeil).

Dann müssen Sie sich dem blauen vertikalen Pfeil folgen, bis Sie die Kurve berühren (grüner Punkt). Folgen Sie dem blauen Pfeil erneut, der den entsprechenden Wert auf der vertikalen Achse angibt. Bei der Bewertung der Funktion bei x = 2 wird daher y = –6 erhalten.

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Bewerten Sie eine bestimmte Funktion in der mathematischen Notation

Im unteren Teil des obigen Grafiks erscheint die grafische Funktion, jedoch in mathematischer Notation, dh durch eine Formel:

f (x) = x² - 3x - 4

Wenn Sie die Funktion in jedem Wert x = a bewerten möchten, müssen Sie F (a) finden, der einfach "F von a" gelesen wird.

Um das Ergebnis zu finden, wird X = A in der Funktionsformel ersetzt, und die angeforderten Operationen und Berechnungen werden dort durchgeführt.

Angenommen, Sie möchten die Funktion des Beispiels bei x = –1 bewerten. Dies bedeutet, dass f (–1) gefunden werden muss.

Der erste Schritt besteht darin, x = -1 in der Funktion zu ersetzen:

f (-1) = (–1)² - 3 ∙ (-1) - 4

Und führen Sie dann die angegebenen Operationen aus, in diesem Beispiel::

• Finden Sie das Quadrat von –1: (–1)² = 1
• Subtrahieren Sie den vorherigen Wert von Produkt 3 ∙ (−1): 3 ∙ (–1) = –3
• Aus dem vorherigen Ergebnis subtrahieren Sie 4

f (-1) = (–1)² - 3 ∙ (−1) - 4 = 1 + 3 - 4 = 0

Der Leser kann dieses Ergebnis aus der Grafik der Funktion bestätigen.

Das beschriebene Verfahren kann verwendet werden, um die Funktion an jedem anderen Domänenwert zu bewerten. Beispiel.

Bewerten Sie eine Funktion zu einem Wert x = h 

Angenommen, Sie möchten die Funktion mit einem beliebigen Wert bewerten, einem häufigen Betrieb in der mathematischen Berechnung.

In diesem Fall wird x durch H ersetzt, genauso wie erledigt wird, wenn X einen numerischen Wert nimmt, und das Ergebnis ist so weit wie möglich vereinfacht.

Wenn der resultierende Vorgang nicht mehr vereinfacht werden kann, bleibt die resultierende Operation übrig.

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Beispiel

Sie möchten die Funktion f (x) = x bewerten² - 3x - 4 bei x = H+1. Der notwendige Ansatz ist wie folgt:

f (h+1) = (h+1)² - 3 ∙ (H+1) - 4

Rechts von Gleichheit ist der erste Begriff ein bemerkenswertes Produkt:

(H+1)² = h² +2H + 1

Der folgende Begriff wird durch Verteilungseigenschaft gelöst:

3 ∙ (H + 1) = 3H + 3

Wenn Sie alle oben genannten ersetzen, haben Sie:

f (h+1) = (h+1)² - 3 ∙ (h+1) - 4 = h² +2H + 1 - (3H + 3) - 4

Die ähnlichen Begriffe werden durch algebraische Summe reduziert:

f (h+1) = h² + 2H + 1 - 3H - 3 - 4 = H² - H - 6

Der Differentialquotient

Das unterschiedliche Quotient oder das Verhältnis von Unterschieden einer Funktion f (x) wird definiert als:

Mit Bedingung H ≠ 0, was notwendig ist, da die Teilung durch 0 nicht definiert ist.

Dieser Quotient wird geometrisch als Steigung einer Sekantenlinie zur Kurve interpretiert, dh eine Linie, die zwei Punkte davon durchläuft. Die Koordinaten dieser Punkte sind: [x, f (x)] und [x+h; f (x+h)], wie in der folgenden Abbildung zu sehen ist:

Der Differentialquotient entspricht der Berechnung der Steigung der Secant -Linie zur Kurve, die durch die angegebenen Punkte fließt. Quelle: Wikimedia Commons.

Deshalb erscheint dieser Quotient bei der Berechnung der Ableitung einer Funktion, da die Secant -Linie „H“ zum Wert 0 nähert, wird am Punkt (x, y) tendenziell eine Tangentenlinie, da die Punkte in der Schnittstelle von Die Figur ist so nah, dass sie zu demselben Punkt tendieren.

Somit wird die Linie tangential (fängt die Kurve in einem einzelnen Punkt ab).

Dies ist genau die Definition von einer Funktion abgeleitet: die Steigung der Linie Tangente zur Kurve in Koordinatenpunkt (x, f (x))).

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Wie zu sehen ist, erfordert der Differentialquotient die Bewertung der Funktion in (x + h) und in x. Die folgenden Beispiele veranschaulichen, wie es geht.

Beispiel 1

Sie möchten den unterschiedlichen Quotienten der Funktion f (x) = 2x - 3 finden. Der erste Schritt besteht darin, die Bewertung der Funktion für x = x + h zu erhöhen, wie folgt:

f (x+h) = 2 ∙ (x+h) - 3 = 2x+2h - 3

Anschließend wird das Ergebnis in der zuvor angegebenen Definition von D ersetzt:

Mit h ≠ 0.

Der Zähler ist so weit wie möglich vereinfacht und reduziert ähnliche Begriffe:

Schließlich sind die gemeinsamen Faktoren in Zähler und Nenner vereinfacht:

D = 2

Beispiel 2

Finden Sie den unterschiedlichen Quotienten der Funktion f (x) = x² - 3x - 4.

Wir gehen wie im vorherigen Beispiel vor, finden zuerst F (x+h), ersetzen das Ergebnis in D und vereinfachen Sie das Maximum:

f (x+h) = (x+h)² - 3 (x+h) - 4 = x² + 2HX + h² - 3x - 3h - 4

= 2x+H-3

Deshalb:

D = 2x+H-3

Wobei H ≠ 0.

Gelöste Übungen

Übung 1

Bewerten Sie die Funktion f (x) = 2x² - 4x + 1 Wann:

a) x = -1
b) x = 0
c) x = 2

Lösung für

F (-1) = 2 (-1)² - 4 (-1) + 1 = 2 + 4 + 1 = 7

Lösung b

f (0) = 2 (0)² - 4 (0) + 1 = 0 - 0 + 1 = 1

Lösung c

f (2) = 2 ∙ 2² - 4 ∙ 2 + 1 = 8 - 8 + 1 = 1

Übung 2

Ein Naturschützer -Team stellte fest, dass die Funktion W (t) = 0.lt² + 1.8t dient dazu, die Menge an Abfall "W" in Kilogramm zu modellieren, die in einer Zeit "T" in einen bestimmten Fluss geworfen werden, der in Tagen gegeben wurde.

Berechnen Sie die Menge an Abfällen, die am Ende von: in den Fluss geworfen werden:

a) 3 Tage
b) 1 Woche
c) 1 Monat

Lösung für

W (t) Funktion wird nach t = 3 Tagen bewertet:

W (3) = 0.1 × 3² +1.8 × 3 = 0.9 + 5.4 = 6.3 Kilogramm

Lösung b

Vor der Bewertung müssen Sie 1 Woche bis Tage verbringen:

1 Woche = 7 Tage

W (7) = 0.1 × 7² +1.8 × 7 = 4.9 + 12.6 = 17.5 Kilogramm

Lösung c

Auch hier ist es notwendig, die Monate in Tage zu verwandeln:

1 Monat = 30 Tage

W (30) = 0.1 × 30² +1.8 × 30 = 90 + 54 = 144 Kilogramm

Verweise

1. Larson, r. 2012. Vorkalkulation. 8. Auflage. Cengage Lernen.
2. Monterey Institute. Bewertung von Funktionen. Erholt von: Montereyinstitute.Org.
3. Stewart, J. 2007. Präzision: Mathematik zur Berechnung. 5. Auflage. Cengage Lernen.
4. Sullivan, m. 1997. Vorkalkulation. 4. Auflage. Pearson Ausbildung.
5. Zill, d. 2008. Präzision mit Berechnungsvorschriften. 4. Auflage. McGraw Hill.