Komplementäre Ereignisse Was sie bestehen und Beispiele

Der Komplementäre Ereignisse Sie sind definiert als jede Gruppe von gegenseitig ausschließlichen Ereignissen untereinander, bei denen ihre Vereinigung den Probenraum oder mögliche Fälle eines Experimentierens vollständig abdecken kann (sie sind erschöpfend).

Seine Schnittstelle führt zum leeren Satz (∅). Die Summe der Wahrscheinlichkeiten von zwei komplementären Ereignissen ist gleich 1. Mit anderen Worten, 2 Ereignisse mit dieser Funktion decken die Möglichkeit eines Experimentereignisses vollständig ab.

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Was sind ergänzende Ereignisse?

Ein sehr nützlicher generischer Fall, um diese Art von Ereignis zu verstehen, besteht darin, einen Würfel zu starten:

Bei der Definition des Probenraums werden alle möglichen Fälle, in denen das Experiment angeboten wird, benannt. Dieses Set ist als Universum bekannt.

Probenraum (S):

S: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Die nicht im Probenraum festgelegten Optionen sind nicht Teil der Möglichkeiten des Experiments. Zum Beispiel Lassen Sie die Nummer sieben herauskommen Hat eine Wahrscheinlichkeit von Null.

Nach dem Ziel des Experimentierens werden bei Bedarf Sätze und Untergruppen definiert. Die zu verwendende Einstellung wird auch gemäß dem zu studierenden Ziel oder Parameter bestimmt:

ZU : Eine Drehmomentzahl = kommt heraus = 2, 4, 6

B: Eine ungerade Zahl kommt heraus = 1, 3, 5

In diesem Fall ZU Und B Sind Komplementäre Ereignisse. Da sich beide Sätze gegenseitig ausschließen (ein Paar, das wiederum nicht verlassen kann) und die Vereinigung dieser Sets den gesamten Stichprobenraum abdeckt.

Andere mögliche Untersätze im vorherigen Beispiel sind:

C : Eine Primo -Nummer kommt heraus = 2, 3, 5

D: x / x ԑ n ᴧ x ˃ 3  = 4, 5, 6

Die Sätze A, B und C Sie sind in Notation geschrieben Beschreibend Und Analyse bzw. Für das ganze D Es wurde algebraische Notation verwendet und dann die möglichen Ergebnisse beschrieben, die dem Notationsexperiment entsprechen Analyse.

Kann Ihnen dienen: Hierarchie der Operationen

Es wird im ersten Beispiel beobachtet, dass sein Sein ZU Und B ergänzende Ereignisse

ZU : Eine Drehmomentzahl = kommt heraus = 2, 4, 6

B: Eine ungerade Zahl kommt heraus = 1, 3, 5

Die folgenden Axiome sind erfüllt:

1. A u b = s ; Die Vereinigung von zwei Komplementäre Ereignisse Es entspricht dem Probenraum
2. A ∩b = ∅; Die Kreuzung von zwei Komplementäre Ereignisse Es ist gleich dem leeren Satz
3. A '= b ᴧ b' = a; Jede Teilmenge entspricht der Komplement zu seinem Gegenstück
4. A '∩ a = b' ∩ b = ∅ ; Die Überschneidung eines Sets mit seinem Komplement entspricht dem Vakuum
5. A 'u a = b' u b = s; Einen Set mit seiner Komplement entspricht dem Stichprobenraum

In Statistiken und probabilistischen Studien,, Komplementäre Ereignisse Sie sind Teil der Setheorie und sind unter den Operationen, die in diesem Bereich durchgeführt werden, sehr häufig.

Um mehr über die zu erfahren Komplementäre Ereignisse, Es ist notwendig, bestimmte Begriffe zu verstehen, die dazu beitragen, sie konzeptionell zu definieren.

Was sind Ereignisse?

Sie sind Möglichkeiten und Ereignisse, die sich aus einem Experimentieren ergeben, die in jedem seiner Iterationen Ergebnisse anbieten können. Der Veranstaltungen Sie generieren die Daten, die als Elemente von Mengen und Untereinstellungen aufgezeichnet werden sollen. Die Trends in diesen Daten sind ein Grund für die Wahrscheinlichkeitsstudie.

Sie sind Beispiele für Ereignisse:

• Die Währung wies darauf hin
• Das Spiel wurde gezeichnet
• Der Chemiker reagierte in 1.73 Sekunden
• Die Geschwindigkeit bei maximalem Punkt betrug 30 m/s
• Der angegebene Rahmen die Nummer 4

Was ist eine Ergänzung?

In Bezug auf die festgelegte Theorie. A Ergänzen Es bezieht sich auf den Teil des Probenraums, der zu einem Satz hinzugefügt werden muss, damit er sein Universum abdeckt. Es ist alles, was nicht Teil des Satzes ist.

Eine gut bekannte Art, Komplement in der festgelegten Theorie zu bezeichnen, ist:

Zu ergänzen von a

Venn-Diagramm

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Es handelt sich um ein grafisches Schema für das inhaltliche Analyse, das in mathematischen Operationen, die Sätze, Unterkonjunktionen und Elemente umfassen. Jeder Satz wird durch einen Großbuchstaben und eine ovale Figur dargestellt (dieses Merkmal ist innerhalb seiner Verwendung nicht obligatorisch), das jedes einzelne seiner Elemente enthält.

Kann Ihnen dienen: kontinuierliche Zufallsvariable

Der Komplementäre Ereignisse Sie sind direkt in den Venn -Diagrammen zu sehen, da ihre grafische Methode die Identifizierung der Komplemente ermöglicht, die jedem Satz entsprechen.

Visualisieren Sie einfach die Umgebung eines Satzes vollständig und lassen Sie seine Grenze und die interne Struktur aus und ermöglichen Sie die Ergänzung des untersuchten Satzes eine Definition.

Beispiele für komplementäre Ereignisse

Sind Beispiele von Komplementäre Ereignisse Erfolg und Niederlage in einem Ereignis, bei dem es keine Gleichheit geben kann (ein Baseballspiel).

Boolesche Variablen sind Komplementäre Ereignisse: Richtig oder falsch, auf die gleiche Weise korrekt oder falsch, geschlossen oder geöffnet, ein- oder ausgeschaltet.

Komplementäre Ereignisübungen

Übung 1

Sei S Das durch alle natürlichen Zahlen definierte Universumset niedriger als oder gleich zehn.

S: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Die folgende Untergruppe von S

H: natürliche Zahlen unter vier = 0, 1, 2, 3

J: Vielfache von drei = 3, 6, 9

K: Vielfache von fünf = 5

L: 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10

       M: 0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10

       N: natürliche Zahlen größer als oder gleich vier = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Bestimmen:

Wie viele komplementäre Ereignisse können bei der Zusammenstellung von Paaren von Sub -Courples von gebildet werden S?

Nach Definition von Komplementäre Ereignisse  Die Paare, die den Anforderungen entsprechen (sich gegenseitig ausschließend und den Stichprobenraum beim Beitritt abdecken), werden identifiziert. Sind Komplementäre Ereignisse Die folgenden Teilmengenpaare:

• H und n
• J und m
• L und k

Übung 2

Zeige, dass: (M ∩ k) '= l

0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10 ∩ 5 = 5; Der Schnittpunkt zwischen den Sätzen führt zu den gemeinsamen Elementen zwischen beiden Betriebssätzen. Auf diese Weise die 5 Es ist das einzige gemeinsame Element zwischen M Und K.

5 '= 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10 = l; Weil L Und K Sie sind komplementär, das oben beschriebene dritte Axiom wird erfüllt (Jede Teilmenge entspricht der Komplement seines Gegenstücks)

Übung 3

Definieren: [(J ∩ h) u n] '

J ∩ H = 3 ; Homolog zum ersten Schritt der vorherigen Übung.

(J ∩ h) u n = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10; Diese Operationen werden als kombiniert bezeichnet und werden normalerweise mit einem Venn -Diagramm behandelt.

Kann Ihnen dienen: kartesische Ebene

[(J ∩ h) u n] ' = 0, 1, 2; Die Ergänzung der kombinierten Operation ist definiert.

Übung 4

Zeige, dass: [H u n] ∩ [j u m] ∩ [l u k] '= ∅

Die in den Schlüsseln beschriebene zusammengesetzte Operation bezieht sich auf die Kreuzungen zwischen den Gewerkschaften der komplementären Ereignisse. Auf diese Weise wird das erste Axiom verifiziert (Die Vereinigung von zwei Komplementäre Ereignisse Es ist gleich dem Stichraumraum).

[H u n] ∩ [j u m] ∩ [l u k] = s ∩ s ∩ s = s; Die Vereinigung und Schnittstelle eines Sets mit sich selbst erzeugt denselben Satz.

Dann;    S '= ∅ Per Definition von Sets.

Übung 5

Definieren Sie 4 Kreuzungen zwischen der Untergruppe, deren Ergebnisse sich vom leeren Satz unterscheiden (∅).

• M ∩ n

0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10 ∩ 4, 5, 6, 7, 8, 10 = 4, 5, 7, 8, 10

• L ∩ H

0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10 ∩ 0, 1, 2, 3 = 0, 1, 2, 3

• J ∩ N

3, 6, 9 ∩ 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 = 6, 9

 Verweise

1. Die Rolle statistischer Methoden in Informatik und Bioinformatik. Irina Arhipova. Lettland Universität für Landwirtschaft, Lettland. [E -Mail geschützt]
2. Statistiken und die Bewertung von Beweisen für forensische Wissenschaftler. Zweite Ausgabe. Colin g.G. Aitken. Schule der Mathematik. Die Universität von Edinburgh, Großbritannien
3. Grundlegende Wahrscheinlichkeitstheorie, Robert B. Asche. Abteilung für Mathematik. Universität von Illinois
4. Elementarstatistik. Zehnte Ausgabe. Mario f. Triola. Boston San.
5. Mathematik und Ingenieurwesen in Informatik. Christopher J. Van Wyk. Institut für Computerwissenschaften und Technologie. Nationales Büro für Standards. Washington, d. C. 20234
6. Mathematik für Informatik. Eric Lehman. Google Inc.
   F Thomson Leighton Department of Mathematics und das Labor für Informatik und AI, Massachussetts Institute of Technology; Akamai Technologies